student
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一个表述简单的难题
是否存在一个常数A，使得面积大于等于A的点集都包含3个点
这3个点组成的三角形的面积恰好是1
| 发表时间：2006-06-11, 00:50:01 |
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冠臻
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武功等级: 野球拳
(第三重)
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Re: 一个表述简单的难题
显然不存在。。。
考虑 $\mathbb R^2$ 上的散布着的边长为1正方形，比如排成行和列吧，相邻正方形距离是2。 这个集合面积是 $\infty$, 可是却不符合你的要求。
| 发表时间：2006-06-11, 02:25:52 |
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student
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武功等级: 野球拳
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Re: 一个表述简单的难题
注意:题目只要求三角形的三个顶点在其内,并没有要求全部在.
| 发表时间：2006-06-11, 05:31:12 |
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冠臻
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武功等级: 野球拳
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Re: 一个表述简单的难题
我也没说全部啊
你仔细想想 我的例子
| 发表时间：2006-06-11, 05:37:50 |
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kanex
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Re: 一个表述简单的难题
student的意思应该是connected吧。
我觉得会有一些病态的例子，所以最好再进一步规范一下拓扑。
Récoltes et semailles
| 发表时间：2006-06-14, 16:45:21 |
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student
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武功等级: 野球拳
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Re: 一个表述简单的难题
不需要连通的.
如果连通的话,很容易证明的
| 发表时间：2006-06-19, 18:34:43 |
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windowsxp
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Re: 一个表述简单的难题
与空间的可测结构和其上的测度有关。
若就考虑平面上的典型的结构，
使得面积大于等于A的点集都包含3个点==〉A>0==>面积大于等于A的点集都包含不可数个点。
这3个点组成的三角形的面积恰好是1==〉A〉1。
对于任意的A〉1，都满足你的要求。
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-19, 23:17:43 |
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windowsxp
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武功等级: 罗汉拳
(第五重)
内力值: 167/167
Re: 一个表述简单的难题
不好意思，理解错了
因为你的问题是对任意的可测集说的，所以这样的A不存在。
因为对于任意的A,都存在可测集，其测度大于A，
但其内的任何三个点组成的三角形面积或大于1，或小于1，但没有恰好等于1的。这样的例子很容易举
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-19, 23:22:32 |
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student
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武功等级: 野球拳
(第二重)
内力值: 92/92
Re: 一个表述简单的难题
请给一个具体的例子
谢谢！
| 发表时间：2006-06-20, 00:01:15 |
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windowsxp
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武功等级: 罗汉拳
(第五重)
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Re: 一个表述简单的难题
考虑平面的一个格点群，（10n,10m）,m,n是整数。
以格点为中心做圆，半径足够小，使圆面积等于1/2。
A是任意正数，所有圆盘的并集的测度为无穷，大于A.
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-20, 02:20:10 |
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gage
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(第三重)
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Re: 一个表述简单的难题
很难证明或者举反例，至少到现在为止，没有回帖证明了你的问题也没有正确的反例。
你需要证明的原始结论也许证起来更容易些。不妨写出来看看。
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
| 发表时间：2006-06-20, 06:11:25 |
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windowsxp
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武功等级: 罗汉拳
(第五重)
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Re: 一个表述简单的难题
对固定的A,可以选有限个格点，调整格点的距离和圆盘的面积.
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-20, 07:04:41 |
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student
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内力值: 92/92
Re: 一个表述简单的难题
考虑平面的一个格点群，（10n,10m）,m,n是整数。
以格点为中心做圆，半径足够小，使圆面积等于1/2。
A是任意正数，所有圆盘的并集的测度为无穷，大于A.
这不是反例，可以在其中找到三个点，使得以她们为顶点的三角形的面积为1
| 发表时间：2006-06-27, 10:45:28 |
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student
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Re: 一个表述简单的难题
如果连通的话，可以证明如果面积大于4就可以在其中找到三个点满足要求.
大致的思路
如果A区域的面积大于4，那么也可以找到他的有界子集A'使其面积大于4，下面考虑A'的直径l，在A'上找到两个点的距离接近于直径,以它们为三角形的其中两个顶点.这时候A'就被限制在几个弧围成的区域内.突然脑子有点短路，请大家先思考思考吧
| 发表时间：2006-06-27, 10:56:45 |
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gage
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Re: 一个表述简单的难题
如果连通的话，可以证明如果面积大于4就可以在其中找到三个点满足要求.
大致的思路
如果A区域的面积大于4，那么也可以找到他的有界子集A'使其面积大于4，下面考虑A'的直径l，在A'上找到两个点的距离接近于直径,以它们为三角形的其中两个顶点.这时候A'就被限制在几个弧围成的区域内.突然脑子有点短路，请大家先思考思考吧
========================================
考虑映射 Area：DxDxD-->R,
其中D为给定点集，R为实数集。Area(x,y,z) 定义为D中的3个点 x,y,z 所构成的三角形的面积，显然 Area 是连续映射。我们需要证明 1 属于函数 Area 的像集。
如果D连通，则函数 Area 的像集也是连通的。假设 1 不在Area 的像集中，则任何大于１的数也不在其中。由此容易证明D包含在如下的矩形中
H---------------------------------
| |
| |
A---------------------------------B
| |
| |
-----------------------------------
其中，AB为直径，矩形的高的一半，即 AH, 满足条件，AB*AH=2.
由此即可证明楼主的结论。
当然，容易看出区域D的面积实际上可以比 4 小一点，但无关紧要。
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
这一刀扎下去，使五千年中国文明立时成为了一个谎言。整个中国历史必须以这个细节为切入口重新改写。
| 发表时间：2006-06-29, 00:49:54 |
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gage
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Re: 一个表述简单的难题
刚才那个矩形没画好，显示出来的图，中间的空格被去掉了。
重新试一下，这次将矩形内部用线填起来。
H-----------------------------------------
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A----------------------------------------B
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
-------------------------------------------
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
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| 发表时间：2006-06-29, 00:59:48 |
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student
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Re: 一个表述简单的难题
谢谢gage斑竹的补充!
不知道，按照这个思路走下去是否可以证明任意只有有限连通分支的情况?
| 发表时间：2006-07-02, 12:06:46 |
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gage
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Re: 一个表述简单的难题
按照这个思路走下去是否可以证明任意只有有限连通分支的情况?
======================================
应该可以。
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
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| 发表时间：2006-07-04, 00:59:23 |
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student
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Re: 一个表述简单的难题
我想了想，不知道怎么把证明推广到有限个连通分支的情形(这种情况如果能解决，或许一般的情况就差不多了).gage能否谈谈得您的想法?
| 发表时间：2006-07-11, 21:52:05 |
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gage
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Re: 一个表述简单的难题
想了想，也没有证明出来。说实话，我觉得这个问题没什么意义。本来我是希望证明出来后再说这句话的。但是看来证明不太容易，所以我决定不去证明了。当然也许这个问题有一格有意思的起源，那又另当别论。
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
多普勒说，你们都是红眼病。
这一刀扎下去，使五千年中国文明立时成为了一个谎言。整个中国历史必须以这个细节为切入口重新改写。
| 发表时间：2006-07-18, 09:55:09 |
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student
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Re: 一个表述简单的难题
这个问题确实有一些背景的:很早就有人证明(erdos?)，任意测度无限的平面集都存在三个顶点，使得以它们为顶点的三角形面积为1.但是否存在一个有限数，似乎现在还没人知道.
| 发表时间：2006-07-20, 00:02:55 |
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