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微分拓扑和庞加莱猜想
微分拓扑，顾名思义就是用分析方法研究拓扑学问题的学科。
最一般的适用于分析方法研究的拓扑空间就是微分流形，可以说它就是赋有微分拓扑的拓扑空间，它是一类非常特殊的拓扑空间，由于分析结构的介入，使得人们可以得到很多细致深刻的结果。
和所有结构化的数学分支一样，微分拓扑的基本问题也是分类问题，就是对微分流形的分类，微分拓扑也研究微分流形间可微映射的分类，比如嵌入的正则微分通伦分类等等。
微分结构和拓扑结构的相容性也是微分拓扑研究的一个重点。这个问题之所以受到重视，是由于它的基本性和非平凡性。
S^7上存在28种不等价的相相容微分结构，S^8，14，16存在2个容的微分结构，S^1，2，3，5，6，12存在唯一的相容微分结构，S^11上则有992种微分结构，S^15上则有16256种微分结构。
对于一般的微分流形，当空间维数为1，2，3时，空间上的相容微分结构是唯一的。
而空间的维数为四的时候，却出现了奇怪的现象。作为最平凡的微分流形，R^n仅当n=4的时候才具有不同的微分结构。
以上说的是同一流形上拓扑结构和微分结构的关系。
微分流形上各阶微分结构的关系和数量的也十很有意思的问题。
对于微分流形，它的分类标准有很多，各种分类的难度也不一样。有按同胚关系分类，按微分同胚关系分类，按协边关系分类等等。分类标准是不封闭的。
其中按同胚关系分类，按微分同胚关系分类比较精细，但两者是不一样的，后者要比前者的分类更精细些。
但由于空间维数为1，2，3时，空间上的相容微分结构是唯一的，所以对一、二、三维微分流形，同胚分类和微分同胚分类是一样的。
一维微分流形的分类比较简单，只有R和S^1。
二维微分流形的分类还没有结果，但对于紧致无边流形（闭流形或闭曲面）已有完全分类，一般的拓扑学教材都有介绍（闭曲面分类定理）。
三维微分流形的分类更困难，即使限制在三维紧致无边流形（三维闭流形）范围内都没有完成分类。
三维的庞加莱猜想说的是：单连通三维闭流形都同胚（或微分同胚）于S^3，这实际上是断言单连通三维闭流形的同胚分类的代表元只有一个S^3。
注意单连通并不是零伦。仅在1，2维情形相同。
单连通仅是对一阶同调群（或一阶同伦群）的限制，而零伦则是对所有同调群和同伦群的限制。
其实庞加莱猜想及其高维推广就是对于单连通闭流形的同胚分类。
它的具体表述就是：若n维闭流形（拓扑流形）的同调群和S^n相同，则它必同胚与S^n。
这实际是说，同伦于S^n的n维闭流形必同胚与S^n。
在对庞加莱猜想研究的过程中，有很多新的发现，这些发现促进了数学的发展。
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-18, 08:48:19 |
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季候风
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Re: 微分拓扑和庞加莱猜想
注意单连通并不是零伦。仅在1，2维情形相同。
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"零伦" 只是对映射而言, 我印象中没有 "零伦空间" 这种说法.
如果你是指可缩空间的话, 2维球面就是单连通但不可缩的.
单连通仅是对一阶同调群（或一阶同伦群）的限制，而零伦则是对所有同调群和同伦群的限制。
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不理解 "或一阶同伦群" 是什么意思, 单连通根本就是对一阶同伦群的限制.
其实庞加莱猜想及其高维推广就是对于单连通闭流形的同胚分类。
它的具体表述就是：若n维闭流形（拓扑流形）的同调群和S^n相同，则它必同胚与S^n。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
需要单连通
这实际是说，同伦于S^n的n维闭流形必同胚与S^n。
书山有路勤为径
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| 发表时间：2006-06-18, 16:24:41 |
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Re: 微分拓扑和庞加莱猜想
一阶同调群和一阶同伦群可互相决定。
零伦限制在空间上就是指空间可缩。这是基本拓扑学中的用法。
2维球面就是单连通但不可缩的.这是一个反例，我在那里主要是想强调单连通与零伦的区别。但是写的时候只是想了一些数分上例子。因为对于这种区别，在学习多元数分时我花了很长的时间。
对于连通可剖分空间时，一阶同调群同构于一阶同伦群的交换化。零伦间接的限制了一阶同调群。但有可能即使对于S^n这样的流形，一阶同调群也不能决定一阶同伦群。
若n维闭流形（拓扑流形）的同调群和S^n相同，则它必同胚与S^n。
这个表述有问题。
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-19, 00:47:01 |
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季候风
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Re: 微分拓扑和庞加莱猜想
一阶同调群怎么决定一阶同伦群?
