论坛里已经有好几个人讨论过了。我来续一下。
问题：对每一个自然数n,在1/2^n 处放置一个点装的粒子，即半径为0的小球，称之为第n个球，这些球质量相同且均处于静止状态。现在让第1个球，即处于1/2处的球，以速度1向左运动。这个球（第1个球）在1/4点与第二个球发生弹性碰撞，于是，第1个球静止下来，而第2个球以速度1继续向左运动。如此继续下去。我们需要考虑在时刻1/2秒或1秒，这时整个系统的状态。
系统的状态由每个球的位置和速度决定。所有球的位置：第n个球的位置为1/2^(n+1)， 速度都为0.因而这个系统的能量不守恒。
考虑所有这些粒子的位置和速度构成的空间，这是一个无限维的空间。其中的元素为(x_1(t),x_2(t),...,v_1(t),v_2(t),...)，其中x_n(t)为第n个粒子在时刻t的位置，v_n(t)为第n个粒子在时刻t的速度。为书写简单起见，向左的速度记作正的。
因为我们感兴趣的是速度，所以也可以单独的讨论速度部分(v_1(t),v_2(t),...).
选取一个时间序列t_n，使得：此时第n个小球由初始位置1/2^n出发，完成了一半的路程，即其位置在始点1/2^n与终点1/2^(n+1)的中点。这个t_n可以算出来的，但没有必要，我们只需要知道t_n趋向于1/2.
记(x_1(t_n),x_2(t_n),...,v_1(t_n),v_2(t_n),...)，这是体系在时刻t_n的状态。其速度部分为(v_1(t_n),v_2(t_n),...).
写下来这个序列，如下：
(1,0,0,0,0,...)，此时第1个球在运动，其他的球静止。注意第一个分量为其他分量为0.
(0,1,0,0,0,...)，此时第2个球在运动，其他的球静止。
(0,0,1,0,0,...)，此时第3个球在运动，其他的球静止。
令时间趋向于1/2，那么需要对上述序列取极限。这一序列中的每一项都有无穷多个分量，显然，每一个分量都是趋向于0的。亦即每个小球的速度都趋于0.
那么这个序列趋于(0,0,0,0...)吗？
每个序列的长度都为1，而极限的长度为0.这是一个矛盾。
这个矛盾其实很容易解决。在泛函分析中数学家定义了各种各样的收敛性。按照分量收敛的被称为弱收敛，另一种是按照距离收敛，这是两种不同的收敛。这样来看，上述的所谓悖论无非是说，有些序列是弱收敛的，但不在距离下收敛。仅此而已。如果说有什么积极的意义，那就是在处理无穷多个对象时，通常不能只是将有限情形简单类推就可以得到恰当的结果。
换成撞球悖论，上述解释就是：小球的速度弱收敛到0，但是整个体系的能量不会相应地收敛到0.
最后补充一下，与上述思路无关。设想，从-1的位置有一个同样质量的球以速度1向右运动，那么1秒钟，或者2秒钟后，体系处于什么状态？注意到这个-1位置的球没有撞到任何一个球。
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lifubo  发表文章数: 522 |
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UUU  发表文章数: 69 |
这篇文章是这个问题的争论中唯一值得看的好文。因为所有的速度矢量都落在单位球上，而单位球非紧，这个序列在单位球上没有极限（能量不守恒）。另外这个序列的唯一可能的极限是原点（所有小球都静止）。如果在1点放一颗球，守恒律则成立。
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blackhole  发表文章数: 174 |
用弱收敛来解释是不错。但为什么弱收敛不是按距离收敛？区别怎么来的？这又得通过实例（比如本例）来说明确实存在区别。所以，问题其实并未得到解决，只是换了一种面貌。
该悖论的原意是：有限情况下两种一致的处理方式，在无限情况下时，变得不一致了。如何解释这种不一致？这里德“解释”当然是指有限情况下的一般原理。 也许，应该禁止把有限时的结论照搬至无限情况。这样就不会有悖论了。
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lifubo 发表文章数: 522 |
一个更加初等的解释。
第n个小球粒子的速度为v_n(t)，质量都为m. 于是整个体系的能量为1/2*\sum mv_n(t)^2. 对每一个时刻t，这是一个无穷级数。注意到无穷级数也是一个极限，即部分和序列的极限。 取极限，t趋于1/2，则对任意小球n，所有v_n(t)都趋于0. 于是我们观察到如下现象：在这个极限过程中，级数的通项趋于0，但是级数本身却保持不变。这没有什么奇怪之处，无非是说两个极限不可交换顺序。 即： $$\lim_{t\to1/2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}mv_n(t)^2\not=\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{t\to1/2}\frac{1}{2}mv_n(t)^2$$.
