gage
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武功等级: 空明拳
(第三重)
内力值: 415/415
四元数与 $SO(3)=S^3/Z_2$ --latex版(很粗糙)
四元数最早由Hamilton所发现。全体四元数的集合记作$H$,
它是实数集合上的一个代数。作为向量空间，$H\cong \Bbb{R}^4$.
$\Bbb{H}=\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in\Bbb{R}\}$.其中
\begin{eqnarray*}
i^2=j^2=k^2=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j.
\end{eqnarray*}
四元数可等同于下述矩阵
\[
a+bi+cj+dk=a+bi+j(c-di)=
\left(\begin{array}{cc}
a+bi &-c+di\\
c-di &a-bi\\
\end{array}\right).
\]
在这一等同之下，四元数的加法和乘法即可对应于矩阵的加法和乘法。
同时我们得到典型的同构
$$
\Bbb{H}=\Bbb{C}^2=\Bbb{R}^4.
$$
四元数的共轭
$$
\overline{a+bi+cj+dk}
=a-bi-cj-dk.
$$
四元数的长度，或称之为模
$$
|a+bi+cj+dk|
=a^2+b^2+c^2+d^2.
$$
单位四元数$|q|=1$.
四元数的实部
$$
\Real(a+bi+cj+dk)
=a.
$$
四元数的虚部
$$
\Imagine(a+bi+cj+dk)
=bi+cj+dk.
$$
两个四元数$w_{_{\alpha}}=a_\alpha+b_\alpha i+c_\alpha j+d_\alpha k,\alpha=1,2$的内积
$$
(w_{_1},w_{_2})
=\Real(w_{_1}\overline{w}_{_2})
=a_{_1}a_{_2}+b_{_1}b_{_2}+c_{_1}c_{_2}+d_{_1}d_{_2},
$$
显然这就是$\Bbb{R}^4$的标准内积。
简单计算可知对四元数$w,w_{_1},w_{_2}$有
\begin{eqnarray*}
\Real(w_{_1}w_{_2})
&=&\Real(w_{_2}w_{_1}),\\
\overline{w_{_1}w_{_2}}
&=&\overline{w_{_2}}\overline{w_{_1}},\\
|w|^2
&=&(w,w)
=Re(w\bar{w})
=w\bar{w},\\
|w_{_1}w_{_2}|
&=&|w_{_1}||w_{_2}|.
\end{eqnarray*}
故两个单位四元数的乘积仍为单位四元数。若$q$为单位四元数，则
$$
q^{-1}=\bar{q}.
$$
记$\Bbb{S}^3=\{w\in\Bbb{H}:|w|=1\}$为单位四元数全体，由前述可知这是一个Lie群，称为幺模四元数群。
另一方面，从拓扑的角度看，$\Bbb{S}^3$就是$\Bbb{R}^4$中的$3$维球面。
任给$q\in S^3$,定义$q$在$\Bbb{R}^4=\Bbb{H}$上的作用为$qw=\Adjoint_qw=qwq^{-1}$,即为伴随作用。则
\begin{eqnarray*}
(q(w_{_1}),q(w_{_2}))
&=&(qw_{_1}q^{-1},qw_{_2}q^{-1})
=\Real(qw_{_1}q^{-1}\overline{qw_{_2}q^{-1}})\\
&=&\Real(qw_{_1}q^{-1}q\bar{w}_2q^{-1})
=\Real(qw_{_1}\bar{w}_2q^{-1})\\
&=&\Real(q^{-1}qw_{_1}\bar{w}_2)
=\Real(w_{_1}\bar{w}_2)
=(w_{_1},w_{_2}).
\end{eqnarray*}
故$q$在$\Bbb{R}^4$上的伴随作用为正交变换。若$x\in\Bbb{R}$,显然$\Adjoint_qx=x$.
这样就给出了一个映射
$$
\Adjoint:\Bbb{S}^3\to SO(3),
$$
容易验证这是Lie群同态且$\ker \Adjoint=\{1,-1\}$.于是我们得到纤维化序列
$$
1\to\Bbb{Z}/2\to \Bbb{S}^3\to SO(3)\to1.
$$
因为$S^3$为单连通的，故$\Bbb{S}^3$为$SO(3)$的通用覆盖群。
对$q=a+jb$,此处$a,b\in\Bbb{C}$,将之看作矩阵
\[
a+jb=
\left(\begin{array}{cc}
a &-\bar{b}\\
b &\bar{a}\\
\end{array}\right).
\]
若$|q|=1$,则上述矩阵为酉矩阵。显然这一矩阵的行列式等于$1$.
换言之，$q=a+jb$作用于$\Bbb{C}^2$上，对于$w=z_{_1}+jz_{_2}$,
\[
q(w)=
\left(\begin{array}{cc}
a &-\bar{b}\\
b &\bar{a}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
z_{_1}\\
z_{_2}
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}
az_{_1}-\bar{b}z_{_2}\\
bz_{_1}+\bar{a}z_{_2}
\end{array}\right).
\]
亦即，单位四元数$q$对应于一个$2\times 2$的酉矩阵。这样就给出了一个对应
$\Bbb{S}^3\to SU(2)$,这容易验证是一个群同态，而且是单射和满射。因而我们有Lie群同构
$$
\Bbb{S}^3\cong SU(2).
$$
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
多普勒说，你们都是红眼病。
这一刀扎下去，使五千年中国文明立时成为了一个谎言。整个中国历史必须以这个细节为切入口重新改写。
| 发表时间：2006-07-10, 05:38:59 |
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