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-06-19, 01:00:25 |
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Re: 微分拓扑和庞加莱猜想
这是个错误的论述！补充一些东西完善一下，
对于连通流形，一阶同调群由一阶同伦群完全决定，它同构于一阶同伦群的交换化。
对于高阶同调群，它与同伦群的关系很复杂。仅在特殊情况下，有相互决定关系。
阶数大于一的同伦群都是交换群。
在前n-1阶同伦群=0时，n阶同调群自然同构与n阶同伦群。
在单连通，且2，3，n-1阶同调群=0时，n阶同调群自然同构与n阶同伦群。
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-19, 23:04:59 |
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星空浩淼
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Re: 微分拓扑和庞加莱猜想
我自学微分几何，对同调、上同调、同伦等这些内容，感觉学得有点费劲。不知是不是因为事先没有具备同调代数基础。
One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
| 发表时间：2006-06-20, 01:22:56 |
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Re: 微分拓扑和庞加莱猜想
同调代数我也不懂，但是大概的内容还是知道一点的。
可以说同调代数是借用了代数拓扑的精神而发展起来的一个代数学分支。
星空兄不必了解同调代数，你只要多看一些代数拓扑的书就可以了。
数学学科有很多分类方法，有的是根据研究对象来分类，如环论，群论，黎曼几何，微分方程，有的则是根据研究的方法来分类的，同调代数就是这类，代数拓扑也是，微分拓扑也是。
代数拓扑就是用代数方法研究拓扑学问题的一个系统的拓扑学理论，也可以给它取另外一个名字：同调拓扑学和同伦论。
前者是空间的理论，后者主要是空间间的映射理论，当然二者总有一定的关联，现代代数拓扑学的发展表明，同调论的问题大都可以用同伦论的方法来解决。也就是说，同调论可以看作是同伦论的一部分。
代数拓扑学研究的问题只能是 空间的伦型 和 映射的同伦等价类 所决定的拓扑学问题，
所以代数拓扑的结论都是大致的决定空间的拓扑结构和映射的同伦性质，他所涉及的不变量都是伦型不变量（针对空间）和同伦不变量（针对映射）。
代数拓扑包括两个分支：同调论，主要研究空间的组合结构，即基本方法就是对空间进行各种分解，如单纯剖分，胞腔剖分，基本思想就是把空间看作一些结构相对简单的子空间（单纯形，元胞等）组合（粘合，拼接）而成的，只要知道了组合的方式就可以知道整个空间的一些性质。组合的方式完全包含在同调群中，有很多的剖分方式，所以有很多的同调。（同调代表了一整套的对空间的操作和信息的提取方式，可用范畴论的语言来解释）
对空间进行了剖分就可以利用剖分出来的 子空间 产生链群，带利用边缘算子就可得到同调群。
同调论在一开始比同伦论更受数学家重视，也是有原因的，最重要的原因就是同调论是一个可计算的理论，自然很受大家欢迎。历史上，关于同调论和同伦论的过节有很多小插曲。
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| 发表时间：2006-06-20, 04:09:03 |
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Re: 微分拓扑和庞加莱猜想
同调论中边缘算子是很重要的，他的性质就像是微分算子，当然意义不一样。
同调还有一个意思就是子空间之间的一致性，这种一致性是指的两个子空间可以一起构成一个更大的子空间的边缘，同调论可以认为是关于一个空间的子空间的协边理论。
代数拓扑的另一个分支就是同伦论，它研究的主要就是空间的连续变形和映射的连续变形，刻画连续变形的工具就是同伦。其直观理解就是一个空间在另一个更大的空间（一般不指出，也不需要指出）的连续运动，如连续膨胀和连续收缩，当然也可以部分连续部分收缩。
连续运动只要求不能出现 撕破 的现象，但可以合并和粘合，即几个点在运动中可以重合成一个点。
通过连续运动可以相互连续转化的两个空间成为同伦型。同伦关系显然是一个空间间的等价关系，所有的空间可用同伦关系进行分类。
映射的同伦和空间的同伦略有不同，但基本精神是一致的，不严格的说就是两个映射的像在值域空间的里同伦，只不过这里会有重合之后的“撕裂“。
同伦也是映射之间的等价关系。定点同伦类全体具有自然的群结构，称为同伦群。
空间的同伦也可用映射间的同伦来刻画，这都是小问题。
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| 发表时间：2006-06-20, 04:30:24 |
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Re: 微分拓扑和庞加莱猜想
同调的方法应用于代数结构就产生了同调代数。自然的可以认为是研究代数结构的组合构成的一种方法，在这里最重要的问题就是 边缘算子 是何物？
在环论中有微分算子，在模论中有正合列的概念。
其实正合列反映了边缘算子在同调论中的所有功能，其最重要的意义就在于它产生了正合列，正合列就是边缘算子的全部。
同调论的本质就在于建立空间的正合列，通过对正合列的分析得到空间的信息。
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| 发表时间：2006-06-20, 04:38:14 |
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Re: 微分拓扑和庞加莱猜想
要理解上同调，需要对偶的概念，其实上同调的定义完全在于对偶结构的存在。
可以认为，伦型反映了空间的骨架，如果让空间不断的收缩，最终得到的肯定是一个极瘦的空间，不过空间的很多性质在收缩过程中会改变，比如紧性，一些边也会消失。另外，空间的最瘦状态还于收缩的方式有关。
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| 发表时间：2006-06-20, 04:46:01 |
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