那一剑的寂寞
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几个疑惑
在坐标变换下（不管是正交的还是仿射的，但主要考虑正交吧），有哪些数学上的不变量？是不是大多数几何量和拓扑性质都是不变的呢？
或者即使有变化，那都有哪些刻画之的度量呢？还有就是，究竟要怎样看待几何上的内蕴性？
最后，为什么y=f（x,y）描述了一个曲面，而y=（x）却描述了一条曲线?x_1=x_1(u,v), x_2=x_2(u,v), x_3=x_3(u,v)这样的参数表示也代表了一张曲面？而x_1=x_1(t), x_2=x_2(t), _3=x_3(t)这个参数表示就代表了一条曲线呢？
| 发表时间：2006-08-06, 02:14:01 |
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那一剑的寂寞
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武功等级: 罗汉拳
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Re: 几个疑惑
大家有没有思考过走路或者拖衣服时的一些拓扑学过程？
| 发表时间：2006-08-06, 02:23:10 |
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星空浩淼
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Re: 几个疑惑
在坐标变换下（不管是正交的还是仿射的，但主要考虑正交吧），有哪些数学上的不变量？是不是大多数几何量和拓扑性质都是不变的呢？
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以正交变换为例，那相当于坐标旋转变换。你可以想象一下，有哪些量在坐标系旋转下保持不变。首先，矢量的长度，更一般地，两个矢量之间的内积，此时保持不变。两个矢量之间的夹角亦如此...
拓扑不变量，是要求限制最宽松的，当然也就最多了。让学数学的来说吧。
最后，为什么y=f（x,y）描述了一个曲面，而y=（x）却描述了一条曲线?x_1=x_1(u,v), x_2=x_2(u,v), x_3=x_3(u,v)这样的参数表示也代表了一张曲面？而x_1=x_1(t), x_2=x_2(t), _3=x_3(t)这个参数表示就代表了一条曲线呢？
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应该是z=f（x,y）描述了一个曲面吧。
这些本来有多个不同的理解方法，但有许多不容易讲明白（有些甚至“可意会不可言传”），下面我可以提供一个虽不生动却比较严格的方式来说明：
一般可以这样分析：先看一共有几个变量，然后再看共有几个方程，每一个方程提供一个约束。如果共有N个变量，它们满足M个方程，那个最后共有(N-M)个自由度，描述一个
(N-M)维的几何体。
例如，x_1=x_1(u,v), x_2=x_2(u,v), x_3=x_3(u,v)共五个变量，满足三个方程，故自由度为二，描述曲面；而x_1=x_1(t), x_2=x_2(t), _3=x_3(t)共四个变量，三个方程，自由度为一，描述曲线。
One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
| 发表时间：2006-08-07, 00:11:58 |
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那一剑的寂寞
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武功等级: 罗汉拳
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Re: 几个疑惑
星空的描述是相当清晰的，只不过都是描述性的，没有触及到问题的本质，我总觉得这个问题与拓扑学有关，可是，又老是想得不很透彻。
| 发表时间：2006-08-10, 07:50:13 |
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青青子衿
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Re: 几个疑惑
z=f(x,y)描述一个曲面
还是要加条件的
| 发表时间：2006-08-10, 23:55:36 |
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gage
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Re: 几个疑惑
在坐标变换下（不管是正交的还是仿射的，但主要考虑正交吧），有哪些数学上的不变量？
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考虑最简单的函数不变量，意思是一个函数，在某种变换下函数值不变。如果是正交变换，那么有 f(Ax)=f(x), 其中 A 为任意正交变换，x 为空间中的点，满足这个条件的 f 称为不变量。上述 f 必定是一个径向函数，即有定义在 [0,+\infty) 上的函数 g, 使得 f(x)=g(|x|), 其中 |x| 表示 x 的长度。这种意义下的不变量对于仿射变换来说是没有意义的。
这是最简单的不变量。还可以稍稍复杂一点。设 A 为一般的线性变换，这时可定义不变量为 f(Ax)=f(x) det(A), 此处 det 表示行列式。
多普勒：你们都是红眼病。
拉马克：多发帖就能够提高灌水技术，这种本事是可以传递的。比如看到这个帖子的人可以马上学会这一高技术。
| 发表时间：2006-08-11, 01:39:03 |
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gage
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武功等级: 空明拳
(第三重)
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Re: 几个疑惑
函数不变量很少，但如果考虑微分不变量就很多了。实际上，E.Noether 的力学量守恒定理也是某种不变量。估计 Oliver 的书中有这些内容，该书大概GTM 90多号。
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| 发表时间：2006-08-11, 01:42:18 |
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