我猜凡是看了昌海的黎曼假设系列文章的都在心中树立了黎曼伟光正的形象。其实，大师也有失手之时。

数学分析历史上一个著名的例子是Weierstrass的连续但是处处不可导的函数。其实，黎曼更早一些时候也提出了这样一个例子，$$\sum_n\frac{\sin(\pi n^2t)}{n^2}$$,黎曼猜测这个函数是连续且处处不可导的。但是黎曼没能证明后一论点，Weierstrass对他的例子给出了证明。黎曼的函数很难证明其不可导这一点。事实上，直到1969年，哥伦比亚大学的Gerver才证明了，上述黎曼函数在$$\frac{2n+1}{2m+1}\pi$$可导，其中m,n为整数，而且只在这些点可导。因而黎曼一开始的猜测是错误的。Weierstrass正是因为证明黎曼的猜测未果而构造了自己的例子。

Good example！其实黎曼即便在黎曼猜想那篇论文中也是有漏洞的，我在第五节中提到过。

学习分析的人都会对Weierstrass的连续且处处不可导的函数感到吃惊甚至震惊，并且会想到，Weierstrass怎么会想到要构造这样一个奇怪的、没有什么用处（似乎只能用来说明连续且处处不可导函数的存在性）、让人感到不舒服的例子呢？

19世纪早期，数学家普遍相信连续函数是可导的，比如Ampere甚至从1806年起就计划要证明这个“命题”。然而，1872年，Weierstrass给出了一个连续且处处不可导的函数，从而证明了这个猜测是错误的。直到现在都有很多人误认为Weierstrass是第一个给出这种例子的数学家。

最早的为人们所知的例子是捷克数学家Bolzano在1830年给出的，但是直到接近1922年才被人们发现并于1922年这一结果才得以发表。1860年左右，瑞士数学家Cellerier独立地给出了一个例子，但是直到1890年Cellerier去世之后才发表。这两个例子为人所知都晚于Weierstrass的例子。

我们看到，Weierstrass并不是独自凭空构造出来一个连续但处处不可导的函数，而是有着历史的根源，而且也不是他一个人在做这样的探索。

可导点的解是不是有笔误？直觉应该没有\pi

fubo兄引用Riemann的函数中多了一个Pi。另外Riemann还有一个失误：用Dirichlet原理去证明Riemann映射定理。这个问题也和Weierstrass相关。

BTW，据说Riemann只在一次演讲中提到过那个函数，而且对此事的记叙只见于Weierstrass的文章这一孤证，其它文献皆为转述。关于Riemann是否很肯定地强调过该函数处处不可导有些研究者尚有疑惑，Gerver在文章中也只是说 "Riemann is reported to have stated ..."。

看到http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html，似乎Kronecker也提到过Riemann的函数。

谢谢DeangL，的确多写了一个\(\pi\)，去掉后面那个\(\pi\)可能更好点。

多谢rainbow.

我提到的Weierstrass的文章是孤证的说法出自下面这篇文章的第19页：

http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320/LTU-EX-03320-SE.pdf

有意思的是，rainbow兄提供的http://mathworld.wolfram.com的词条虽然提到了Kronecker，但其所宣称的Riemann的说法却被表述成了 “the function f(x) is not differentiable on a set dense in the reals”，而非处处不可导。看来没有文字记录的东西真是容易众说纷纭。