semi
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电磁场方程与Dirac电子方程的关系
电磁场方程与Dirac电子方程的关系在本论坛曾讨论过多次，本次是旧话重提活跃下气氛。
历史上不同的人通过不同的方式给出了以下结果：
电磁场方程改写为类Dirac方程，第一种是站长本科论文中曾独立得出的形式，方程明显包含光子1自旋矩阵，此种形式由两个方程构成（另一方程是散度方程），不能完美包含源项；另一种直接写成双中微子形式，可以自然完整包含源项，还可以表象变换至第一种相类似的形式，源项就是我们熟悉的四矢电流源J，不过方程此时出现的是1/2自旋矩阵。
电磁场方程+场势关系与洛伦次规范，或有质量的电磁场方程可以写成完全类似Dirac电子方程的形式，只不过前者是8分量旋量，自旋为1，后者是4分量旋量，自旋为1/2。且通过表象变换可以写成双Dirac电子方程形式。
从纯形式上，Dirac电子方程也可以写成类电磁场方程形式。只要先将Dirac电子方程反线性表象变换为类双中微子形式，然后采用电磁场方程改写为类Dirac方程的反过程就可以得到电子的类电磁场方程形式。
Yang-Mills规范场方程与电磁场方程类似，也改写为类Dirac方程。Yang-Mills方程+场势关系与洛伦次规范，或有质量的Yang-Mills方程也可以写成完全类似Dirac电子方程的形式。
所以光子、电子可以具有相似结构的方程。根据温伯格、Penrose等人成果，任意自旋粒子都可以具有相似结构的方程。但是让人奇怪的是，如此相似的方程，却具有完全不同的物理与处理方法，归跟到底可能它们具有并不相似的拉氏密度。
欢迎大家讨论，共同提高。
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| 发表时间：2006-06-28, 10:25:14 |
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星空浩淼
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Re: 电磁场方程与Dirac电子方程的关系
另一种直接写成双中微子形式，可以自然完整包含源项，还可以表象变换至第一种相类似的形式，源项就是我们熟悉的四矢电流源J，不过方程此时出现的是1/2自旋矩阵。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
如果是1/2自旋矩阵，那肯定有问题，不是描述自旋1的场。
有质量或有源时，矢量场方程跟Dirac场方程之间类比性快要破坏得差不多了。
形式相同而已，因内容不同，而对应不同的场，就不奇怪了。
过去对这个有兴趣，现在不想谈了。
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| 发表时间：2006-06-29, 01:40:31 |
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semi
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Re: 电磁场方程与Dirac电子方程的关系
<<如果是1/2自旋矩阵，那肯定有问题，不是描述自旋1的场。>>
1/2自旋矩阵与描述自旋1的场并不矛盾，例如Penrose的任意自旋粒子旋量方程写成矩阵形式，形式就是多个中微子方程的联立，包含的就是1/2自旋矩阵，但明显可以描述高自旋的场。
按传统的Dirac方程的处理方法，处理这样的方程得到的确实是1/2自旋角动量，但是对于高自旋的情形，这样的方程不是量子力学意义上的方程，因为此方程的“波函数”不是真正的波函数，所以不能按传统的Dirac方程的方法处理，无法得到1/2自旋角动量的结论。
<<有质量或有源时，矢量场方程跟Dirac场方程之间类比性快要破坏得差不多了。>>
有质量时，形式上两者更为相似，此时洛伦次规范的电磁场方程形式上可以写成双Dirac方程的形式。
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| 发表时间：2006-06-29, 21:43:17 |
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semi
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Re: 电磁场方程与Dirac电子方程的关系
对Penrose的任意自旋粒子旋量方程进行把玩，可以得到推广任意自旋的Pauli矩阵：
