王朝
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请教一个关于路径积分的问题
考虑到定积分中有这样一条性质，在积分区间上去掉可数个点，定积分的值不受影响。
这样的性质在路径积分中也有吗？ 类比的想，在所有可能走的路径中去掉可数条路径，路径积分的结果也是不变吗？数学上有证明过这个说法对路径积分是正确或错误的吗。
直觉上，好像结果应该是不受影响的。可是我想到一个简单的例子，比如真空中的一个自由粒子沿直线传播，如果把这条直线想办法挡住，或想办法不让粒子沿这条直线传，是不是应该等效于说在路径积分的积分空间中在所有可能的路径中刚好去掉了 粒子本来应该走的那条路径，这时的积分结果还会和初始时一样吗，我有点怀疑。
又考虑到，根据Feynman的说法，自由粒子走直线这个结果 并不单纯是这一条路径提供了全部贡献，在这条直线周围一个小邻域内的所有使粒子作用量一价变分为0的那些路径都有贡献，而其他路径的作用相互抵消。那么好像是即使在路径积分的空间中去掉那条本来应该走的直线，粒子一样会沿那条直线传。要是我继续去掉可数条在那条直线周围的邻域内使作用量一价变分为零的路径，结果是怎么样的呢。 看起来比较像 粒子会发生衍射.... 但是我这是完全的瞎猜。数学上又不是很懂。所以
还请各位师长，师兄帮我解惑！ 小生先谢谢大家了！
Veni Vidi Vici
| 发表时间：2006-06-02, 11:10:05 |
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sage
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Re: 请教一个关于路径积分的问题
It depends on what path you take away. path integral is weighted by the action. If you take away a path with a very large action, it will be different. For exmaple, in the example you have, the path with the largest action and dominate the path integral is the classical path. if you take it away by blocking the light, it will of course be different.
| 发表时间：2006-06-02, 13:21:52 |
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王朝
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Re: 请教一个关于路径积分的问题
谢谢sage兄的解释！
嗯，在这个自由粒子的例子中那条经典路径对应的作用量是最大的，可是在这条路径周围的小邻域内的其他使粒子作用量一价变分不变的那无穷条路径对粒子最终走经典路径这个结果也有正的贡献，考虑到那些远离经典路径的路径对最终积分结果几乎都抵消了，没有贡献了，那么那些经典路径周围小邻域内的无穷条路径的正贡献就将决定这个粒子还是要走经典路径的。 您觉得这个推理合理吗？
我在想如果在这个邻域内去掉可数的无穷条路径会不会使结果发生变化，如果变化，那这个粒子会走什么样的路径呢，呵呵 如果要是有人做过实验就好了~
Veni Vidi Vici
| 发表时间：2006-06-02, 14:11:42 |
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sage
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Re: 请教一个关于路径积分的问题
嗯，在这个自由粒子的例子中那条经典路径对应的作用量是最大的，可是在这条路径周围的小邻域内的其他使粒子作用量一价变分不变的那无穷条路径对粒子最终走经典路径这个结果也有正的贡献，考虑到那些远离经典路径的路径对最终积分结果几乎都抵消了，没有贡献了，那么那些经典路径周围小邻域内的无穷条路径的正贡献就将决定这个粒子还是要走经典路径的。 您觉得这个推理合理吗？
this is more or less right.
我在想如果在这个邻域内去掉可数的无穷条路径会不会使结果发生变化，如果变化，那这个粒子会走什么样的路径呢，呵呵 如果要是有人做过实验就好了~
I don't think this is feasible in practice. I think in principle, you could remove a path with
size h, but probably not smaller. On the other hand, the classical action is concetrated in a region with size h. therefore, you will probably end up either get rid of most of the classical action, or leave it completely alone.
