semi
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光子与引力子变换关系的对比
全部在正交标架下考虑.
电磁场张量F_ab,可以通过适当组合得到一个3复分量旋量ψ=E+iB,其变换为Λ=exp[(iw-ε)·R]
R为光子自旋矩阵:
|0 0 0| |0 0 i| |0 -i 0|
|0 0 -i| |0 0 0| |i 0 0|
|0 -i 0|,|-i 0 0|,|0 0 0|
[R_a,R_b]=iε_abcR_c , R^2=1(1+1)
对于引力场也有类似的结果,利用曲率张量的性质,对曲率张量R_abst通过适当组合,可以得到一个5复分量旋量ψ,其变换为Λ=exp[(iw-ε)·G]
G为引力子自旋矩阵:
G_x=
|0 0 0 0 0 |
|0 0 -i 0 0 |
|0 i 0 0 0 |
|0 0 0 0 -2i|
|i 0 0 2i 0 |,
G_y=
| 0 0 2i 0 0|
| 0 0 0 0 i|
|-2i 0 0 -i 0|
| 0 0 0 0 0|
| 0 -i 0 0 0|,
G_z=
|0 -2i 0 0 0|
| i 0 0 -i 0|
|0 0 0 0 -i|
|0 2i 0 0 0|
|0 0 i 0 0|
[G_a,G_b]=iε_abcG_c , G^2=2(2+1)
物理方程之美,是一种无法言说之美。
| 发表时间：2006-07-10, 11:50:03 |
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semi
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Re: 光子与引力子变换关系的对比
更正:R为光子自旋矩阵:
|0 0 0| |0 0 i| |0 -i 0|
|0 0 -i| |0 0 0| |i 0 0|
|0 i 0|,|-i 0 0|,|0 0 0|
物理方程之美,是一种无法言说之美。
| 发表时间：2006-07-10, 11:59:03 |
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星空浩淼
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Re: 光子与引力子变换关系的对比
有趣
以前我也思考过这个问题，但是对于引力场，如何利用它的自旋矩阵，写出它的旋量方程（类Dirac方程）？
另外，对于引力场，直接以曲率张量作为基本场量时，给出的方程不过是数学恒等式，没有任何物理内容。似乎自旋越高的场，基本场量的量纲越低（标量场是个例外）：
Dirac场自旋为1/2，基本场量量纲为3/2；（1/2+3/2=2)
矢量场自旋为1，基本场量是规范势，量纲为1；（1+1=2)
引力场自旋为2，基本场量是度规张量，量纲为0；（2＋0＝2）
也许不存在自旋高于2的基本场（否则相应的基本场量量纲为负），当然可以存在高自旋复合粒子，但不存在高自旋基本粒子？
最后跟semi兄说两句：
semi兄如果在科学变革年代，也许就能成为一个诺贝尔奖得主。我欣赏你，你是正宗的物理学子。在不断的学习和钻研中，逐步成长。让数学基础和物理功底不断提升，眼下既要保持思考与钻研（即使只作为练习也是有价值的），也不要让对某个idea的钻研，耗费你眼前太多的时间，以致于不能趁早年打下足够的数学和物理功底。你不象我，我是没有机会了。如果你现在是硕研，你的“学与思”还比较均衡；如果你是博研，你的数学和物理基础就没有跟上你的研究思考，“思多学少”了。当你的基础足够时，你研究和思考的课题就跟现在大不相同。眼下你的所作，都是属于重复早期前人的经历，耗费过多就不好了。
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| 发表时间：2006-07-10, 22:42:19 |
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sage
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Re: 光子与引力子变换关系的对比
Dirac场自旋为1/2，基本场量量纲为3/2；（1/2+3/2=2)
矢量场自旋为1，基本场量是规范势，量纲为1；（1+1=2)
引力场自旋为2，基本场量是度规张量，量纲为0；（2＋0＝2）
this follows trivially from the form of the kinetic terms, which must be dimension 4. .
kinetic term can only depend on bilinears of the fields. Otherwise it is not free.
we know two spinor can at most transform like a vector, therefore, there can only be one space time derivative, to combine with 2 spinors making a Lorentz scalar. Derivative has dimension 1, therefore, because the kinetic term must have dimension 4, fermion field has dimension 3/2
for two vectors, we of couse will have to have two derivatives to make a scalar (to contract with two vector indices). Therefore, vector has dimension 1.
For spin 2, we have two spacetime indices for each field. We have two options, first, we could have 4 space-time derivatives. On the other hand, this will give a sick kinetic term (with imaginary energy, and so on). Then we can have two derivatives with two of the left out indices contract with each other. This tells us graviton quanta has dimension 1, which is the correct scaling dimension for canonically normalized graviton fields.
On the other hand, we are probably more used to look at gravity in terms of non-canonically normalized field. In this way, we fact out a factor M_P^2 in fromt of the kinetic term, the field then has dimension 0, which the metric tensor. Writing everything in term of metric tensor has the benefit of making general coordinate invariance appear in a more familiar form. On the other hand, bear in mind that this is not the canonically normalized field for the graviton quanta.