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快刀浪子  发表文章数: 216 |
改进了原来的题目。时间上不用取极限，避免不必要的争论。
要指出支持小球静止（或运动）的两个理由都错误才算解决了悖论。 -------------------------------------------------- 撞球悖论——能量守恒吗？ A、B两点相距1米。现在有无数个小球，假设每个小球的质量为m，半径为0。 把小球1放在A点，把小球2放在小球1和b点中间，小球3放在小球2与b点中间、小球4放在小球3与b点中间………… 在时刻0，小球1以1米/秒匀速向小球2运动。1/2秒后小球1和2弹性碰撞，小球1静止，小球2向小球3运动。又过了1/4秒后小球2和3弹性碰撞，小球2静止，小球3向小球4运动…… 1/2秒小球1静止，1/4秒后小球2静止，1/8秒后小球3静止…… 两秒后小球静止的两个理由： 1、 对任一个小球n，1/2+1/4+1/8+……+1/(2^n) < 2，所以两秒后小球n静止。 因为任一个小球n在两秒后静止，所以所有小球在两秒后都静止。 2、 小球1占了小球2的位置，小球2占了小球3的位置，……，总是有足够的位置，从而没有一个小球可以达到b点。 （如果小球能不能达到b点有争议，可取ab延长线上的一点c，没有一个小球可达到c。） 小球永远运动的两个理由： 1、 两个小球碰撞交换速度，效果相当于一个小球穿过另一个小球。这样看，小球1可以轻易地穿过所有小球达到b点，并继续向前。 因为小球1实际上不能穿过其他小球，所以最后继续运动的小球不是小球1。尽管不知道是哪个小球，但肯定有一个小球一直在运动。 （有点类似扔炸弹问题。尽管不知道炸弹在哪里爆炸，但1秒后炸弹肯定爆炸了。） 2、 这个是物理上的理由 根据能量守恒定律，0秒时小球1的速度为v，2秒以后肯定也有一个小球速度为v。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
忘了修改题目，上帖中的“能量守恒吗”应去掉
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卢昌海  |
小球永远运动的理由是无法推到t=2的，它只适用于t<1。要想推到t=2，必须假定存在一个最右侧的小球，那样的小球一旦运动起来，就不会因碰撞而停下，从而将持续运动下去，包括持续到t=2（并且无需再用交换速度的方式来看待其运动）。那样的最右侧小球的存在是快刀兄所说的“最后继续运动的小球”存在的前提（或者倒过来说，快刀兄所说的“最后继续运动的小球”如果存在，必定是最右侧的小球——因为“最后继续运动的小球”是无需用交换速度的方式来看待其运动的，这一特点只有最右侧的小球能满足）。但题目所给的小球之中是不存在最右侧的小球的，因此小球永远运动的理由只适用于t<1，而无法推到t=2。
象这样的问题还有很多，它们违反直觉（如果在这种有关无穷的虚拟情形下仍有直觉的话），但并不导致真正的矛盾。比如我中学时曾问过老师这样一个问题：线段[0,1]有端点，将端点去掉后的东西从几何上讲不仍是一个线段吗？难道不应该象包心菜一样剥掉最外层后露出一个新的最外层？为什么会变成没有端点呢？  宠辱不惊，看庭前花开花落
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lifubo 发表文章数: 522 |
扔炸弹问题，只有以下三种情形：
1，两个人的距离始终大于某个数，扔出炸弹所需的时间趋于0，这种情形下，他们扔出的炸弹的速度要趋于无穷大。 2，两个人的距离趋于0，这时炸弹同在两个人手里。 3，所需时间趋于无穷大，这种情形下，也没有矛盾。
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安石  发表文章数: 455 |
比如我中学时曾问过老师这样一个问题：线段[0,1]有端点，将端点去掉后的东西从几何上讲不仍是一个线段吗？难道不应该象包心菜一样剥掉最外层后露出一个新的最外层？为什么会变成没有端点呢？
------------------ 中学生能想到这个问题也不简单了，老师解释了没有？ 我大学时学到统计物理时发现有个问题，将中间隔开的同种气体连通后按照绝热（忘了具体条件）的计算方法熵是增加的，但按照直觉熵应该不变，两种情况下混乱程度是一样的，后来读了一些资料知道这是个悖论。
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blackhole 发表文章数: 174 |
小球永远运动的理由是无法推到t=2的，它只适用于t<1。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 所以，其实这就是之诺悖论。
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copico 发表文章数: 71 |
我觉着即使最右侧存在一个小球，这个小球也不会在t=1开始运动，这个小球的运动最终还是只能由这个系统提供，这不是这不这样分析的问题，而是按照这样的设置，这个系统内小球运动只能通过小球之间的碰撞交换速度传递，这样最右侧的小球永远都不会被传递到，因为碰撞交换速度这个事件在t=1和t>1无意义，整个系统的能量由最右侧的小球和它左侧的无穷多的小球的两部分组成，第二个部分在t>=1时无意义，整个系统的能量在t>=1时还是无意义，也就谈不上违背能量守恒。芝诺悖论和这个不大一样，阿喀琉斯能追上乌龟，最终是因为他们的速度差决定了他就可以完成追上这个过程，他们各自跑的距离s关于时间t的函数，在追上这个时刻都有定义，并且在此时相等，图像在这里相交，然后再把已完成的追上这个过程无限划分分析.
