星空浩淼
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量子力学中的时间之谜之三：算符，可观察量与谱测度
对于学过量子力学的人而言，算符与可观察量什么的大家都知道，那我还罗嗦什么呢？
我这里写的东西是自己的原创，当然不会重复书上的。
量子力学中，每一个可观察量都对应一个算符。
那么概率（或概率密度）是不是可观察量？是的。可是你没有见过“概率算符”这样的名词。你没有见过不等于外星人也没有见过——人类文明发展历史，由于一些偶然的原因，有些术语称呼或者描述，本该这样却成了那样，在另外一个星球文明那里可能就没有这样。
对算符F求平均值：<ψ|F|ψ>，它等于F的本征值f(i)乘以取该本征值的概率P(i)，再求和:
<ψ|F|ψ>=∑ f(i)P(i) （1）
但我们可以把这个公式剥去外衣<ψ|和|ψ>，直接露出赤裸裸的算符F本身，得到
F＝∑ f(i)μ(i) （2）
此时，称μ(i)为算子F的谱测度，上式称为算符F的谱分解。本来，矩阵也好，算子也好，谱分解不过是一个纯粹的数学事实，但是量子力学中，波函数（如果以|ψ>代表Hilbert空间中的矢量，那么通常所说的波函数，即是Hilbert空间中的泛函）代表概率幅，这使得(2)式所表示的谱分解，有更多的含义。例如在（2）式中，F的“算符性”由μ(i)来承载，因为本征值f(i)只是一个c数不是算符，而
<ψ|μ(i)|ψ>=P(i) （3）
从（3）式看，即算符μ(i)的平均值就是概率P(i) ！因此谱测度μ(i)相当于一个概率算符！如果前面的求和是连续求和，那么谱测度μ(i)相当于一个概率密度算符。
在通常的量子力学中，谱测度μ(i)被称为投影算符，因为它是幂等的（它的平方等于它自己），而且利用它可以实现将某个矢量向μ(i)中包含的某个矢量上进行投影。
与此相应地，传统量子力学中，要求可观察量对应的算符是自共轭的，这类算符的谱分解中，谱测度对应投影算符。
但是传统量子力学存在局限性，需要扩展。比如，我们的测量，不一定对一个系统整体进行测量，而是对一个系统中额达某个子系统进行（严格说来，我们无法把观察者和被观察对象分离开来），此时算符的谱分解中，谱测度不一定对应投影算符。再例如，有些可观察量，例如时间，相位差等等，它们并不对应自共轭算符。
为了推广量子力学可观察量的概念（即不一定对应自共轭算符），我们需要推广算符的谱分解（2），使得其中的谱测度μ(i)不必对应投影算子，而是把投影算子看作它的特例。由（3）式可知，谱测度相当于“概率算子”（或“概率密度算子”），因此，在正统量子力学中它对应投影算子只是一个偶然，这并不表明它直接与投影算子等同，它应该对应更一般意义上的“概率算子”（或“概率密度算子”），从而谱测度μ(i)可以一般地推广到“概率测度”。由于概率测度非负，所以此时的谱测度称为“正算子取值测度”（POVM）。只要谱测度μ(i)对应POVM，（2）式表示的算符，均对应可观察量，此时这样的算符不一定是自共轭的。
但是，为了与传统区分开来，谱测度常常是指可以解释成投影算子的那种。一个算符是谱测度意义上的，还是POVM意义的，关键取决于所取的Hilbert空间（即算符的表示空间）。有一个定理是说：每一个POVM，存在一个谱测度的“膨胀”（dilation）。例如，假定Hilbert空间H(1)是H(2)的子空间，算符F在H(2)中存在谱测度分解，那么它在H(1)上的压缩compression（或限制restriction）记为E，假定E在H(1)中存在POVM分解，此时F是E在H(2)中的dilation。
注意，dilation与扩张extension是两种概念，一个POVM意义上的算符，不一定存在谱测度意义上的extension，除非该算子的正负亏指数deficiency index相等。但是dilation就不存在这个限制：每一个POVM，都存在一个谱测度的dilation。
（我将暂时有段时间不能来，将来我再接着写下去。本人在此严重感谢昌海兄私下曾经大量的无私帮助，他的每一次点播，都能让我有胜读十年书的感觉。昌海兄的能力与水平，是我到目前为止遇到的最强的——如果我的海外朋友们看到这个帖子，可不要生气:-) .如果不服，就注册进来说个明白，别老是潜水。我一直不敢在此地表达感谢，害怕因此招来许多人对他的求教。昌海兄自己忙的时候，要学会拒绝）
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| 发表时间：2006-06-17, 05:23:30 |
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星空浩淼
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Re: 量子力学中的时间之谜之三：算符，可观察量与谱测度
注意，dilation与扩张extension是两种概念，一个POVM意义上的算符，不一定存在谱测度意义上的extension，除非该算子的正负亏指数deficiency index相等。但是dilation就不存在这个限制：每一个POVM，都存在一个谱测度的dilation。
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这里我再说得具体一点：当闭对称算子的两个亏指数（deficiency index）相等时，才存在自共轭扩张（extension）。但是，如果这个算子存在POVM分解，则即使亏指数不相等，同样存在自共轭dilation。
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| 发表时间：2006-06-17, 05:50:28 |
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星空浩淼