也许不存在自旋高于2的基本场（否则相应的基本场量量纲为负），当然可以存在高自旋复合粒子，但不存在高自旋基本粒子？
| 发表时间：2006-07-11, 00:45:17 |
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semi
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Re: 光子与引力子变换关系的对比
星空兄显然过誉了，我可没那么牛。
<<以前我也思考过这个问题，但是对于引力场，如何利用它的自旋矩阵，写出它的旋量方程（类Dirac方程）？>>
对于引力场存在的类Dirac方程，就是Penrose的2自旋旋量方程，但不是Einstein方程。方程不包含自旋矩阵G,间接包含于2自旋旋量的变换中，方程包含的自旋矩阵仍是Pauli矩阵。
对Einstein方程似乎不能得到类Dirac方程，当然也可以对Einstein方程矩阵化，可以得到比较简洁的表示形式，可能就是印度人A.Sen（不是弦论中的那个）曾得到的形式，（我猜的，我一直想找到印度人A.Sen那篇将Einstein方程改造成优美形式的原始论文，且一直找不到。），反正新形式中明显出现了Ashtekar变量。看来印度人在物理学中挺可以的。
<<Dirac场自旋为1/2，基本场量量纲为3/2；（1/2+3/2=2)
矢量场自旋为1，基本场量是规范势，量纲为1；（1+1=2)
引力场自旋为2，基本场量是度规张量，量纲为0；（2＋0＝2）>>
这个考虑也是挺有意思的，我从没想到过。
Dirac只通过把玩Pauli矩阵，就得到了电子Dirac方程，给人一种强烈的震撼。考虑物理中有些东西感觉的确很美，很好玩。只有一个概念还不是那么好玩，有数学的介入才真正好玩。当然我也不会花太多时间在此上面，因为我还要生活，生活才是最主要的。
物理方程之美,是一种无法言说之美。
| 发表时间：2006-07-11, 01:15:40 |
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semi
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Re: 光子与引力子变换关系的对比
<<对于引力场，直接以曲率张量作为基本场量时，给出的方程不过是数学恒等式，没有任何物理内容。>>
那么R_abcd;d=0是恒等式吗？我记得*R_abcd;d=0才是恒等式.(霍奇*对cd起作用)
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| 发表时间：2006-07-11, 01:30:02 |
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星空浩淼
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Re: 光子与引力子变换关系的对比
“对于引力场存在的类Dirac方程，就是Penrose的2自旋旋量方程，但不是Einstein方程。方程不包含自旋矩阵G,间接包含于2自旋旋量的变换中，方程包含的自旋矩阵仍是Pauli矩阵。”
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这样说来，Penrose的2自旋旋量方程，跟Einstein方程无关？如果这样它不一定描述引力，充其量是描述自旋为2的粒子——任何以时空二阶张量作为场量的场，都对应Lorentz群的自旋2表示。因此从Einstein方程出发，也可以论证引力子自旋为2。而且Penrose的2自旋旋量方程，可能并不是我所说的那种意义上的类Dirac方程。
“对Einstein方程似乎不能得到类Dirac方程”，
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
以前我在这方面做过不少努力，现在看来，纯粹属于瞎费功夫。
“Dirac只通过把玩Pauli矩阵，就得到了电子Dirac方程，给人一种强烈的震撼。”
————————————————————————————————
这样说Dirac方程来源，可能刚好说反了。Dirac首先是强行对相对论能量动量关系开平方（线性化），然后再回过头来找实现这种idea的数学上的可能性，发现只有矩阵数学可以做到（才能满足Dirac代数）。然后才与Pauli矩阵挂上钩的。
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| 发表时间：2006-07-11, 05:45:22 |
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semi
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Re: 光子与引力子变换关系的对比
<<Penrose的2自旋旋量方程，跟Einstein方程无关？>>
并非一点关系都没,Penrose的2自旋旋量方程描述弱场(R_ab≈0)情况下的引力子，态旋量对应曲率张量(实际上此时就是Weyl张量).
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| 发表时间：2006-07-11, 10:16:13 |
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semi
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Re: 光子与引力子变换关系的对比
说得更准确地，此时态旋量就是Weyl旋量。
物理方程之美,是一种无法言说之美。
| 发表时间：2006-07-11, 10:30:06 |
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星空浩淼
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Re: 光子与引力子变换关系的对比
哦，原来这样。
Penrose的这个方程以前从来没有去关心过，所以很陌生（也许见过但视而不见）。因为我一直只对如何把引力纳入规范场论的理论框架感兴趣，总想找到一种新的纳入方式，使得相关规范对称性所对应的Noether荷刚好是四动量（即，连续性方程中的流密度对应能量动量张量），因为按照爱因斯坦理论，能量动量张量是引力之源。但是传统的纳入方式做不到这一点，这比较令人困惑。我勉强通过其它手段达到这一点，却又在另一些方面不如人意。总之不能两全。
把爱因斯坦方程跟Maxwell方程对应起来，发现曲率张量对应电磁场强，但是引力的“Maxwell方程”不过是数学上的一个恒等式。因此基本的物理方程方程还是需要用度规张量或者联络作为基本场量来表达。这就是我前面所说的意思。
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| 发表时间：2006-07-11, 23:14:47 |
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萍踪浪迹
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Re: 光子与引力子变换关系的对比
：：Dirac只通过把玩Pauli矩阵，就得到了电子Dirac方程，给人一种强烈的震撼。
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Pauli矩阵只是他应用的工具，他创建Dirac方程的出发点不是用Pauli矩阵~
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-07-12, 05:25:54 |
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semi
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Re: 光子与引力子变换关系的对比
Dirac创建Dirac方程的出发点是寻找有意义的相对论性的电子波动方程，但他发现Pauli矩阵(σ·p)^2=p^2的这一优美数学性质，在他具体得到Dirac方程中是个关键。
物理方程之美,是一种无法言说之美。
| 发表时间：2006-07-12, 06:46:09 |
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