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UUU 发表文章数: 69 |
我个人是对1点也放上一个球的情形更感兴趣。我觉得楼主用无穷维相空间来分析这个系统是正途，但是速度矢量序列求极限是何意义值得商榷。另外，1点也有球的情况下，一个“合理的”结果应该是它会在1秒时运动，但它不会被左边的球撞到。有一个很自然也很人为的解释是能量不是通过碰撞直接传递的，特别是对于无穷的模型。说到底，这个根本不是物理模型。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
to 昌海兄：
如果两秒时有小球继续运动，那么它必须是最右侧的小球。因为不存在最右侧的小球，所以两秒时没有小球运动。 这确实是两秒时没有小球运动的理由，但我认为这还没有解决悖论。悖论的关键在于两个看似正确的推理得出相反的结论，所以解决悖论还要指出另外一个推理错在哪里。 我不知道下面这个推理哪里错了。 两个小球碰撞交换速度，效果相当于一个小球穿过另一个小球。当小球可以穿越时，小球1在两秒钟将穿过所有小球，并继续运动。 所以在两秒时，仍有一个小球在运动，尽管我们不知道这是哪个小球，就如同我们不知道炸弹在哪里爆炸，但2秒后炸弹肯定爆炸了。 还有一个问题，两秒时系统的状态是怎样的呢？如果所有小球都静止，岂不是违背了守恒定律？
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copico 发表文章数: 71 |
要不然就完全不考虑碰撞，左侧的每个小球的运动也不考虑成碰撞引起，抽象成t秒时距离a点t米的小球开始运动{0，1/2,3/4....1}映射回自身的数学模型，这样b点有小球距a 1米，在一秒开始运动。否则的话，左侧的小球的运动依赖碰撞，在1秒时，b点左侧所有小球组成的系统状态无意义，通过啥方式再影响b点小球开始运动都实在纠结。
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卢昌海 |
to 快刀兄：
我那回复的意思是那“两个看似正确的推理”中的一个只适用于t<1，从而对于它所试图推断的t=2的情形来说不是正确的推理。至于守恒定律，在这一问题中也只适用于t<1，这跟物理世界中守恒定律适用于t<∞是类似的。 不过现在我要先收回自己的回复，因为我想到了下面这个问题，暂时还没想好如何回答，如果这个问题无法回答，则我前面的回复可能也有问题。这个问题就是： 在[0,1)之间在坐标为x=1-1/2^n处放上直径为零的不可穿越的固定小球（位置与快刀兄问题中相同，只不过是固定的），并且还要求对n为奇数，那小球为红色，对n为偶数，那小球为蓝色。现在在t=0时刻在坐标为x=2的地方放上一个质量为m、速度为v=-1（即向左运动）的白色运动弹性小球，并且要求，一旦该小球与静止小球碰撞，不仅会发生弹性碰撞（由于一方固定，碰撞的结果是运动小球以v=1被弹回），而且还会被染上与之相碰的小球的颜色。现在问：t=2时该运动弹性小球的位置与颜色。 这个问题的要点是：固定小球无限逼近x=1，但不存在最右侧的小球，因此运动弹性小球被弹回后的颜色应该无法确定。不仅如此，由于与运动小球碰撞的小球如果存在，必定只能是最右侧小球，而那是不存在的，按照我上面回复快刀兄的方法，结论应该是没有碰撞，如果没有碰撞，那运动小球在t=2时岂不应该出现在x=0，且维持白色？但这跟固定小球不可穿越矛盾。 我还没想到怎么解释上述问题，最近赶稿任务较紧，可能一时不会有时间思考。欢迎大家先讨论。我现在怀疑有可能问题的提法，即对直径为零的小球的碰撞性质作出诸多要求可能是不允许的，但数学上究竟为什么不允许，我也没想好。另外，将上述问题中的固定小球改成弹性小球，还可以问那些小球在t=2时的位置，将其反演，有可能得到快刀兄的问题（前提是认为有碰撞）。 要出门上班了，匆匆写这几句，如果有表述不当之处，一会儿再修改。 宠辱不惊，看庭前花开花落
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
昌海兄的那个问题，小球肯定染色了，但不知道是什么颜色。就像扔炸弹，不知道炸弹在什么地方爆炸，但可以肯定炸弹爆炸了。
::我那回复的意思是那“两个看似正确的推理”中的一个只适用于t<1，从而对于它所试图推断的t=2的情形来说不是正确的推理。 昌海兄没有指出“可穿越的”那个论证过程有什么不对呀，只是给出了另一个论证，说它的结论不对 ::至于守恒定律，在这一问题中也只适用于t<1，这跟物理世界中守恒定律适用于t<∞是类似的。 为什么只适用于t<1？
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卢昌海 |
对于上一个贴子最后所说的＂我现在怀疑有可能问题的提法，即对小球的碰撞性质作出诸多要求可能是不允许的＂做一点补充。我的意思是这种要求似乎是在把数学上无法确定的东西代理给那些小球自己去做，比如我那个问题中白色小球与什么小球碰撞是无法确定的，但我们却要求小球传递＂速度＂、＂颜色＂等性质，这有可能是无法允许的。这些有关碰撞的要求有可能只有在参与碰撞的小球能被确定的情况下才能引入。这有点象一个证明最大的自然数等于1的错误证明，即假设最大的自然数是N，由于对所有自然数N^2不小于N，而N是最大的自然数，因此只能有N^2=N，从而N=1。这个证明的错误在于所用到的关于N的性质只有在N能被确定的情况下才能引入。