Pauli矩阵：
1/2自旋=|
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| 发表时间：2006-07-03, 00:12:09 |
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星空浩淼
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Re: 电磁场方程与Dirac电子方程的关系
就电磁场方程与Dirac电子方程的关系，最密切的类比，见文献quant-ph/0511181
其中除了正文内容，还着重看一下Appendix B。
自semi兄在这里发言以来，感觉你跟我智力方面有些“同构”，因为你有不少研究是在重复我过去曾经走过的路。
自从人们发现电磁场的类Dirac方程以后，任意自旋粒子的量子力学方程或场方程的形式统一，是许多物理学家曾经追求的目标。但是这个研究方向是比较令人失望的。最后虽然能够获得“形式统一”，已经没有多大“统一”的意义了，有些认为表达凑合罢了。
比较综合一点的文献，见：
W. Greiner, Relativistic Quantum Mechanics, Springer-Verlag（国内有卖：世纪图书公司），见该书第15章。
当年，我没有这些书籍可查，书店研究生以上的书就很难买到。
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| 发表时间：2006-07-03, 03:36:27 |
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semi
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Re: 电磁场方程与Dirac电子方程的关系
1、to 星空兄
——————
我看了星空兄的文章,作者是以第一种站长本科论文中曾独立得出的形式,写成6分量形式为基础进行讨论，全面考虑了一次、两次量子化进行了深入讨论，在附录B中对电磁场方程与Dirac方程进行了较全面对比。不过我对其中的拉氏量的洛伦次不变性有的疑惑，证明过程中还要用到拉氏量不包含的额外的两个散度方程，我个人认为洛伦次不变性应由拉氏量本身决定。另外我通过将第一种形式合并散度方程，写成单个四分量方程为基础，也讨论过相应拉氏量，发现要满足洛伦次不变性必须要将电磁势考虑进来才能满足，此时类Dirac方程是8分量，形式独立实分量为10；进一步要允许几率守恒流存在，必须要有两组这样场势，此时类Dirac方程是16分量，形式独立实分量为20。
对于这方面，事实上我开始也是独立得到了一些结果，完全是自己推导出来的，不过后来发现前人大体都研究过了，也许细节可能有的不同，兴趣确实减了不少，也知道了多了解别人、前人的工作是很重要的。虽然这方面问题前人总体上都研究过了，但作为一种学习、深入了解物理的方法也是不错的，可以达到事半功倍的效果。
2、今天打贴的时候不小心按错了，没打完就发表出去了，现补上：
——————————————————————————————
对Penrose的任意自旋粒子旋量方程进行把玩，可以得到推广的任意自旋的Pauli矩阵，只包含整数与半整数，不含根号，与经典的角动量理论的表象不同。
推广的Pauli矩阵：
1/2自旋矩阵,对应中微子Σ(1/2)=(即Pauli矩阵)
|0 1| |0 -i| |1 0|
{|1 0|,| i 0|,|0 -1|}/2
1自旋矩阵，对应光子Σ(1)=
|0 2 0| |0-2i 0| |2 0 0|
{|1 0 1| |i 0 -i| |0 0 0|}/2
|0 2 0|,|0 2i 0|,|0 0 -2|
3/2自旋矩阵，对应引力微子Σ(3/2)=
|0 3 0 0| |0 -3i 0 0| |3 0 0 0|
|1 0 2 0| |i 0 -2i 0| |0 1 0 0|
{|0 2 0 1| |0 2i 0 -i| |0 0 -1 0|}/2
|0 0 3 0|,|0 0 3i 0|,|0 0 0 -3|
2自旋矩阵，对应引力子Σ(2)=
|0 4 0 0 0| |0 -4i 0 0 0| |4 0 0 0 0|
|1 0 3 0 0| |i 0 -3i 0 0| |0 2 0 0 0|
{|0 2 0 2 0| |0 2i 0 -2i 0| |0 0 0 0 0|}/2
|0 0 3 0 1|,|0 0 3i 0 -i|,|0 0 0 -2 0|
|0 0 0 4 0|,|0 0 0 4i 0|,|0 0 0 0 -4|
...... ......