| 发表时间：2006-06-02, 18:13:29 |
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王朝
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Re: 请教一个关于路径积分的问题
谢谢 sage兄~ 正如您所说，我那个想法的确没有操作意义，完全没法在实验中去掉某一条几何的、没有宽度的路径~ 呵呵。我明白了~ 数学上也许可行，但是在物理就没有实际意义了~ ：）
Veni Vidi Vici
| 发表时间：2006-06-03, 01:48:47 |
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kanex
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Re: 请教一个关于路径积分的问题
一面镜子切掉phase不对的部分和没切的镜子反射率一样，这是著名实验。
Récoltes et semailles
| 发表时间：2006-06-03, 07:43:54 |
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王朝
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Re: 请教一个关于路径积分的问题
kanex兄，你可以把这个实验简单描述一下吗，或者可以给我提供一个参考文献吗？我还不知道这个著名实验， 很想知道些细节。 ：）
在Feynman的那个由给大众的讲座汇成的关于QED的小册子里描述这样一个 实验：
（kanex兄可能看过这本书，知道我在说什么，跳过我下面的复述，就看看是不是跟你提到的试验大体上是一个思路吧， ：）
为了证实光在经过镜面反射时的确是不仅仅走了那条经典路径，还经过了所有可能的反射角度反射到了接受器上，用一条一条的黑布平行的、等间距的粘在镜子上。然后看会出现什么现象。其实这就变成个衍射光栅。
至于黑布的间距的确定是根据一个原则，为了把这个原则说清楚，简单描述一下Feynman当时讲概率振幅的手段，把概率振幅想像成为一个二维矢量，或简单的说，是个箭头，箭头的长度的平方是事件发生的概率，在镜面反射这个试验中，光走所有的反射角反射到另一侧的探测器的概率是一样的，所以箭头的长度是一样的；箭头的方向由光从发射光子的仪器经过反射后到达探测器的时间来决定，想像成一个秒表的针来计这个反射过程所用的时间，探测器一接受到光子，秒表的针指的方向就是这个概率振幅的“方向”。
把镜子分成若干块之后，计算如果光子在每一块上发生反射所需要的时间，根据这些时间把每块小镜子上反射对应的箭头画出来，可以看出这些箭头的方向大致上有向右和向左两种，把向左的箭头去掉，只把向右的箭头按照矢量加法加一起，这是就得到一个大箭头，即意味着这时会得到一个强反射。把向左的箭头去掉的实现正是通过在镜子上用黑布把对应的那部分给贴上了。 就是一个衍射光栅。
说了半天，才想起来，干脆贴个书上的图，一目了然！ ：） 看图就更明白我上面苍白的文字描述了。
Veni Vidi Vici
| 发表时间：2006-06-03, 10:28:22 |
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王朝
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Re: 请教一个关于路径积分的问题
数学上 路径积分还没有被严格化，可是我对数学意义下“在所有可能走的路径中去掉可数无穷条路径，路径积分的结果会怎么变” 这个问题感兴趣，呵呵，真的很想知道数学家有没有对其进行过论证.... 物理上这个问题则没有操作意义,暂时不理它也没什么关系. 还不如去想想在空间中挡住一块，看看粒子的行为会怎么变这样稍微看起来还实际一点的问题...