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Re: 量子力学中的时间之谜之三：算符，可观察量与谱测度
这第三部分标题没有起好。应该是：投影测度与正算子取值测度（PV and POVM）。
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| 发表时间：2006-06-17, 09:06:42 |
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gage
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Re: 量子力学中的时间之谜之三：算符，可观察量与谱测度
Dirac解释过为什么要求量子力学中的力学量所对应算符是自伴的。
首先，一次测量只能得到一个值。如果测量值为复数 x+iy , 这实际上相当于两个测量，即分别测量 x 和 y ,两次测量会互相影响，所以测量值取复数是不合理的。也就是说，你的力学量对应的算符应该以实数为特征值，当然，如果用更数学化的语言来说就是要求谱为实数。显然自伴算符的谱为实数，另一方面，虽然存在不是自伴的算符使得谱为实数，但这样的算符从数学上看很难描述，比如这样的算符的谱分解都不一定存在，至少我们只对正规算符证明了可以作谱分解。若讨论的是有界线性算符，实际上谱分解你也最多可以推广到正规算符，这个可以从Gelfand同态看出来。而且量子力学中出现的就是自伴算符，或者稍稍弱一点，至少是对称算符。当然量子力学中的有意义的算符是无界的，比如位置算符 x^ 或者动量算符 p^.对位置算符而言，其谱就是所有的实数，没有本征值。但是容易看出，\delta_x就是一个本征态，用物理的话来说即粒子出现在确定的点 x 处。不管怎么说，用谱测度或者谱分解可以将量子力学的形式弄得很完美，但无助于物理事实。几乎没有物理学家这样去考虑量子力学。如此一般、广泛的抽象基本上只是数学而不是物理。
繁星满目的夜晚，我举头四望，从此我知道众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
| 发表时间：2006-06-17, 23:43:15 |
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星空浩淼
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Re: 量子力学中的时间之谜之三：算符，可观察量与谱测度
回gage兄：
1）你引用Dirac解释为例，我打个比较夸张的比方，这就好比我在这里科普相对论力学，而你却引用牛顿力学理论来反驳。那是老黄历啊！
2）我谈到谱测度或者谱分解（纯数学地看，相当于把算子张量用张量基进行展开的一个特例），是属于传统量子力学内容。你说：
“不管怎么说，用谱测度或者谱分解可以将量子力学的形式弄得很完美，但无助于物理事实。几乎没有物理学家这样去考虑量子力学。如此一般、广泛的抽象基本上只是数学而不是物理。”
我不同意这样看法。事实上这只是你主观上想当然的想法，如果你真的去学习和研究量子力学（比如量子信息与量子计算），你就不会这样想。
没有数学描述框架的物理，就不成其为一门物理理论。每当一门物理理论需要进一步深化和发展时，除了物理假设，剩下的就是数学框架了。没有黎曼几何，爱因斯坦的广义相对论就不会产生，最多停留在idea的阶段。没有数学基础和运用数学的能力，就无法搞物理理论方面的研究。
本人之所以成不了正统的物理工作者，根本原因就在于我缺乏正统物理学子们应具备的数学功底（当然也许有些正统物理学子数学基础还不如我，但我不跟庸才比）。没有这个数学功底，我就无法具备正统学子们应有的物理基础（同理，也许有些正统物理学子物理基础还不如我，但我不跟庸才比）。
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| 发表时间：2006-06-18, 23:01:43 |
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sage
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Re: 量子力学中的时间之谜之三：算符，可观察量与谱测度
Could you please say which physics problem, which experiment, conventional QM does not explain and you will be able to explain. Or, more generally, which physics question you are trying to solve?
I agree with gage that good physics never come from going deep in mathematics.
| 发表时间：2006-06-19, 12:02:02 |
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星空浩淼
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Re: 量子力学中的时间之谜之三：算符，可观察量与谱测度
Could you please say which physics problem, which experiment, conventional QM does not explain and you will be able to explain. Or, more generally, which physics question you are trying to solve?
