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流形上局部问题和整体问题的一点看法

流形上的局部和整体关系的问题无非有以下两种形式：
1 在局部上定义的一个对象或结构是否是流形上整体上的对象或结构的限制？
或者说一个局部的东西能否延拓早整个空间？

2 在局部上定义的一个对象或结构是否能够借助于同伦扩张而成为一个定义在流行整体上的对象？

这两类问题的解决需要新的严格工具，仅仅用直观的说明是不行的，因为数学要求的是逻辑的证明，虽然直观的引导是很重要的。
其实这两类问题都可以说是拓扑障碍问题，
解决这类问题的最有力方法是切赫上同调，他的特点是容易根据问题构造障碍群并具有好的可计算性。切赫上同调的构做需要层这个概念，也就是切赫的手续首先要求把问题表述成层上的问题。层是一个来源于代数几何的重要概念，大家都知道概型是代数几何的主要研究对象，它是一个多面手，其重要性不亚于流形，是数学中具有高度统一功能的概念之一。初看起来，层与纤维丛是很相似的，纤维丛的重要性在现代数学中的重要性是不言而喻的，在我看来，似乎层比纤维丛更基本，虽然两者各有特点，层的代数特征多一点，纤维丛的几何与分析特征多一些。要想在未来统一数学，层比纤维丛的关系是必须首先处理的。

再补充一点，上面两个问题是基本的，但不是全部重要的
还有一类问题就是整体结构的数量，整体结构的数量和局部结构的数量的关系。
再有就是处于不同范畴中的两个结构的关系问题，这也是现代数学主流研究中的一部分。
对于这类问题的处理手法就是函子。数学中函子是非常多的
，比如复化，辛化，代数化等等几乎无处不在。
现代数学中最基本的和研究者最多就是同调函子，他在拓扑和代数，特别是环论模论和各种表示论的研究中是非常重要的。

在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。

发表时间：2006-06-18, 08:46:06