Goodstein在1944年的一篇发表于《符号逻辑》的论文中证明了现在称为Goodstein定理的结论。

Goodstein定理：任意Goodstein序列，都必定在有限个步骤之后终止于数字0.

Wikipedia上有一个简短的证明，转换为论文格式应该不超过1页。

我们先定义Goodstein序列。

举个例子。

设序列中的第1个元素为数字3.

数字3在2进制中表示为11，即1*2+1=3，现在，将11当做3进制数字，即1*3+1=4，将这个数字减1，得到3，这个数字3为序列中的第2个元素；

接下来，序列的第2个元素，即3，其3进制表示为10，即1*3+0=3，然后将10看做4进制数字，即4，将这个数字减1，得到3，这个数字3为序列的第3个元素；

再接下来，序列的第3个元素，其4进制表示为3，将之减1，得到2，这是序列的第4个元素。

一般地，设序列的第k项为n_k，若n_k=0，则序列终止；若n_k不为0，那么第（k+1）项可如下得到，将n_k按照k进制展开，然后将这个数看作(k+1)进制的数字，再减去1，所得数字即为第(k+1)项。

例如：第5项为16，则16=3*5+1，于是16的5进制表示为31，将31看作6进制数字，即3*6+1=19，减去1，得到19-1=18，于是18就是第6项。

我们称按照上述方式构造的序列为Goodstein序列。

一般来说，Goodstein序列先是极其快速地增加，达到某个最大值，然后接下来的若干项保持不变，最后阶段每次减少1，并在若干步骤之后递减为0.

比如，若第1项为4，则最大值为3*2^402653210-1，此时为3*2^402653209进位制。

Goodstein, R. (1944), "On the restricted ordinal theorem", Journal of Symbolic Logic 9: 33–41

这个非常有意思。赞！

补充完整。

Goodstein定理：Goodstein序列必定在有限多个步骤后终止。

这个定理由Reuben Goodstein于1944年证明，论文发表于《符号逻辑》，我们强调一下，这是一个被证明了的数学定理。

到了1982年，Kirby 和 Paris证明了Goodstein定理是一个 Godel 命题，即这个定理在Godel证明的意义下是无法证明的，确切地说这个定理在Peano算术体系下是不可证明(unprovable)的。

Godel刚刚证明不完备定理时，有人反对，理由是Godel构造的例子不是自然的数学定理，这当然是一个脑残的理由。无论如何，现在这个Goodstein定理就是一个完全初等而且自然的数学定理，但不可证明。

这个例子也蕴含这样一个结论：即Godel不完备定理中的“证明”与我们通常的数学证明并不相同，有差别，要弱得多。

有些人解读Godel不完备定理时是这样说的：Godel不完备定理表明存在一些正确的但是又不可证明的真理。真理而又不可证明，这样的真理既然无法证明，那么它们又是如何成为真的呢？于是这些人就进一步推论：人们只有依靠直觉才能掌握这些定理。因为人们无法解释什么是直觉，于是这些人马上就走到了数学甚至科学的对立面，成为一个神秘主义者，。当然其中的很多人本来就是从数学的对立面看过来的，当他们看到一个东西很像他们想看到的，于是他们马上欣喜若狂地缩头退回到本来的阵营，这样，对于Godel不完备定理的解释不过是暴露了他们的本来面目而已。

对于Godel不完备定理，有着各种各样的引申和貌似充满哲理的解释。一想到这个Goodstein定理，我就不禁哑然失笑，这些所谓的哲学看上去高深莫测，说这些话的人甚至自己也不知道自己到底要说什么，因而只能含混其词，其实纯属无稽之谈。

参考：

Goodstein, R. (1944), "On the restricted ordinal theorem", Journal of Symbolic Logic 9: 33–41, JSTOR 2268019

http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein_theorem

http://exp618.com/archives/553/comment-page-1