宠辱不惊，看庭前花开花落
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卢昌海 |
:: 昌海兄的那个问题，小球肯定染色了，但不知道是什么颜色。
:: 就像扔炸弹，不知道炸弹在什么地方爆炸，但可以肯定炸弹爆炸了。 炸弹炸了就没了，死无对证，小球如果＂肯定染色了＂，它还在，应该能问是什么颜色。如果无法确定，有可能是问题本身有问题（绕口令了），比如是把一个无法确定参与者的碰撞代理给了参与者去处理（这等于假定了参与者存在），然后问它的结果。 小球可穿越的情形与碰撞情形的差别在于后者存在一个确定小球＂身份＂的问题（即究竟哪一个小球最后在运动，或如我前面所做的那样，对小球着色，然后问小球的颜色），而前者不存在那样的问题（因为只有左侧小球在运动）。而一旦存在确定小球＂身份＂的问题，就牵涉到能否对无法确定小球＂身份＂的碰撞做假定（比如假定碰撞存在，就象假定最大的自然数存在一样）的问题。从这个角度讲，可穿越情形是一个提法正确，从而可确定的问题，碰撞情形有可能是一个提法错误，从而不可确定的问题。两者对于任何给定的t_0<1，在t<=t_0是等价的，但在更大范围内并不是等价问题。 不过我还不是很肯定。 宠辱不惊，看庭前花开花落
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lifubo 发表文章数: 522 |
我搜索了一下，google：infinitely many particles system mechanics，即无限多个粒子的力学系统。可以看到确实有一些人做这方面的研究。但我这里网速有点慢，很难看到相应的论文。
另外提两个看法： 从一个匀速运动的观察者的角度看，该体系具有无穷大的动能。 其次，在一个有限的区域中该体系具有无限的质量。可以看出0点（小球序列的极限点）一定是黑洞。 当然这两个看法与悖论本身无关。
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卢昌海 |
像这种长时间无法达成共识的问题，有可能需要对其做一个形式化处理，即用单纯的数学语言来表述与分析，这样可以避免被日常语言和日常直觉所误导，或因日常语言和日常直觉的不严格而掩盖了某些数学上有问题的细节（比如存在性问题、定义域问题等）。
宠辱不惊，看庭前花开花落
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
::炸弹炸了就没了，死无对证，小球如果＂肯定染色了＂，它还在，应该能问是什么颜色。
炸弹问题其实和小球一样。甲乙两人扔炸弹，1秒钟时爆炸。两秒钟看看谁被炸死了，就知道在哪里爆炸。 这些问题是无法回答的，就像问最大自然数是奇还是偶一样。不存在悖论。 ::小球可穿越的情形与碰撞情形的差别在于后者存在一个确定小球＂身份＂的问题（即究竟哪一个小球最后在运动，或如我前面所做的那样，对小球着色，然后问小球的颜色），而前者不存在那样的问题（因为只有左侧小球在运动）。 “可穿越”与“碰撞”的等价是指除了小球的身份外，系统所有方面都是一样的。这方面，我觉得在任何时候都是等价的（因为我看不出不等价的理由）。 如果考虑“身份”，任何时候都是不等价的（除了第一次碰撞之前）。 假设两秒钟时，小球仍然运动，这时无法确定它的身份，我觉得不是大的问题，因为这类问题本来就有一些是无法回答的。
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UUU 发表文章数: 69 |
昌海兄，你提的问题可以简化成这样：一根“右侧没有端点”的长度为1的刚性木棍，放在[0，1）区间位置。一个球从右侧位置2向左运动，问球是否会撞到木棍？
我的答案是，它会撞到木棍，但它不会撞到木棍的任何一个点！1点的小球和木棍发生碰撞是唯一符合直觉的定义。但按照染色法1点是没有染色的。 从几何上来说，点和线段的从属关系不等于说线段是由一个个点构成。
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卢昌海 |
:: 两秒钟看看谁被炸死了，就知道在哪里爆炸。
汗颜，是我马虎了。 :: 这方面，我觉得在任何时候都是等价的（因为我看不出不等价的理由）。 这个恐怕要对问题做一个形式化处理才能辨明。我觉得这个问题一旦形式化后，可能实际上是两组独立的条件拼接而成的，一组条件是t<1时的条件，包括对小球碰撞的要求，或对炸弹的转手规律。另一组是t>=1时的条件，拿炸弹的例子来说，从数学上，炸弹的性质是t<1时存在，t>=1时不存在。日常语言中的所谓炸弹在1秒末爆炸用数学语言来说是这两个条件的拼接。对碰撞小球来说，t<1时用的是那组有关碰撞的描述，由此无法推出有关定义域之外（即t>=1）的行为的，为了推断后者，必须拼接新的条件，比如t=1时有一个小球在x=1，以v=1运动（穿越小球的情形就相当于是作了这一拼接）。日常语言中的小球运动造成的是一个错觉，以为小球在t>=1时的运动似乎像物理学中一样能从t<1的条件中推出来，实际上在这一数学问题中那是拼接了独立条件后才能做到的。非穿越情形相当于不作拼接，试图从t<1的条件中“物理地”推出t>=1的情形来，因此没有答案。 宠辱不惊，看庭前花开花落
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UUU 发表文章数: 69 |
