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kanex

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Morse Theory小知识

Morse Theory小知识 part 1

这几天看球和修电脑，浪费时间啊，呵呵。写得很快，估计错漏不少。

考虑如何将一张椅子靠椅子腿立在平地上（我们禁止它躺下去……）。那么有三种方法：四条腿立着，两条腿立着，一条腿立着。我们说这三种情况都对应到Hamiltonian的critical point，就是一阶导数等于0的点，或者说d=0的点也行，所以都是系统稳定时可能的状态。但是很明显三种情况的稳定度不同，第一种很稳定，第二种有一个不稳定方向，第三种有两个不稳定方向――事实上它是一个极大值，很不稳定。所以我们区别对待，他们的Morse index分别是0,1,2。所以有1个index 0的点，4个index 1的点，4个index 0的点。看到这么有趣的事情我们已经可以肯定会与configuration space(只考虑简单的静力学)的拓扑有关，那么事实也是这样。只考虑静力学的好处是不用碰symplectic，那么此时Hamiltonian无非是一个从configuration space到R的map，那么我们现在就知道某个manifold到R的map的critical point的Morse index可以揭示这个manifold的拓扑。很多时候critical point是一个submanifold，特别是我们为了方便计算设置比较对称的potential的时候，譬如草帽型的potential在整个凹的一圈都可以稳住，这时候要用morse-bott theory。说到这里感觉似乎和自发对称性破缺也可以有一些有趣的联系吧。另外，有办法直接从拓扑上得出有五个Lagrange点么。但一般的情况critical point是non-degenerate的，一个一个孤立的，就是一阶导数等于0但det［Hessian］，which叫discriminant，不见得等于0，二阶导数构成的matrix叫Hessian。注意Laplacian就是tr［Hessian］。所以这个和hodge theory有紧密联系，一直联系到index theorem和torsion那边毫无问题。写到这里我想到不知Hessian的characteristic polynomial有没有人研究，其实可以构造一些characteristic class吧。这个想法似乎也挺有趣，我想会对我的其它想法有用的。

我们注意一个事实：椅子要倒的话无论向哪个方向倒都肯定会倒向稳定点为止。于是我们知道在critical point之间存在flow，基于明显的原因叫gradient flow。如果两个点的index相差1，那么flow显然就是0维的，我们可以数具体的倒的方法有几种［如果manifold是无限维，例如在floer中，有可能是无限种］，例如一条腿倒到两条腿有一种办法；如果两个点的index相差2或以上，那么flow是差值减1，例如从一条腿倒到四条腿的方向不少，但是我们一定可以continuous deform它使得它经过一些中间点，每次index减少1：先倒到两条腿，再倒到四条腿。Witten用quantum tunneling解释这个，可能有点小题大做。看到这里又会令人觉得其实不必取d=0的点作为critical point，随便选定一个close的1-form在它的零点间也有flow，道理是：若想在R里回到原处，那么不能一直向一个方向走。不过我们知道在S^1里可以一直朝一个方向走，因为它compact，那么这个复杂很多。那么这些是Novikov的想法。

这个例子里面的configuration space具体是什么样子，不大适宜用来说明。我们看经典的例子，一个map: X->R，X是torus，将它立起来嵌入R^3来induce一个metric，R值是每点的高度。那么从下往上index分别是0，1，1，2。我们发现每经过一个index为n的 critical point就等于加上了一个n-cell，或者说是n-handle。粘的方式是粘到边界上，原因从几何直观上可以看得很明白。所以torus是由1个0-cell，2个1-cell，1个2-cell组成的。这个很有趣，因为我们知道n-cell的数量显然对n-th singular homology group的dimension给出了一个上限。所以有一个morse inequality。另外我们希望在index相等的点之间不存在flow，如果有的话略做perturbation干掉它，满足这样的map叫Morse function。立着的torus的上下两个index1之间的点间有flow，我们perturbation一下，结果就是每个index为1的点接收两条从2来的flow，给出两条到0的flow。

我们可以进一步细化这个结果，即Morse homology，which is isomorphism to singular homology。方法大致是先选择一个orientation，然后k-chain是index为k的点span的Z-module，d(x) = ［x和y之间的flow的条数，符号由定向决定］ * (y)，我们可以检验一下dd=0，那么这个dd=0的原因就是因为定向之后正反恰好可以抵消。我们看立起来的torus的例子，的确可以算homology，H_1(X;Z)等于Z_2。如果X是躺着的torus，那么critical manifold是下上两个S^1，它们的index分别是0和1，我们知道S^1是1维的，于是我们用[n, n+dim]来记录这种情况，就是[0,1], [1,2]，此时flow显然也是1维的，要用morse-bott来定义homology。

通过合理设置Morse function，我们可以使得它是self-indexing：所有index=n的点都映射到n上。那么我们可以把一个3-manifold切成两半，一半是[0,3/2]，一半是[3/2,3]，这叫Heegaard splitting，每一半都是一个D^3加上一堆1-handle，叫handlebody of genus g，这个就和braid theory相当像了。从category的角度看braid也的确capture了3-groupoid的精髓。很明显，我们接下来应该研究这两边是怎么连起来的，有什么类似braid move的move，这是Heegaard diagram。

Récoltes et semailles

发表时间：2006-06-14, 16:15:35