看看人家Feynman 一抬手就搞了个 衍射光栅的例子. 呵呵
Veni Vidi Vici
| 发表时间：2006-06-03, 10:40:08 |
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gage
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Re: 请教一个关于路径积分的问题
数学上对路径积分的严格化还没有最终完成。
但是，大家都认为Malliavin的工作时通向路径积分严格化的。
粗略的所就是要在路径空间空间上建立微积分。微积分最重要的是New-Leibnitz公式，或者高维的Stokes公式。应该还没有建立起来，或者说没有被证明。我这样说是因为，我很久没有关心过这个问题了，不了解当前的进展。国内研究这个方向的人不少，基本上都是概率论方向的人，比如说北师大的陈木法、王凤语，中科院的严家安。这个方面的研究和布朗运动密切相关。在这方面陈木法有一个非常漂亮的结果，当然是纯数学的。大体上是给出了紧致Riemann流形的第一特征值下界的一个统一的公式，将以前的几个最优的估计豆包含进来了。
特别申明，本人不是这方面的专家，所以以上叙述不一定确切，只是为了和大家聊一点可能有用的东西。仅此而已。
| 发表时间：2006-06-06, 00:09:44 |
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yinhow
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Re: 请教一个关于路径积分的问题
紧致Riemann流形的第一特征值下界的一个统一的公式
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这个特征值是什么样的特征值？是拉普拉斯算子的吗？
| 发表时间：2006-06-06, 04:48:27 |
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gage
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Re: 请教一个关于路径积分的问题
紧致Riemann流形的第一特征值下界的一个统一的公式
==================================
这个特征值是什么样的特征值？是拉普拉斯算子的吗？
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当然。
| 发表时间：2006-06-06, 06:00:12 |
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星空浩淼
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Re: 请教一个关于路径积分的问题
前面sage兄可能笔误了：应该是经典路径对应作用量最小的路径。作用量越大，它作为指数上，使得来回振荡得越厉害，抵消得越快。只有经典路径是“驻点”位置。
王朝兄的这个问题首先在数学上很有趣，至于在物理上是否有价值，还不知道。
首先，泛函路径积分跟通常的定积分进行类比，有以下不同之处：
1）按照王朝兄的意思，定积分中的这种性质，是指测度为零的积分区间对积分结果没有贡献。
2）但是在泛函路径积分的类比中，去掉一条不同的路径（两条路径只要有一点不同，就可以看作两条不同的路径），相当于在无穷多重积分中去掉一重积分，因此去掉几条路径相当于泛函积分的积分重数发生改变。路径积分的积分重数，是不可数无穷多重。
我的猜想是，去掉可数无穷多条路径，的确没有影响。事实上，跟经典路径“几乎处处相等”的另一条路径，仍然可以看作经典路径，但二者之间，却是存在可数无穷多条不同的路径。显然去掉它们影响可以忽略。学过测度理论的，知道两条路径“几乎处处相等”的含义：当两条路径不相同的点集合的测度为零的时候，即是几乎处处相等。这样不同的点，可以包含可数无穷多个这种特例。
One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
| 发表时间：2006-06-06, 08:00:05 |
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王朝
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Re: 请教一个关于路径积分的问题
^o^ v 星空兄说的跟经典路径“几乎处处相等”的路径可能刚好满足使粒子作用量一价变分不变，所以去掉这些路径是没有影响的。
我上大一的时候听说过 “几乎处处可导”这个概念，虽然我没学过测度理论，但我能想像这个“几乎处处”的意思~ 您的这个解释很有启发性，这样看来，直观的想像好像的确是去掉可数条路径不会影响路径积分的结果！ ：） 我去翻翻相关的书看看~
我又想了个例子，还是镜面反射，如果去掉镜子上可数个点，不让光通过这些位置反射，那光还会走经典路径吗。比如在镜面建立个数轴，去掉镜子上的有理数点，保留无理数点。虽然去掉的是可数个反射点，但这时会不会已经相当于去掉了不可数无穷多条路径了呢。
更极端一点，去掉所有无理数点，保留有理数点。这时光有可能衍射了吧... 呵呵。想像一下很有趣. 但是解决不了自己的这些想像也很着急！虽然这些可能没什么实际物理意义。我就是感到好奇而已。 ：）
gage 兄 提到的进展也挺有趣，路径积分的严格化居然可以和布朗运动密切相关！ 很神奇呀！ ：）
Veni Vidi Vici
| 发表时间：2006-06-09, 11:31:38 |
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gage
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Re: 请教一个关于路径积分的问题
翻过李政道的一本书，上来就宣称该书给出了路径积分的严格化处理，然后我就对该书没有兴趣了。因为路径积分还远远没有严格化。我觉得，计算路径积分可以作为衡量是否懂量子场论的一个判据。记得有人说过学数学的人很难学会计算路径积分。反正有些搞超弦的人不会计算这玩意，当然是一些作纯数学的。很难想象，但确实有这样的人，还是大人物。
繁星满目的夜晚
我举起了望远镜
于是
从此我便知道
众星都离我远去
| 发表时间：2006-06-10, 03:18:18 |
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