说得更数学化一点，两个物体（或质点或别的什么形状）碰撞，意思是他们之间距离为零。[0，1）作为一个集合，和1点的距离就是零。可是[0，1）中的任何一个点和1的距离都不是零。
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卢昌海 |
才看到UUU网友在我贴子之前的回贴。
:: 昌海兄，你提的问题可以简化成这样：一根“右侧没有端点”的长度为1的刚性木棍， :: 放在[0，1）区间位置。一个球从右侧位置2向左运动，问球是否会撞到木棍？ :: 我的答案是，它会撞到木棍，但它不会撞到木棍的任何一个点！1点的小球和木棍发 :: 生碰撞是唯一符合直觉的定义。但按照染色法1点是没有染色的。 :: 从几何上来说，点和线段的从属关系不等于说线段是由一个个点构成。 我也考虑过撞木棍（或任意一个开区间）的问题，两者的差别是最后那解释：“点和线段的从属关系不等于说线段是由一个个点构成”不适用于我那个例子。因为我那个例子中被撞的点集确实是由一个个点构成的，小球要么不撞，要撞就必须撞上点集中的一个点。 用我前面提到的两组条件拼接的看法，该问题的症结在于：它是t<=1的well-defined、因而有解的无碰撞运动，拼接上t>1的无初始条件、因而无解的“运动”。这种两组条件的拼接之所以无法归并成同一组，是因为拼接处是其中一组条件的奇点。 按照奇点的类型，我们讨论过的问题可分为两种类型： 第一类包括炸弹问题和快刀兄的碰撞问题，它们的奇点出现在末端，问题的症结是所问问题越出定义域（即所问问题涉及开区间末端以外的情形），结果要么无法确定（如炸弹问题），要么靠拼接新的条件得以确定（如碰撞问题的穿越版）。 第二类包括我的上述问题和快刀兄的走狗问题，它们的奇点出现在开端，问题的症结在于无法给出初始条件，结果是无解。（由于时间流向的不同，前一类问题可以通过拼接条件来描述后续运动，后一类问题则不行。） 宠辱不惊，看庭前花开花落
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UUU 发表文章数: 69 |
我也考虑过撞木棍（或任意一个开区间）的问题，两者的差别是最后那解释：“点和线段的从属关系不等于说线段是由一个个点构成”不适用于我那个例子。因为我那个例子中被撞的点集确实是由一个个点构成的，小球要么不撞，要撞就必须撞上点集中的一个点。
==================== 我不是很同意你说的最后一句话。如果撞上点集中的一个点，那就穿越了无数的小球了。和一个点集相撞，只是撞倒了它的边界。 回到快刀兄的模型，我认为这里边没有矛盾或悖论。最后的状态就是所有小球都静止。这个模型只有在t<1时等价于穿越模型。 但是如果在位置1也放上1颗小球的话，我就开始纠结了。原来我是认为这颗球会在1秒时开始运动，尽管没有小球撞到它，就如同第一颗小球穿越了一样。 现在我开始认为这是不对的。如果质量m>0,快刀兄的模型更像是在位置1处放了一个质量无穷大的钢板（只要把1球附近的所有小球看成一个独立系统即可），任何小球和它碰撞都不会撼动它，能量守恒当然是没有的。所以位置1左侧有限质量的运动是不能穿透到位置1右侧的。我觉得这更接近于物理现实。 另外，在昌海兄提到的模型里，右侧的球会被弹回去。但我还是认为与整个左侧的系统发生碰撞了，却没有碰到小球（当然这只是看怎么定义碰撞）。而且在1附近，球的颜色是未定义的。这些我同意昌海兄的最后结论。
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卢昌海 |
:: 如果撞上点集中的一个点，那就穿越了无数的小球了。
确实如此，也正因此如此，因此貌似悖论。我现在认为这是一个无解的问题，因为不存在初始条件（我们固然可以定义t=1时，小球位置x=1，速度v=-1，但由于该点对于小球分布来说是奇点，这种奇点上的条件不是有效的初始条件，无法用于计算）。 :: 回到快刀兄的模型，我认为 ... 最后的状态就是所有小球都静止。这个模型只有在t<1时等价于穿越模型。 我认为这也是一个无解的问题（貌似我很偷懒，把所有麻烦都归为“无解”，不过这却是我前面那种分析的推论，过几天我将整理出一篇文章来更系统地叙述我的看法——当然，如果在这之前我感到自己的看法已被推翻，那就另当别论），小球全部静止如fubo兄所说，只是速度矢量弱收敛到的结果，它位于t<0之外，因此不在碰撞问题所能求解的范围之内，不能视为碰撞问题中小球在t=1时的“物理”状态。所谓小球在t=1有状态的看法只是将这个局限于t<0的数学问题直觉化带来的错误假设。 :: 但是如果在位置1也放上1颗小球的话，我就开始纠结了。 按我上面的分析，位置1的小球是否运动不是从碰撞问题中能够推得出来的，因此——我要出汗了——也是一个无解的问题。 所有上述无解都是因为没有初始条件，或问题越出定义域，从而不是真正的矛盾。 唯一有解的是快刀兄的穿越版，那个问题与t=1时x=1、v=1所导致的后续运动可以光滑衔接。但原悖论本身却无法与穿越版中的t>=1的结果光滑衔接，因为没有一个小球能对应于t>=1时的那个运动小球而不导致矛盾。穿越版其实跟Zeno悖论是一回事，其余小球纯属摆设，它的解可以延拓到t>=1。 更系统的叙述容我有时间时再写，欢迎大家拍砖，像这种讨论，起码要让我自己感觉对所有反对意见都有能自圆其说的解释才行。哪怕有一条反对意见无法正面解释（即要么解释不了，要么只能用“我解释不了，但你的说法也不通”来反击），也不能算是过关。 宠辱不惊，看庭前花开花落
