星空浩淼
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请教：能量能小于静止质量吗？（顺致胡嗣柱，倪光炯，徐建军老师）
这是我在另一个帖子“请教”中提出的问题。今天我把书带过来了，发现那个帖子有些地方说得不准确会让人误解，因此重新发一个帖子。上次虽然叙述不准确，问题本质没有变：计算Green函数时，到底是否考虑能量在0到质量m之间的贡献？
sage兄和昌海兄来自于复旦，可能对这类问题更熟悉。如果有什么看法，请不吝赐教，谢谢！
我问题的来源是：
胡嗣柱，倪光炯，数学物理方法，高等教育出版社（第二版，估计第一版上照样有），2002（第一版1989），p.330。
胡嗣柱，徐建军，数学物理方法解题指导，高等教育出版社，1997，p.452.
问题：求解全无界空间Klein-Gordon方程的推迟Green函数。所谓推迟Green函数G，是满足当时间t<t'时，G＝0的Green函数。
原文献求解过程是这样的：先求出它的积分表达式，相当于Green函数G的动量表示的四维傅立叶变换，因此积分是关于能量和动量的四重积分。利用复变函数理论进行积分时，先把对三维动量的积分在求坐标系中进行，其中对于两个角度的积分可以直接给出，剩下对作为球半径变量的动量的积分和对于能量的积分。先对前者积分，此时由质壳关系有三种极点：
1）当能量E>质量m时，极点是：动量p=±[square root(E^2-m^2)+iε]，其中iε是为了利用复变函数理论进行积分而引入的无穷小虚部。
2）当E<－m时，有极点：p=±[square root(E^2-m^2)－iε]。
3）关键是这里还考虑了这种情形下的极点：
当－m<E<m时，有极点：p=±isquare root(m^2－E^2)，此时它直接是一个虚数，不必引入无穷小的虚部。
当然具体的积分，积分围道在p的复平面的上半平面，因此涉及到的极点有：
1）当E>m时，p=square root(E^2-m^2)+iε；
2）当E<－m时，p=－square root(E^2-m^2)+iε；
3）当－m<E<m时，p=isquare root(m^2－E^2)。
对p积分之后，再对结果进行关于能量的积分。关于动量的积分中，其中极点1）和极点2）对积分的贡献，体现在后面关于能量的积分中，能量在区间(-∞，－m)和（m,+∞）的积分；而极点3）对积分的贡献，则对应后来能量在区间（－m，m）上的积分。
如果去掉极点3）对积分的贡献，最后就没有能量在区间（－m，m）上的积分。这样一来，最后的结果不满足边界条件，即Green函数在时间t<t'时不为零，从而不满足“推迟格林函数”所应该满足的因果律。
需要能量在区间（－m，m）上的积分贡献，是我的困惑所在。
One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
| 发表时间：2006-08-02, 23:28:34 |
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卢昌海
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Re: 请教：能量能小于静止质量吗？（顺致胡嗣柱，倪光炯，徐建军老师）
将传播子表示成四维积分时，积分是遍及整个四维动量空间的，不受质壳的影响，因此不存在需要排除-m<E<m的问题。
这与把传播子表示成三维动量积分很不相同，后者是对整个三维动量空间积分，这时如果引进能量E取代|p|，该能量的取值将在E>m，而不能遍及整个实轴（这种情况下需要用θ函数来保证因果性）。
有关四维动量积分的出现，Weinberg的第6.2节有很清楚的叙述。
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2006-08-03, 06:43:28 |
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星空浩淼
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Re: 请教：能量能小于静止质量吗？（顺致胡嗣柱，倪光炯，徐建军老师）
非常感谢昌海兄！你一说我就明白了。有一个比这简单的相关问题，记得以前你和sage兄给了解答。
数学技巧是奇妙的，只在某一点取值的量，通过利用极点，可以变成一个在无穷的区域上取值的（积分）变量，这是复变函数的力量。在对四维动量的四重积分中，如果先对能量积分，再对动量积分，此时动量就不会包含取虚数值了。
关于传播子与因果律，我另取一个话题请教。
One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
| 发表时间：2006-08-03, 23:39:28 |
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