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小一点的例子有：按照传统量子力学，时间不是一个可观察量，因为不存在与之对应的自共轭算符。但这显然是跟实际不相符的：时间是一个可观察量！否则主要以钟表业为生的瑞士国家早就垮台了。
大一点的例子是：量子力学的测量理论，量子信息与量子计算理论基础等等，存在超出传统的量子力学的内容，属于量子力学的下一个层次上的理论。在那里，POVM属于必修的基础。关于POVM，比较系统一点的介绍有文献：
P. Busch, M. Grabowski and P. J. Lahti, Operational Quantum Physics, Springer-Verlag, 1997.
关于“量子力学基础”一类的书籍，是钻研和发展量子力学下一个层次上的理论的基础，比较有代表性的文献是：
1) G. Ludwig, Foundations of Quantum Mechanics, Springer-Verlag, 1983
2) V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory, Springer-Verlag, 1985
3) J. M. Jauch, Foundations of Quantum Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1968.
"I agree with gage that good physics never come from going deep in mathematics. "
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这个倒是sage兄的一贯看法。每个人的经历感受不同，也许没有一个统一标准。我的个人看法是坚定的：物理研究好比是开发产品，对于熟悉数学基础的人而言，物理研究是直接从半成品做起；对于缺乏相应物理基础的人而言，物理研究是从零开始。
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| 发表时间：2006-06-19, 21:59:27 |
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windowsxp
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Re: 量子力学中的时间之谜之三：算符，可观察量与谱测度
我认为星空兄说的有道理，套用现成的模式总比亲自开发出一种模式要简单。
对于科学研究特别的对于像理论物理这样的基础研究，唯一有力的工具就是数学。
一个必须注意的事实就是：科学的发展总是继承和积累性的。
数学语言里吸收了足够多的模式，这些模式代表了人类的经验总结，这些模式还有足够的广泛性和深刻性。数学其实就像一个模式收容站，和一个可扩充和更新的工具箱。
工具用的熟练，理解能力就强，思维的跨度和深度就大，创造出新的玩具的阻力就小。
我认为，足够的数学训练的一个好处就是思维能力的培养，特别是思维方式的培养。数学家处理信息的能力是很强的，从一些混乱的东西中找出基本的东西和整理出秩序来这对于经过足够的数学训练的人要容易一些。
当然，这只是理论上的观点，并不受所有个例的支持。
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-19, 23:48:46 |
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sage
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Re: 量子力学中的时间之谜之三：算符，可观察量与谱测度
按照传统量子力学，时间不是一个可观察量，因为不存在与之对应的自共轭算符。但这显然是跟实际不相符的：时间是一个可观察量！否则主要以钟表业为生的瑞士国家早就垮台了。
This statement is not correct. Conventional quantum mechanics gives a perfect description for all classical physics, such as the one you have mentioned here.
Time is an evolution parameter, and not a dynamical variable in this conventional point of view. If you want, it parameterizes the world-line. Any tradition measurement of "time" or our experience can be phrased in terms of Hermitian operators. If you do not agree, please describe to me a measurement which is not.
| 发表时间：2006-06-20, 00:17:36 |
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星空浩淼
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Re: 量子力学中的时间之谜之三：算符，可观察量与谱测度
Time is an evolution parameter, and not a dynamical variable in this conventional point of view. If you want, it parameterizes the world-line. Any tradition measurement of "time" or our experience can be phrased in terms of Hermitian operators. If you do not agree, please describe to me a measurement which is not.
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按照传统量子力学公理，每一个可观察量对应一个自共轭的力学量算符（不太严格地说，是Hermitian operators）。按照这个标准，时间就不是一个可观察量，因为不存在一个自共轭算符与时间对应。但是，时间的确是一个可观察量（例如事件的发生时间，粒子的量子隧道穿透时间，粒子的到达时间，粒子的衰变时间，能级寿命，等等）。因此传统量子力学在这一点上，跟实际不符。
为什么不存在一个自共轭算符与时间对应？这是因为，能量E取值并非在整个实轴上，能量E取值不是在正负无穷大之间，而是永远至少存在一个下限。这点跟空间坐标之于动量，是不同的。但是，如果假设有一个无穷大的空间屏幕把空间分隔成两半，考虑粒子在屏幕的一边沿垂直屏幕的一维空间上运动，则可以证明，此时粒子的动量算符也不是自共轭的。
为了解决这个疑难，人们认为，应该放宽力学量算符的自共轭要求。相应地，把传统“投影取值测度”（PV，又称“谱测度”）放宽为“正算子取值测度”（POVM)，传统的测量理论推广到“广义测量理论”（这是量子信息理论中要涉及到的）。其他方面，我前面三个帖子中已经作了讲解，还有些内容，在今后的帖子中要具体谈到。
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| 发表时间：2006-06-20, 01:05:33 |
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sage
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Re: 量子力学中的时间之谜之三：算符，可观察量与谱测度
按照传统量子力学公理，每一个可观察量对应一个自共轭的力学量算符（不太严格地说，是Hermitian operators）。按照这个标准，时间就不是一个可观察量，因为不存在一个自共轭算符与时间对应。但是，时间的确是一个可观察量（例如事件的发生时间，粒子的量子隧道穿透时间，粒子的到达时间，粒子的衰变时间，能级寿命，等等）。因此传统量子力学在这一点上，跟实际不符。
if what you said is true, quantum mechanics will have a hard time describing decay process, etc. However, it does not have problem treating them at all.
