gage
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什么是复数？
0. 复数的历史（省略1000字，读者可声情并茂的补充）。
1. 从代数的观点，或者说模型论的观点看，复数可以实现为一个矩阵代数，
复数 a+bi 对应到二阶矩阵
a,-b
b, a
简单的计算可知，复数的加法和乘法分别对应到矩阵的加法和乘法。亦即上述对应关系是一个代数同构。因而复数系统可以被实现。正如，罗巴切夫斯基双曲几何可以用 Poincare 模型来实现。
2. i 是什么？几何的观点
i 不是恶魔。你可以说他表示的是平面上的点(0,1).
这里，我们提供另一个说法。i 表示逆时针旋转 90 度，显然，这个变换在实数轴上是看不到的，所以 i 不是实数。对比， -1 实际上表示旋转 180 度，相当于两次旋转 90 度的合成，这恰好表示 i^2=-1. 显然旋转 90 度可以实现在平面上。另外这种说法和第1种观点是一致的。也就是说，i 对应的2阶矩阵相当于平面上旋转 90 度这个变换。
3. 仍然是纯代数的观点，开根号的含义。
考虑实系数一元多项式全体R[x]，子集 1+x^2 生成一个主理想，显然商代数就是复数C.
这个理想的生成元1+x^2=0,即表示-1可以开根号。
开根号的想法可以推到很广泛的地方。
比如，
(1). 微分流形上的线丛开根号，可以得到 spin 这些概念。
(2). 比复数更一般的 Clifford 代数。
(3). Laplace算子开根号可得 Hodge 算子，或者 Dirac 算子。（不准确的说法）
(4). 波动方程也可以开根号，比如 Penrose 的那本千页大书中就有一段讨论。
(5). Schrodinger 算子也可以开根号，比如可以参考 Greiner 所著的量子力学一书，Greiner 以此来说明自旋产生的根源。
这些开根号的想法是一脉相承的。
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| 发表时间：2006-07-28, 04:40:02 |
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星空浩淼
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Re: 什么是复数？
如果你的目的，是科普复数，这是一篇好文章。
如果你的目的，是为了说明复数（虚数）并不神秘，那没有达到目的。
要了解人们对于复数（主要是虚数部分）的疑惑，就要了解相关的历史，顺着人类认识的历史脉络来考察（这对于gage而言是小菜一碟）。虚数这个英文单词本身，就体现了当年人们对于虚数的疑惑。
科学来自于实践，数学也不例外。开始的时候，数的概念扩张每一步，都跟实践需要挂钩，树的概念都有直接的现实意义和物理原型，然而，从虚数开始，是数学本身的发展需求带来的，它没有直接的物理原型（比如，你无法理解2i个面包到底是多少个面包），所以当时人们认为这是人类心智的自由想象物，而数学也可以是脱离现实的自由创造物——一些唯物主义哲学家当然不同意这种观点，于是他们为此作了一些理论辩解。数学来自于实践，到了后来成为一门与外界相对独立、依赖于自身逻辑而发展的科学，它的结论仍然可以应用于现实。有一个来自于现实的前提，有一个正确的逻辑演绎，最后的结论符合现实实践并不奇怪。
penrose对于复数（虚数）的思考，也是基于这种历史认知背景的。在他本人看来，扭量是在此基础之上（可能包括四元数）的更进一步。
BTW，最近在一个超弦/M理论的暑期school会议上，第一个报告就是扭量理论。E. Witten后来也转到扭量的研究上面来过，说明扭量至少不是故弄玄虚。
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| 发表时间：2006-07-28, 05:40:26 |
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星空浩淼
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Re: 什么是复数？
再补充几句（其实以前在这里多次谈到过）：
人们对于虚数的困惑，其实在量子力学产生之前是一直都存在的。当虚数在数学中大行其道的时候，人们认为虚数只是作为数学方便的形式工具在使用，虚数不属于“实在”的一部分，人们在物理概念上仍然使用实数。在物理计算中，每当复数作为数学工具使用完毕，人们开始过河拆桥：对计算结果取实部或者虚部。
因此你可以理解，为什么当初薛定额建立量子力学方程的时候，对方程中出现的虚数单位感到很不安，因此他想方设法去掉其中的虚数单位。经过痛苦的尝试过后，发觉去掉虚数单位只会让理论变得丑陋无比，最后他被迫接受方程的原来形式。量子力学的关键特征之一是相位的叠加干涉，站在e的肩膀上的相位描述，离不开虚数单位。虚数本身也有了一个操作意义上的解释：逆时针转90度（楼主已经讲过）。
因此，一般人认为，量子力学使得人们开始在物理概念上使用虚数，赋予了虚数的“实在性”。其实，这个说法不完全准确：在经典电磁场理论中，波数可以取虚数，得到衰减解——从量子力学语言讲，得到光子的量子隧道穿透解。但是另外一方面，电磁场比较特殊，它直接就是相对论的，并且直接就是量子力学的（一次量子化意义上）。所以这不奇怪。
（BTW，楼主提到微分算子开平方，顺便想到去年夏天这个时候，我为了完成一篇论文，不得不去熟悉一下对微分算子进行任意幂次运算的理论，包括算子开分数次方和负数次方。人们为了构造新的量子场论，就试图用微分算子的任意幂次构造新的Lagrangian，但发现一般都有非定域特征，人们因此发展出随机场论——当然后者还有其他产生的意图）
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| 发表时间：2006-07-28, 07:47:06 |
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权权
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Re: 什么是复数？
请星空兄推荐一些你提到的算符开方或者取负幂次的文献～～我对这个有兴趣，动机很幼稚，库仑势自Pauli开始就有了臻于完美的代数解法，但如果想想如果能把库仑势的哈密顿量取倒数再开平方，那这个算符的谱就是阶梯状的了。
不忧不惧
| 发表时间：2006-07-28, 12:16:02 |
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sage
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Re: 什么是复数？
BTW，最近在一个超弦/M理论的暑期school会议上，第一个报告就是扭量理论。E. Witten后来也转到扭量的研究上面来过，说明扭量至少不是故弄玄虚。
A certain number of people working on that does not mean it is really useful.