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UUU 发表文章数: 69 |
昌海兄果然有点懒啊，我来拍块砖吧。
我的结论是：快刀兄的模型和在位置1也放球的模型里，t=1时刻系统的状态是可以用所有小球都静止来描述的。而昌海兄的模型里右边小球会被同样速度反方向弹回。如果从数学上将两个质点相互碰撞的定义扩展到有无穷个质点的系统之间的碰撞（这里的模型本来就都是数学模型），那么右侧小球运动到位置1处确实与左侧的无穷大质量系统发生了碰撞。 快刀兄的模型在位置1附近实际上等价于一个左侧完全非弹性，右侧刚性的无穷大质量系统。虽然表面看起来没有出现无穷大，但是位置1点的质量确实不是有限数。 当然如果要像昌海兄一样偷懒也没问题。毕竟这些模型都是不现实的，可是如果从近似角度看并取极限的话，我上面说的那种碰撞的扩展定义应该很接近现实。 也欢迎大家拍砖，如果没被砸死的话，拍来的好砖我会用来砌房子。
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卢昌海 |
谢谢UUU网友的“拍砖”——之所以要加引号，是因为虽看见手举起，但没发现砖落下。唯一有点像砖的是我自己那个悖论中右侧小球被弹回似乎是一个符合直觉的结果，按我的说法却变成无法确定了。不过这个直觉就像左侧小球系统在直觉上应该有边界，其实却没有一样，在我看来是涉及无穷大的许多错误直觉之一。另外，UUU网友的小球弹回依据的可能是我那悖论的固定球版本，即左侧小球是固定的。在我那个帖子末尾提到，将那些固定小球改成与右侧小球同质量的自由弹性小球，则问题有可能变成快刀兄小球问题的反演。因为在这时，UUU网友提到的小球反弹回去恐怕是没有理由的，如果肯定碰撞发生了，那么唯一合理的结果似乎是右侧小球因弹性碰撞停在x=1，运动传递到左侧，最终变成左侧第一个小球以v=-1向左侧运动，而这正是快刀兄小球问题的反演，但这个反演却跟UUU网友认为的快刀兄小球问题中所有小球（包括x=1处的额外小球）会归于静止相矛盾。
对我自己的解释在这里再作一点补充：快刀兄认为他的穿越版与原始悖论是等价的（这是推出矛盾结果的主要依据），这里说明一下两者为什么不等价：穿越版的速度分量（定义参阅fubo兄的顶楼贴子）为v_1=1 (t>=0)，v_n=0 (t>=0, n>1)，非穿越版的速度分量则为v_n=1 (1-2^(1-n)<=t<1-2^(-n), n>=1)。两者的等价性仅仅体现在t<1时速度矢量都有一个分量为1，并且在对小球不加区分的情况下，位置分布相同。但前者的速度矢量恒等于(1,0,0,...)，从而在t→1时有极限(1,0,0,...)，可以延拓到t>=1，后者的速度矢量在单位球上无穷变动（且变得越来越快），在t→1时只是弱收敛于(0,0,0,...)，在距离意义上却不收敛于任何矢量，无法进行延拓。 另外还有一点可以说明的是，快刀兄提到的能量守恒按我的解释也不是问题，因为它在问题的整个可确定区间内（对于撞球悖论来说是0<=t<1，对于穿越版是0<=t，对于我那悖论是0<=t<=1）自始自终都是成立的。 宠辱不惊，看庭前花开花落
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copico 发表文章数: 71 |
我觉着数学上是定义域，极限加直觉搅和在一起引起的纠结。一个函数在某点无意义，有两种情况，一种是有定义无极限，第二类间断点，这个比较符合直觉。一种是，有极限，无定义，第一类间断点，这种情况结合了直觉好像函数在该点处应该等于极限值，其实可以重新在该点定义任意值，和原定义函数组成新分段函数，新函数在该点不连续。
物理上的纠结可能还是抽象出的数学模型不完全，混乱定义域导致的问题。 一个小球从t=0秒开始运动，在1/2秒时把它染成红色，3/4秒染成蓝色.....当n为奇数时，2^n-1/2^n秒把它染成红色，n为偶数时染成蓝色，问一秒时小球什么颜色？答案是无意义，1秒不在定义域内。一个小球从t=0秒开始运动，1/2秒时吧它的一半染上蓝色，3/4秒时把它的3/4染上蓝色....t=2^n-1/2^n时把2^n-1/2^n比例的小球染成蓝色.问一秒时小球有多少比例为蓝色？这样明确定义的话，小球染色函数在1秒无定义，无意义，不能再按直觉理解，小球以前染的颜色还在，总有个值，只不过到底是什么值不知道，本来这样染色函数就只能在数学里定义存在，物理上根本就不能实现这样的染色操作。帖子里几个情况大概都可以这样分析，比如说一楼的条件根据动力学过程应该抽象成2^n-1/2^n秒时处在2^n-1/2^n处的小球开始运动，这样1秒不在定义域里，此处小球状态无定义，同时考虑有限状态下成立的物理规律和无穷多个小球这种不可能的物理状态就会导致矛盾。站长的问题也能这样分析，那一列小球在右测没有边界没有最右侧，这里的设置导致小球的状态依赖和最右侧小球发生的
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copico 发表文章数: 71 |
刚才网络又抽风了，不能访问，用代理可以打开不能登录，就是说小球的状态依赖和最右侧小球发生的碰撞，因此无定义。现实中物理上这样没有边界的小球列不存在，所以发生不合理符合直觉的事情。
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卢昌海 |
