萍踪浪迹
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旋量的长话短说
windowsxp兄的提议让我不得不放弃偷懒的想法，写几句与旋量有关的概念，星空兄和季候风兄都认为旋量定义起来很麻烦，我深有同感，因为我似乎看到了一大堆循环定义，从旋量群表示元到旋量结构，再拉上Clifford代数的交叉纵横，想几句话说清楚还真是很为难。
我自然不认为旋量真如季候风兄所调侃的那样是数学家的马后炮，因为旋量是1913年Cartan研究reprezentation of topology group的时候引进的，他发现了spin_n的Lie代数的旋量和半旋量表示的存在性，1928年Dirac得出著名的Dirac方程，本质上就是应用旋量描述电子的旋转（确切说是：自旋）。但是旋量的重要性却是在Dirac的工作之后才大大得到提升的，所以从这个角度说，我非常同意季候风兄的看法。
自旋是表示量子场内部自由度的变量之一。
一个非相对论粒子（场），如果其态向量在SU（2）的不可约酉表示的表示空间中取值，则该粒子具有自旋。
相对论量子场论中，自旋是little group（Poincare group 的一个subgroup）的不可约表示的量子数。
1929年，van der Waerden研究量子力学时使用了旋量。旋量在解决代数拓扑和微分拓扑中有巨大作用。
旋量群的表示和Clifford代数密切相关，1935年，Brauer和Weyl用Clifford代数的语言来描述旋量和半旋量的表示。具体说起来又要费口舌定义Clifford代数，这里先偷个懒，跳过去。
流形上旋量结构是指其上自旋标架的纤维化。相对论时空结构上的旋量结构则被定义为从属于Lorentz度量的旋量结构。此时，旋量空间作为旋量群上的模，可以分解成两个复二维复共轭的SL（2，G）模。
在Geroch的文章（Spinor structure of space-time in general relativity，1968）中指出：非紧致时空流形M上的旋量结构存在性等价于M的全可平行性。
附上Robert Geroch 的两篇文章的摘要：
1、Spinor Structure of Space-Times in General Relativity. I
Robert Geroch
Department of Mathematics, Birkbeck College, London, England
(Received 8 January 1968)
In order to define spinor fields on a space-time M, it is necessary first to endow M with some further structure in addition to its Lorentz metric. This is the spinor structure. The definition and the elementary implications of the existence of a spinor structure are discussed. It is proved that a necessary and sufficient condition for a noncompact space-time M to admit a spinor structure is that M have a global field of orthonormal tetrads. ©1968 The American Institute of Physics
2、Spinor Structure of Space-Times in General Relativity. II
Robert Geroch
Department of Mathematics, Birkbeck College, London, England
(Received 9 June 1969)
Spinor fields can only be defined on a space-time which has been given a spinor structure. A number of conditions (some sufficient, others necessary and sufficient) for the existence of a spinor structure are derived. By applying one or another of these conditions, it is shown that many well-known solutions of Einstein's equations do have spinor structure. The question of the existence of spinor structure depends only on the topology of the underlying manifold, not on the (time- and space-oriented) metric. It is shown that, nonetheless, a certain ``threshold'' of curvature must be exceeded before there can be even the possibility of a space-time's having no spinor structure. ©1970 The American Institute of Physics ）
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| 发表时间：2006-05-30, 15:03:13 |
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萍踪浪迹
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Re: 旋量的长话短说
哦，惭愧，原来季候风兄说的是定义方面是数学家的马后炮，这个我完全同意~
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| 发表时间：2006-05-30, 15:22:09 |
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kanex
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Re: 旋量的长话短说
C0 R
C1 C
C2 H
C3 H + H
C4 H(2)
C5 C(4)
C6 R(8)
C7 R(8) + R(8)
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季候风
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Re: 旋量的长话短说
呵呵, 惭愧惭愧, 差点颠覆了历史
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| 发表时间：2006-05-30, 18:23:09 |
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星空浩淼