T.D. Lee has a (in)famous quote "many people take part in cultural revolution, and it is a disaster".
Twistor, mathematically, is just a change of variable, whose "half"-fourier transform is called the twistor space. Like many change of variables, it could simplify certain calculations. On the other hand, it is not something fundamental by itself. In fact, rewriting GR in twistor language has produce almost no useful result.
What Witten worked on is not what Penrose dreamt about at all. What he did is to show that twistor space provide a concise and better-organized way of representing N-gluon amplitude in YM theories.
It is probably understandable that Penrose thinks twistor is the answer to everything. On the other hand, let's keep in mind that
1) so far, it is only his personal dream. Nothing useful has come yet.
2) There is no physical reason for why twistor is better for quantum gravity. Afterall, it is just a no so non-trivial change of variable.
| 发表时间：2006-07-28, 19:02:20 |
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gage
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Re: 什么是复数？
Penrose 把复化想象的太简单了。
记得《数学译林》上曾经有一篇 V.Arnold 的文章，讲到他怎么看待复化，写得非常好。
Penrose 的复化比较起来显得很不自然。你可以复化向量丛，但是复化 spacetime 这样的底流形是无意义的。S^2 可以赋予复结构，但不是每个S^2都是复流形。
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| 发表时间：2006-07-29, 02:38:15 |
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sage
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武功等级: 天山六阳掌
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Re: 什么是复数？
Penrose 把复化想象的太简单了。
He is probably not trying to do a complete job. He is probably not even trying to a
completely correct job.
| 发表时间：2006-07-29, 14:22:40 |
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星空浩淼
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Re: 什么是复数？
回权权兄
主要在J.Math. Phys.杂志上可以找到一些文章.另外你查"拟微分算子"方面的内容,也有些相关内容.
回sage兄
你说的有道理.事实上,我原来对扭量的感觉,跟你说的类似(你可以查我过去的帖子).只是当我知道Witten也赶过这趟混水,超弦理论里面也参合这些东西时,我开始动摇自己原来的看法,毕竟我自知我是肤浅的.我少年时代对Penrose形成的好印象,也许有些过时了.
这里的海外学者,都是"美国派".我不知道,如果有"英国派"的,不知他们对剑桥牛津的牛人如何看?(好奇中...).国内有些教授是Hawking他们 的学生.
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| 发表时间：2006-07-30, 08:18:00 |
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萍踪浪迹
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Re: 什么是复数？
：：我少年时代对Penrose形成的好印象,也许有些过时了.
=============================
并不过时，只要你不把数学的美与物理的真等同。
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-07-30, 12:59:05 |
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星空浩淼
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Re: 什么是复数？
再回权权：
可以参看以下文献：
Petr Zavada, e-print funct-an/9608002.
D. G. Barci, C. G. Bollini, L. E. Oxman, and M. C. Rocca, Int. Journal of Theor. Phys. 37, 3015 (1998).
N. Laskin, e-print quant-ph/0206098.
K. Namsrai, Nonlocal Quantum Field Theory and Stochastic Quantum Mechanics, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland 1986.
奇怪，这个栋楼我无法打开看内容，但可以直接点击“回复”，进入编辑帖子的界面。
也许前面某些帖子太长了，我的网络慢，打不开。
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| 发表时间：2006-07-31, 01:22:01 |
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星空浩淼
发表文章数: 1743
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Re: 什么是复数？
这次打开了。
并不过时，只要你不把数学的美与物理的真等同。
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说得好！！！
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| 发表时间：2006-07-31, 01:31:22 |
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权权
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Re: 什么是复数？
谢谢星空～
不忧不惧
| 发表时间：2006-07-31, 01:50:37 |
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dfj