蚊子。

定理：若定义在实数集合上的函数w满足下述条件

1，（Cauchy函数方程）w(x+y)=w(x)+w(y).

2,（连续性）w为连续函数。

则存在实数k，使得w(x)=kx.

证明是众所周知的，一般在实变函数的教材中都有此结论，通常是习题的形式。我们也称w(x)=kx为Cauchy函数方程的解。

大炮。

von Neumann定理：设U(t)为Hilbert空间上的单参数弱可测酉群，则U(t)是强连续的。

单参数：t为实数，可任取。

酉群：对任何参数t，U(t)为酉算子。

弱可测：任取Hilbert空间中的两个元素g,h，则f(t)=<g,U(t)h> 为关于t的可测函数。

强连续：上述f(t)关于t是连续函数。


大炮打蚊子。推广Cauchy函数方程的解。

将条件2中的w的连续性减弱为w可测，由上述von Neumann定理容易证明，结论依然成立，即w(x)=kx.

证明：考虑Hilbert空间H=L^2(R)及其上的单参数酉群U(t)，对函数g(x) 的作用为：U(t)g(x)=exp(iw(t))g(x). 显然U(t)为弱可测的，由von Neumann定理，U(t)为强连续的，显然这等价于 w(t) 是连续函数。于是归结为原来的定理。证毕。

不知道上述结论是否有初等的证明。