星空浩淼
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量子力学中的时间之谜之二：从函数到测度
通常的函数是自变量的函数，输入一个变量，经过函数（映射）这台机器折腾一番之后，输出一个值，那便是传说中的函数值。
如果我们推广一下，输入一个集合，再给出一个东东，对这个东东进行一番限制（比如说非负性），那么就可以引入“测度”这个概念了。换句话说，测度可以看作定义在集合上的非负函数。
函数的定义域通常是某变量构成的集合，当自变量对应连续分布的空间坐标时，定义域作为空间坐标的集合，也是空间点集合，从而对应某个空间区域；
对比之下，测度的定义域是由集合构成的集合，所以测度空间常常由三元组表示:
{A，Ω，μ}
其中A是一个集合，Ω由集合A的满足特定条件的子集构成的集合，它是测度μ的定义域。
对于空间点集合构成的空间区域，我们可以定义这个空间区域的长度、面积和体积。这些概念可以看作测度的特例。
不过测度最主要的用途在于公理概率理论中。概率是定义在事件集合上的测度，此时概率就称为“概率测度”。此时在测度空间{A，Ω，μ}中，A对应基本事件空间（样本空间），而概率测度μ取值在0与1之间。设B是A的一个子集且属于Ω，如果B代表某个事件发生，除了可以计算B发生的概率μ（B），那么我们还需要描述该事件不发生的概率，即μ（A-B），因此B在A中的补集(A-B)也属于Ω。另外空集和A本身，分别代表不可能事件和必然事件，当然也应该属于概率测度μ的定义域Ω。设A(1),A(2)...A(n)代表Ω中的n个不交集合，则它们集合并的测度，等于它们各自测度之和。于是，概率论有三条公理：
1）对于任意集合B∈Ω，μ（B）≥μ（Φ）=0，Φ是空集。
2）A(1),A(2)...A(n)代表Ω中的n个互不交集，则μ（∪A(i)）=∑ μ（A(i)），其中∪代表集合并，∑表示求和，i=1,2,...n.
3）μ（A）＝1。
当然，在积分的应用中，需要涉及负值，但测度非负，此时用减去一个正的来避免引入“负测度”。对于集合我们可以赋不同的值，这就是抽象测度。例如我丢硬币，正面朝上我看电影花四十元钱；反面朝上我去游泳花10元钱。于是“正面朝上”的事件集合测度为40；“反面朝上”的事件集合测度为10。
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| 发表时间：2006-06-17, 04:08:01 |
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windowsxp
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Re: 量子力学中的时间之谜之二：从函数到测度
测度就是集代数上的可加集函数。
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-17, 05:48:08 |
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星空浩淼
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Re: 量子力学中的时间之谜之二：从函数到测度
如果只用一句话：测度是Borel集的δ－代数上的正实值函数
固然很简略，但对于没有学过测度理论的人而言，这是废话，说了等于没有说。
而通俗明了的讲解，代价是牺牲准确性。
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| 发表时间：2006-06-17, 06:01:24 |
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gage
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Re: 量子力学中的时间之谜之二：从函数到测度
测度就是体积。
繁星满目的夜晚，我举头四望，从此我知道众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
| 发表时间：2006-06-17, 23:44:39 |
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windowsxp
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Re: 量子力学中的时间之谜之二：从函数到测度
讨论一个东西最好还是从这个东西试图刻画和描述的现象来开始，即是先要进行必要性的论述，其次就是可能性的论述。最后给出最一般的说明，包括其功能和各种联系。我认为惟有这样才可能完全的说明一个东西。
从新旧知识的比较和其具体的表现来说明一个对象是不充分的，尽管从接受的角度那样可能会减小阻力，但在我看来那是次要的问题。
准确的定义一个对象要求明确的指出概念所依赖的要素和各种要素的关联方式。如果做不到这一点就缺乏进一步讨论的基础。这样的例子在数学中到处都是。
在数学中明确概念是最要紧的。一个概念所依赖的所有逻辑基础完全的包含在定义里面。
一个概念背后的逻辑基础是什么这样的向后的分析本身就预示了这样的一种洞察的倾向：概念所在的一般框架是什么？概念的必要性？概念的可能性？概念的各种关联？
楼主所做的不是牺牲准确性，而是没有准确性。