n/2自旋矩阵Σ(n/2)=
|0 n 0 0 0 0| |0 -ni 0 0 0 0| |n 0 0 0 0 0|
|1 0 n-1 0 0 0| |i 0 -(n-1)i 0 0 0| |0 n-2 0 0 0 0|
{|0 2 0 ... 0 0| |0 2i 0 ... 0 0| |0 0 n-4 0 0 0|}/2
|0 0 ... 0 2 0| |0 0 ... 0 -2i 0| |0 0 0 ... 0 0|
|0 0 0 n-1 0 1| |0 0 0 (n-1)i 0 -i| |0 0 0 0 -n+2 0|
|0 0 0 0 n 0|,|0 0 0 0 ni 0|,|0 0 0 0 0 -n|
以上所有自旋矩阵满足以下对易自旋关系：
[Σu(n/2),Σv(n/2)]=iε_uvwΣw(n/2), Σ(n/2)^2=n/2(n/2+1), 所以是自旋矩阵。
只有经典Pauli矩阵满足以下反对易关系，{Σu(n/2),Σv(n/2)}=kg_uv，k为常数，其他高自旋矩阵都不满足。所以高自旋Pauli矩阵没有经典Pauli矩阵性质好。
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| 发表时间：2006-07-03, 09:33:09 |
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星空浩淼
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Re: 电磁场方程与Dirac电子方程的关系
“不过我对其中的拉氏量的洛伦次不变性有的疑惑，证明过程中还要用到拉氏量不包含的额外的两个散度方程，我个人认为洛伦次不变性应由拉氏量本身决定。”
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
由拉氏量可以得到方程，由方程可以得到两个散度方程。证明是严格的，因为6×1旋量对应Lorentz群的(1,0)+（0，1）表示，这是已知的事实，即电磁场对应Lorentz群的两种表示，用电磁势描述，对应(1/2,1/2)表示；用电磁场强表示，对应(1,0)+（0，1）表示。
“另外我通过将第一种形式合并散度方程，写成单个四分量方程为基础，也讨论过相应拉氏量，发现要满足洛伦次不变性必须要将电磁势考虑进来才能满足，此时类Dirac方程是8分量，形式独立实分量为10；进一步要允许几率守恒流存在，必须要有两组这样场势，此时类Dirac方程是16分量，形式独立实分量为20。”
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
类似你的这种考虑，前人都已经研究过，只是这样一来，类比性已经基本消失了，理论变得比较丑陋。如果你用电磁势来分析洛伦次不变性，那你还研究什么呢？早已经成熟的传统理论就摆在那里。
只考虑自由场，只考虑光子与电子方程之间的类似性，这种类比才有些兴趣。考虑光子与电子之间的相互作用，原来的美感就消失了，还不如直接利用QED得了。
对于光子而言，传统理论直接从经典场过渡到量子场，没有中间的量子力学内容，研究类Dirac方程，就是出于研究光子的量子力学内容这种考虑，因为该内容在电磁工程应用领域还是有用的。
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| 发表时间：2006-07-03, 10:22:09 |
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semi
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Re: 电磁场方程与Dirac电子方程的关系
突然一下发现自己升为学术成员，有种意外之喜，谢谢站长。
to 星空兄
看来星空兄不光在形式上进行类比，在内容上也进行类比。考虑更多的是物理。
<<由拉氏量可以得到方程，由方程可以得到两个散度方程。>>
不过我感觉由方程得到的不是两个散度方程，而是两个散度的时间偏导数方程.两个散度的时间偏导数=0,不一定推得两个散度方程=0。
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| 发表时间：2006-07-03, 12:46:47 |
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Re: 电磁场方程与Dirac电子方程的关系
不过我感觉由方程得到的不是两个散度方程，而是两个散度的时间偏导数方程.两个散度的时间偏导数=0,不一定推得两个散度方程=0。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
具体的论证，可以参考昌海兄主页，他的本科论文。虽然他的方程跟我给出的有些不同，但在这个问题上是一回事。
自由的电磁场，以场强表达的横条件是自然满足的。
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| 发表时间：2006-07-03, 21:24:22 |
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Re: 电磁场方程与Dirac电子方程的关系
又看了站长的论文,在一般情形下不成立，在波场情形下确实是自动成立的，此时独立的只有两个方程。
那么星空兄给出的拉氏量的洛伦次不变性只在自由场情形下成立？
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| 发表时间：2006-07-03, 21:49:16 |
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Re: 电磁场方程与Dirac电子方程的关系
我只考虑了自由电磁场。
一个有趣的考虑是，用6×1旋量描述电磁场时，可以把这个旋量看作物质场而不是规范场，即让它扮演物质场的角色，然后对它进行“规范变换”（本人称为“第二类规范变换”），对应的Noether荷（当然描述方式上跟传统惯例有些不同）是四动量——我们知道，四动量是引力场的荷!
即：用势描述电磁场时，电磁场作为规范场，传递电子场这种物质场之间的相互作用；用6×1旋量描述电磁场时，电磁场它自身又可以作为物质场，以引力场作为它的规范场，传递光子之间的引力。因此引力场是“规范场的规范场”。如果用这种框架来搞引力量子化，能重整化吗？这些考虑很粗糙，即使有戏，还有很多障碍需要解决，有很多漏洞需要弥补，对我而言，这些只是过去的一个idea。引力量子化对我这种知识基础而言，是个陷阱，不能去试的。所有（虚的和实的）正反粒子都可以湮灭成光子，似乎光子可以作为传递引力的中介。
我有段时间不能来了，有些问题讨论你可以请教其他人。不过有些问题作为锻炼科研能力作为练习来做是可以的，但不能走得太远，因为很可能没有出路。
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| 发表时间：2006-07-03, 22:59:22 |
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