kanex
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关于G-valued Morse theory的进展
朋友说G-valued morse theory太难了，可以先研究R^n-valued Morse theory。那么这个粗看上去似乎会是trivial，似乎不就是等于考虑n个morse function。
不过我想了一下，不见得。举个例子，R^2-valued Morse theory实际上就等于研究M在R^2上的投影。很明显，这里就是一条通向knot theory的大路。
Récoltes et semailles
| 发表时间：2006-06-22, 08:28:08 |
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kanex
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Re: 关于G-valued Morse theory的进展
G-valued morse theory 和 principal G-bundle 之间的联系一定很紧密。不知道什么时候才能看透了。个人感觉关键的一步会是构造出类似示性类的东西。
Récoltes et semailles
| 发表时间：2006-06-22, 08:38:45 |
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gage
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Re: 关于G-valued Morse theory的进展
通常的Morse理论也没见谁构造出示性类阿，不知道楼主的确切含义。
回顾Morse理论自身。
设 M 为光滑流形， f:M-->R 为一个光滑函数，f 有正则值、临界点等，f 可以扰动一下使得其临界点非退化，即都是 Morse type. 接下来是Morse引理，说明临界点附近函数的性质。由Morse引理进一步可以证明，函数f的水平集 M_a=f^{-1}(-\infty,a] 的拓扑的变化情况，即形变。具体的结论是穿过正则值，水平集的拓扑不变；若穿过一个(p,q)型的临界点时，水平集的拓扑从同伦的角度看相当于粘贴上一个 q 维的包腔cell. 于是得到流形的Morse分解，由此出发，再加一点很简单的代数，可以得到Morse不等式。
那么你现在要考虑 F:M-->R^2, 正则值、临界点、非退化都可以定义，然后问题就来了，
第一，F总是可以扰动式的其临界点非退化，这个很简单，ok。
第二，然后如何定义非退化临界点的指标？
第三，对这样的F，是否有相应的Morse引理？我估计没有。
第四，水平集这个概念如何定义，F^{-1}(a)可以定义，但这不能用来表示流形M的拓扑怎样变化。
第五，这时候形变引理如何叙述？
可以接着往后看，可以看出都无法处理。
你不如把你考虑的东西叫做临界点理论而不是Morse理论更好些。
这个可以参考Thom等人的灾变理论。不过这些我帮不上忙了，没看过也没兴趣。
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
| 发表时间：2006-06-22, 09:52:09 |
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windowsxp
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Re: 关于G-valued Morse theory的进展
G-valued Morse theory可以看作是奇点理论的一种特例，当然结果可能更精细。
Morse theor本质上可以看作是借助于Morse分解得到的伦型分析。他还和空间的一种特殊分解的特征数有关即畴数cat(M)，Morse不等式的推广就是临界点的个数大于空间的畴数，这里临界点可以是退化的。
畴数是这样定义的：考虑空间的所有可缩开覆盖（即覆盖中的开集都是可缩的），其中基数最小的可缩开覆盖的基数就是畴数。
奇点理论的目的就是要对所有的奇点作右等价分类，其实就是对芽进行分类。
对于F:M-->N,考虑F^-1(y)全体就是对应于F的一个M的分解，但这里的分解可能比较复杂，y之中可能有高阶奇点，这样F^-1(y)的拓扑就不是平凡的，并且其可能类型可能比较多，目前仅知道余维数小于等于5的分类。所以从这种情况中想得到定义域流形的信息是比较少的。
由于流形N是局部欧的，若仅研究奇点的分类，只考虑F:M-->R^n,n=dimN就够了。
F:M-->N中若存在自由参数，就可以考虑自由参数对F性质的影响，研究F的性质如何随参数变化的理论就是分支理论，也叫灾变理论。
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-22, 23:18:07 |
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windowsxp
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Re: 关于G-valued Morse theory的进展
形变引理是什么？？
：：F总是可以扰动式的其临界点非退化
Morse函数全体作为子空间在流形上的函数空间中是一个稠密开子空间，你的扰动要足够大才行。奇点个数是否是小扰动下的不变量要看小扰动小到第几阶小量。
：：第二，然后如何定义非退化临界点的指标？
一般的奇点理论讨论的是芽空间，它是一个局部交换环。所以要用到很多代数的工具。
knot theory不懂，一般看作是从S^1到R^3的浸入的分类问题。怎样和morse theory联系起来？？
：：G-valued morse theory 和 principal G-bundle 之间的联系一定很紧密。
G-valued function就是平凡主G丛的截面，G-valued function全体就是平凡主G丛的截面全体。主G丛的丛分类不是简单的。
想从G-valued morse function获得平凡主G丛的拓扑信息，等价与直接分析底流形的信息，因为平凡主G丛是直积构造的。
构造示性类一般是要联络作为基础的，虽然由它可得到和联络是无关的拓扑信息。
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-22, 23:40:50 |
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kanex
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Re: 关于G-valued Morse theory的进展
现在在找d算子的定义方法，算homology是第一步。
Récoltes et semailles
| 发表时间：2006-06-25, 14:41:22 |
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kanex
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Re: 关于G-valued Morse theory的进展
下面是写的一点。完全还算不上什么草稿，只是完全为了讨论方便而写的一点东西，顺便整理思路。
Récoltes et semailles
| 发表时间：2006-06-29, 20:27:15 |
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windowsxp
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Re: 关于G-valued Morse theory的进展
奇点的逆象可能是很复杂的，此时所作的底流形的分解可能很没有规律
你如何和纤维丛理论联系？？
R^n的理论不比R理论有用。R^n中全体morse函数的结构怎样？
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-07-02, 12:42:38 |
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kanex
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Re: 关于G-valued Morse theory的进展
如果一个space可以做为fiber而存在，我们用cohomology分类。如果不可做为fiber而存在，我们用morse theory研究阻碍。
R^n的理论不比R理论有用。R^n中全体morse函数的结构怎样？
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我在上面举了几个例子，都是可能出现的R^2 morse函数的结构。
R^n理论highly non-trivial，在深度和意义上远胜于R的情况。
Récoltes et semailles
| 发表时间：2006-07-02, 19:31:57 |
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