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Re: 旋量的长话短说
嗯，不错！
对于学物理的人而言，马中骐的那本《物理学中的群论》，可以让人对旋量有个初步了解，而且更着眼于物理的角度。
One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
| 发表时间：2006-05-30, 23:05:46 |
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windowsxp
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Re: 旋量的长话短说
多谢萍踪兄
你的以下几句话，说明了问题的实质。。
自旋是表示量子场内部自由度的变量之一。
旋量在解决代数拓扑和微分拓扑中有巨大作用。（希望进一步了解）
旋量群的表示和Clifford代数密切相关。
流形上旋量结构是指其上自旋标架的纤维化。（Spin(m,n) 主丛？）
旋量空间作为旋量群上的模，可以分解成两个复二维复共轭的SL（2，G）模。（群上的模是什么？）
旋量群，Clifford代数，旋量空间，旋量结构，Spinor fields ，Spin(m,n) 主丛，Spin 结构 gamma 矩阵
旋量群说明旋量（场）全体构成一个群？？
旋量结构和旋量场的关系是怎样的？？
旋量空间是否是旋量场全体？？
旋量结构和Spin 结构
是否是一回事？
gamma 矩阵全体和Clifford代数从某种意义上是否是一回事？
| 发表时间：2006-05-31, 00:48:57 |
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萍踪浪迹
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Re: 旋量的长话短说
：：gamma 矩阵全体和Clifford代数从某种意义上是否是一回事？
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摘录过去的一段文字来回答这一个问题：
以这16个（1+4+6+4+1）独立元为基矢量可以张成数域上的16维线性空间，正如我们所知，一元数R是数域上一维线性空间，二元数C是域上2维线性空间，四元数Hamilton数是域上4维线性空间，八元数Cayley数是域上8维线性空间。现在出现的这个16维线性空间中的数称为十六元数，也称为Clifford代数或者Dirac代数。由于物理文献中大多称为Dirac代数且它在物理中的重要作用大多因Dirac矩阵而起，所以我们采用Dirac代数这个称谓。
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| 发表时间：2006-05-31, 13:25:44 |
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萍踪浪迹
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Re: 旋量的长话短说
：：旋量在解决代数拓扑和微分拓扑中有巨大作用。（希望进一步了解）
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旋量在解决K维球面上非零向量场的个数问题，椭圆算子的指标问题以及K理论中的一些问题时又重要作用。
正如Geroch提及的：“it is shown that many well-known solutions of Einstein's equations do have spinor structure. ”后代物理学家也常常用旋量研究广义相对论，而不限于研究平直时空的量子场论。例如，Schoen和Yau证明正质量猜想（On the proof of the positive mass conjecture in general relativity.）后，Witten就用旋量方法重新证明一遍（A new proof of the positive energy theorem.）因为有些不严密，Parker和Taubes很快就写了篇文章弥补漏洞：On Witten's Proof of the Positive Energy Theorem.
这些文章都可以直接在网上下载。
：：旋量群说明旋量（场）全体构成一个群？？
================================
旋量群是一个连通线性代数群，是二次型Q的正交群 O_（Q）的恒等元的不可约分枝 O_+（Q）的单连通覆盖。如果域K的特征不为2，那么O_+（Q）与SO_n（Q）一致。旋量群的构造要用到Clifford代数，定义Clifford代数的典范反自同构，通过包含关系定义Clifford群和“特殊Clifford群”，从而构造旋量群。
如果域K为实数域R，且二次型Q为正（或负）定，则spin_n（R）有时也称为旋量群，此时它为SO_n（R）的双叶覆叠，为紧单连通Lie群。且在n取下列值时分别与下列群同构：
n=3，同构于SU_2
n=4，同构于SU_2与SU_2之积
n=5，同构于Sp_4
n=6，同构于SU_4
：：群上的模是什么？
===============================
群上的模可以看作是线性空间的类似。精确定义在抽象代数教科书上有。
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| 发表时间：2006-06-01, 03:29:09 |
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windowsxp
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Re: 旋量的长话短说
只有看到了对象的广泛应用和重要性，学习起来才有劲。哈哈
谢谢萍踪兄。
我正在系统地了解克氏代数，可以认为它是外代数的非平凡推广，
以前不太看重，四元数代数，八元数代数以为没什么用，现在才觉得有趣。呵呵，落后了
等我学得多了，在进行深入地讨论
| 发表时间：2006-06-01, 05:55:25 |
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yinhow
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Re: 旋量的长话短说
我觉得物理的更注重它的实际应用，譬如写出GAMMA矩阵的具体表达式，GAMMA矩阵的代数性质（恒等式），弯曲空间中对旋量的协变微分（DIRAC方程），如何分离变量求解等等。
| 发表时间：2006-06-01, 20:47:59 |
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windowsxp
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Re: 旋量的长话短说
clifford代数可以认为是张量代数关于内积的某种结合的商代数.
clifford代数是否有某种泛性质刻画??
能否认为外代数是张量代数的某种商代数??
| 发表时间：2006-06-06, 09:58:26 |
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