楼主所做的只是描述的一些涉及测度的具体的片段，当然读者会从这些片段获得不全面的认识，如此获得的认识必然是分裂的，无法应用到抽象的背景中去，并且在应用中，他们需要时常回到你的具体的片段所描绘的背景中去，因为他们获得的认识完全依赖于你所提供的不够广泛的背景。脱离了你的背景必然会出现误解。
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-18, 02:31:29 |
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windowsxp
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Re: 量子力学中的时间之谜之二：从函数到测度
::测度就是体积
这确实是历史上曾经出现的观点，似乎就是测度最初的观点。
但是后来数学的发展使得测度的概念越来越远离其体积的早期理解。
体积，测度，度量，微分形式的积分，可测函数空间上的泛函，R-N导数，条件期望等等，种种的数学对象已经没有早期的直观景象了。他们的区别和联系也不是轻易就说的明白的
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-18, 02:40:42 |
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kanex
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Re: 量子力学中的时间之谜之二：从函数到测度
嗯，测度就是体积。
数学中很多东西是为了处理一些病态的结构才不得不发展地千奇百怪的。
Récoltes et semailles
| 发表时间：2006-06-18, 06:34:07 |
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windowsxp
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Re: 量子力学中的时间之谜之二：从函数到测度
测度就是体积，确实很简单，但是如果换一个问题，反过来问：
体积都有什么性质？？体积是否都是正的？在什么样的情况下才会有体积的概念？
如何研究体积？
对于黎曼流形，其上有更加丰富的几何现象，同样的也有很多体积。但最重要的是和空间的度规有关的体积，正是有了体积，才可以有空间上的各种各样的希尔伯特空间，才有了变分法的基础。
大家怎么回答？？数学家不是无聊的很，有些问题是不得不考虑的，数学中的大部分概念都是有重要意义的。各种概念的区别也不是无关紧要的。
这个问题不是没有意义的。在相对论中，几何体是否有体积？几何体的体积是否是不变的？？相对论是否存在几何体的概念？？
流形是一个拓扑空间，自然的可成为一个可测空间，但是流形上却没有一个自然的测度。
但是对于微分流形，由局部欧结构，对于几何体却可以定义类似体积的东西，就是微分形式。流形上存在与坐标无关的体积（微分形式）这个事实本身就不是平凡，这里面有对偶性也有范畴性的因素。要想完全的解释这些现象，必须要借助与模型论的工具。
同一个几何体有无穷多个体积，体积也不在是正的了。在物理中，有些物理量要用微分形式来表示，微分形式也可能具有物理意义，虽然不是所有的微分形式都有物理意义。
微分形式也是用来定义上同调的基础。体积也可以反映空间的拓扑结构。
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-18, 07:35:42 |
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季候风
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Re: 量子力学中的时间之谜之二：从函数到测度
流形上存在与坐标无关的体积（微分形式）这个事实本身就不是平凡，这里面有对偶性也有范畴性的因素。
~~~~~~~~~~~~~~
解释一下?
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-06-18, 19:14:48 |
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星空浩淼
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Re: 量子力学中的时间之谜之二：从函数到测度
windowsxp兄说得有道理，不过我这里讨论方式的切入点、内容取舍等等，都是以为我的主题服务为标准的。我想以最小篇幅、最简单易懂的方式，把概率论用测度理论语言的描述方式，介绍给对物理感兴趣但是不熟悉测度理论的人。
测度可以看作是对体积、面积、长度等等概念的推广，但它的意义更广泛得多（我在楼顶主帖最后举的例子，不是类比，而是实实在在的例子）。测度理论除了为解决黎曼积分的不足而引入L积分，还促成概率论公理化的完成。测度理论是现代概率论的基础，也是现代量子力学的数学基础之一。
概率是一种测度。但量子力学中所谈到的“概率测度”，大多是“概率（密度）测度算子”，它们的量子力学平均才对应数学中的“概率测度”。
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| 发表时间：2006-06-18, 21:57:22 |
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