copico网友的贴子似乎没写完或发贴过程中数据链中断了？最后两个字符变成了乱码。不过看得到的部分与我的解释是一致的，比如那个染色悖论可视为炸弹悖论的变种，解释也与拙作＂芝诺悖论浅析＂相同，即认为所问为定义域之外的状态，因而无意义。
写到这里，忽然想起股民常说的有一句话，叫做＂股市有风险，入市要谨慎＂，我觉得讨论也一样，是＂讨论费时间，参与要谨慎＂，这次的讨论我憋了好几天没参与，但自昨天参与以来，虽声称＂可能一时不会有时间思考＂，实际上还是把其它东西搁在一旁，费了不少时间发贴，可谓是＂人在江湖，身不由己＂了。:-) 不过接下去还是得收一下心，我将只回复我觉得对我的解释形成有效反驳，使我感觉到有必要进一步阐述、修正、甚至放弃自己解释的贴子，以节省时间。若干天后，如果我发现自己的解释还能保持自圆其说，我将把我的观点整理成一篇比较系统的文章，放在主页上供网友们参考。 宠辱不惊，看庭前花开花落
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卢昌海 |
汗，发贴慢了一点，原来copico网友的贴子已经补全了，补上的部分与我的解释也是一致的，即认为我那悖论中的碰撞是无定义的。很欣慰。:-)
宠辱不惊，看庭前花开花落
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
还是昌海兄的解释让我信服
还有一点不明白，认为原来的撞球悖论中 t=1 无意义的理由是什么
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copico 发表文章数: 71 |
好像是网站服务器出问题了？打开网页得刷新n次才能顺利打开一次。我也是从进入讨论陷进去开始纠结，我就是看到站长对芝诺悖论的分析想到从定义域考虑的，属剽窃不排除copico网友乃站长代笔~
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卢昌海 |
谢谢快刀兄，希望对最后一个问题的回答不要让我＂晚节不保＂:-)
之所以认为原来的撞球悖论中t=1无意义，是因为如前所述，速度矢量在该点没有极限。事实上，在所有这些问题中，t=1都具有一定的表观奇异性，这种表观奇异性或是体现在问题的安排上（即对小球分布的规定），或是体现在分析方法上（即着眼于穿越那无穷逼近x=1的无数个点）。它们中究竟哪些是真正的奇点，关键就看问题能否被延拓出去，而判断这一点的重要方法，就是看所关心的东西（对我们来说是速度矢量和位置矢量）在该点是否有极限，如果有，则只要将有关量在该点的数值定义为该极限，就可以延拓出去（这种奇点被称为可去奇点），穿越版和芝诺悖论都是这种情形，而原来的撞球悖论则不是这种情形，因此那奇点是真正的奇点，问题在该点无意义。 宠辱不惊，看庭前花开花落
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UUU 发表文章数: 69 |
既然昌海兄认为我的砖没有拍下去，那我就来拍一下。
我对用速度矢量取极限来衔接和延拓定义域有疑义。即便是在最简单的两个等质量质点的弹性碰撞模型里，速度矢量在碰撞的那一刻就是不连续的。前一个小球的速度瞬间变为零，而后一个被撞小球由静止瞬间开始有速度。真正连续的是运动的轨道。 在快刀兄的模型里，所有小球在1秒时都静止是可以衔接上的。
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卢昌海 |
这块是好砖头，我来解释一下。解的连续衔接确实不是普适的，如果发生了碰撞，速度矢量就可以发生因碰撞而导致的不连续变化（这也是本问题中出现不连续衔接的唯一可能）。不过，在原来的撞球悖论中x=1没有小球，因此在这一点上要想衔接，必须使用连续衔接。
接下来可能会被问到的大概是：如果x=1有一个小球，原则上就有可能发生碰撞，连续衔接条件是不是可以放弃了？是的，这种情形下可以有非连续衔接。但这里也有一个限制，那就是非连续衔接是因为碰撞，因此必须能指出是哪两个小球发生了碰撞，或者说能指出是速度矢量的哪个分量发生了变化，如果这个也做不到，非连续衔接就也不成立，问题依然不能延拓到t=1。原来的撞球悖论中x=1有小球时就是这种情形，因此无论有没有小球，都不能延拓。 我知道UUU网友曾经表述过一个观点，那就是可以出现有碰撞但无法指明碰撞客体的情形，这个观点是我不认同，并且不认为是有效反驳的。在这点上如果彼此坚持，我们可以各存己见。 宠辱不惊，看庭前花开花落
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UUU 发表文章数: 69 |
昌海兄的意思我明白了。你使用的就是牛顿定律，没有外力（碰撞）的情况下，速度矢量不变，能量守恒在定义域范围内依然成立。
另外，你说的碰撞的异议大家可以保留己见。这其实没有争议，只是数学定义的延伸是否合理而已,因为原来的模型本来就不是物理现实. 最后，如果在[0，1]闭区间上放满质量m的质点，右侧过来的小球到了位置1以后会被弹回去,这个应该没有问题吧. 现在只留下[0,1]区间的有理数点上还有质点,那么问题在时刻1以后还有意义吗?如果进一步变成只留下1/2,3/4,7/8,...,和1这些点,就回到类似昌海兄的模型了. 所以我觉得本质上来说,昌海兄也是否认了原来的模型在1点处有任何意义.