Time is not a dynamical variable in quantum mechanics. I do not see the need to make time a dynamical variable either (except maybe in quantum gravity). It is a background evolution variable. What you actually measure can always be phrased in terms of hermitian operators. In decay process, for example, it is the particle number operator as a function of position operator of the arms of your clock.
In any consistent dynamical system, it is not true that every variable has to be dynamical. In classical Newtonian dynmaics, time is not dynamical. This is identical to the situation in Quantum mechanics.
| 发表时间：2006-06-20, 11:42:49 |
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星空浩淼
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Re: 量子力学中的时间之谜之三：算符，可观察量与谱测度
我的意思是，量子力学告诉我们，每一个可观察量对应一个自共轭的动力学算符。然而，时间是可观察量，但是它并不对应自共轭的动力学算符。所以这里就有一个矛盾。
另外，相位差也是可观察量，但它并不对应自共轭的动力学算符。这就是说，量子力学的这条公理“每一个可观察量对应一个自共轭的动力学算符”，需要推广。
时间是一个外在的演化参数，但是这仅仅是时间扮演的角色之一。事实上，时间同时扮演三种角色，在某些场合，时间跟空间位置变量一样，具有动力学变量的含义（例子我就不举了，参考文献可以见我发的第一个帖子后面所列的参考文献）。此外一个纯粹的空间位置变量，在另外一个参照系中看来，会包含时间分量。所以时间在量子力学中的特殊性，跟相对论精神不符。
总之，量子力学中的时间问题，可能不是sage兄估计的这样简单，否则到目前为止人们在这个课题上所做过的大量工作，岂不都是在瞎折腾？
现在的量子力学内容，跟十几年前我们那个时候所学的内容已经有所不同，而是在传统量子力学的基础之上扩充了不少。不扩充传统量子力学内容，就无法讨论量子信息与量子计算理论。事实上，当年爱因斯坦和波尔之争，即有关量子力学解释方面的学说，已经属于量子力学的下一个层次上的内容。现在的一切进展，根源都来自于爱因斯坦和波尔之争。所谓传统量子力学内容，是指建立在标准量子力学公理基础之上的那部分内容，它不涵盖量子力学的现代测量理论。
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| 发表时间：2006-06-20, 22:53:01 |
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Re: 量子力学中的时间之谜之三：算符，可观察量与谱测度
时间是一个外在的演化参数，但是这仅仅是时间扮演的角色之一。事实上，时间同时扮演三种角色，在某些场合，时间跟空间位置变量一样，具有动力学变量的含义（例子我就不举了，参考文献可以见我发的第一个帖子后面所列的参考文献）。此外一个纯粹的空间位置变量，在另外一个参照系中看来，会包含时间分量。所以时间在量子力学中的特殊性，跟相对论精神不符。
For the sake of our discussion, it is probably better if you could educate with one specific example which "old" quantum mechanics could not explain and one must use "new" quantum mechanics. Give an example in which some observation is not an eigen-value of some hermitian operator. I will not be able to go through any of reference you listed. I hope your point, as everything else in QM, could be demostrated with a simple example.
by the way, the number of people working on a subject is not a good measure whether a subject is well motivated or not.
| 发表时间：2006-06-21, 01:22:13 |
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星空浩淼
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Re: 量子力学中的时间之谜之三：算符，可观察量与谱测度
sage兄的质疑是有道理的，对于这些质疑我的回答将在后面的文章中陆续给出，因为我试图写这个系列的目的，就是想介绍这方面的东西。只是不知道我会介绍到哪一步，能否完成这个系列。以前的系列嘎然而止，就是因为后来我没有再去钻研那个领域。
我个人觉得，欧洲人在边缘领域做得更多，一旦那些领域中某些成了气候，变成正统和主流，美国人就抢了先，并且开始代表权威，同时欧洲人继续作着下一个边缘领域。
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| 发表时间：2006-06-21, 02:57:32 |
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