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卢昌海 |
:: 如果在[0，1]闭区间上放满质量m的质点，右侧过来的小球到了位置1以后会被弹回去,这个应该没有问题吧
是的，这个没有问题，因为在这种情形下可以指出碰撞客体。这里唯一可能出现歧义的是x=1的质点的碰撞性质尚未指定（因为是整个区间放满质点，按刚体还是独立质点处理需要指定），一旦指定，问题就无歧义了。 宠辱不惊，看庭前花开花落
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卢昌海 |
我刚才的回答可能误解了你的问题，我说的没问题是指确定右边质点是否弹回去没问题，但左边那无穷多个点的运动仍然是一个不确定问题（除非当刚体处理）。
宠辱不惊，看庭前花开花落
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UUU 发表文章数: 69 |
碰撞太多了头是会疼得.
简言之,你在使用解的连续衔接时,本质上就是恪守了能量守恒律(或牛顿定律).所以t=1时能量也是守恒的,但任何一个状态都不会保持能量守恒,所以是奇点.证毕.
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卢昌海 |
:: t=1时能量也是守恒的,但任何一个状态都不会保持能量守恒,所以是奇点.证毕.
并非如此，比如拿原始悖论中x=1点有小球的情形来说，要保持能量守恒并不难，只要假定t=1时该小球以v=1运动即可，我用到的是无碰撞时速度不变（这是题意所包含的，当然也可视为能量守恒、动量守恒、牛顿定理等），以及有意义或well-defined的碰撞必须能指明碰撞对象这两条。 宠辱不惊，看庭前花开花落
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UUU 发表文章数: 69 |
你说的没错啦,我提的只是简化版.
具体地说,在你提到的碰撞的意义下,无穷质点系统{1/2,3/4,7/8,...}和质点1之间是不会有有限能量的相互作用的,所以一定是独立的.这样的话,不管有没有质点1,前一个无限质点系统本身一定要能量守恒.
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
我仔细想了想，好像还有问题。
每个小球标有号码1、2、3、……。其他的和原来题目不变。 考虑穿越版。穿越的时候，两个小球交换号码。这时穿越版就和原来的悖论一模一样了。 到了1秒时，原来的小球1会到达b点，小球1的号码已经变成了一个无法确定的号码。但有1个小球会达到b点，应该没问题吧？（它的号码在定义域之外，但位置没在定义域之外） 那么原悖论是不是也应该有小球达到b点？
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卢昌海 |
引进标号或任何其它指标都并不改变问题的性质。穿越版与碰撞版的唯一区分在于是否有碰撞，而碰撞的基本特征在于改变动量，因此判断一个版本是穿越版还是碰撞版，要看动量矢量是否改变。如果动量矢量不变，则无论引进什么样的额外指标，也无论那些指标如何改变，都是穿越版；如果动量矢量改变了，则是碰撞版。
宠辱不惊，看庭前花开花落
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UUU 发表文章数: 69 |
快刀兄的穿越版中一直在运动能够延拓到1点的是动能运动的轨道。而昌海兄提到的一个基本原理是能量一定要由质点携带，不能独立于质点。所以他们在位置1处分道扬镳。
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UUU 发表文章数: 69 |
快刀兄的问题还可以这样解读：如果所有粒子都是全同的，它们相遇时没有区分是穿越还是碰撞。这种情况下，我认为它可以到达1点并继续前进。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
我的疑问是这样的。
如果表示速度的每个分量v_n中的n表示的是小球的号码，那么穿越版和碰撞版就没有区别，它的动量矢量也会改变。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
补充：
用n表示小球的号码，得到另一个速度矢量v，这个速度矢量在1秒时也没有极限。但为什么有1个小球可到达b点。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
::如果所有粒子都是全同的，它们相遇时没有区分是穿越还是碰撞。这种情况下，我认为它可以到达1点并继续前进。
UUU兄，为什么这种区分会产生实质性的差异呢？困惑
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卢昌海 |
抱歉，不是很明白两位最后几个帖子的意思。速度矢量（前面写成动量矢量了，但对本问题来说是一回事）的编号是跟随小球本身而不是它的某个可以换给其它小球的指标的。我也看不出这个问题中为什么（以及如何）引进量子意义下的全同性。
宠辱不惊，看庭前花开花落
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
意思是说，如果穿越的时候交换号码，就无法区分碰撞还是交换
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