最近答应替《南方周末》写一篇有关 ABC 猜想的浅谈， 在查阅资料的过程中我注意到这一猜想有两种主要的表述形式。 如果用 sqp(X) 表示 square-free part of X (即正整数 X 的所有不同素因子的乘积)， 则两种表述分别为 (A、 B、 C 皆为正整数， 且 A、 B 互素， A+B=C)：
表述一： 对任意给定的 n>1， 只有有限多组 (A, B, C) 满足 sqp(ABC)^n < C。
表述二： 对任意给定的 n>1， sqp(ABC)^n/C 的下界大于零。
似乎比较科普的介绍采用的是表述一 (我也打算采用)， 比较专业的介绍则采用表述二。 不过我没见到任何资料同时提到这两种表述 (当然更没见到有关两者等价的证明)， 也未能直接看出两者的等价性 (我只看出表述一可以推出表述二， 但反过来似乎并不显而易见)， 不知哪位茶友见过有关两者等价的证明 (或那证明其实是显而易见的只是我没看出)？ 虽然表述一被包括 wikipedia 在内的很多资料引用， 但没有一个是专业资料， 因此若没有证明， 终究还是不太放心。
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卢昌海  |
 宠辱不惊，看庭前花开花落
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tan9p  发表文章数: 24 |
没找到现成的证明，我这样想：
如果存在无穷组A，B，使 sqp(AB(A+B))^n / (A+B) < 1，不论A，B的素因子个数是否有限，都可以乘 X = (q_max或q^{k_max})使 sqp(XAXBX(A+B))^n / X(A+B) 减小，X可以任意大，商可以无限趋于0. 一蓑烟雨任平生。
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卢昌海 |
谢谢 tan9p 网友。 不过乘以 X 之后的 triplet： (XA, XB, XC) 不再满足互素的条件， 因此即便商趋近零也不与表述二相矛盾。 另外， 这一推理与 “存在无穷组 A，B” 这一前提似乎也并无关系。
宠辱不惊，看庭前花开花落
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arrow 发表文章数: 3 |
个人认为这个等价不是在n相同的情况下证明的。
注意到结论是随着n减小而加强的，用对n的表述2证明n'>n的表述1会比较容易。 以下用反证法，由n'表述1不成立证明n<n'的表述2不成立。 反设对n'有无穷多组(A,B,C)满足sqp(ABC)^n'<C, 对这些(A,B,C): 若sqp(ABC)^n'/C没有正下界, 则对n<n', sqp(ABC)^n/C也没有正下界. 而若sqp(ABC)^n'/C有正下界, 取C趋于无穷的子列, 有sqp(ABC)同样趋于无穷. 则n<n'时有sqp(ABC)^n/C < sqp(ABC)^(n-n')趋于0, sqp(ABC)^n/C没有正下界. 逻辑上没办法否定n相同时的等价性，但是也许会很难。 估计一般所指的等价性证明就是上面这样的。
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rainbow  发表文章数: 172 |
设K<sqp(ABC)^(1+e)/C<1的三元自然数组(A，B，C）有无穷多组。
那么满足 K*sqp(ABC)^(-e/2)<sqp(ABC)^(1+e/2)/C<1/sqp(ABC)^(-e/2) 的三元自然数组(A，B，C）有无穷多组. 用一下 http://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture#Theoretical_results 的结论，知道C趋于无穷大时sqp(ABC)也趋于无穷，所以n=1+e/2时sqp(ABC)^(n)/C下界为0，矛盾！
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rainbow 发表文章数: 172 |
上面写错一处，应为1*sqp(ABC)^(-e/2)
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卢昌海 |
谢谢rainbow兄，现在放心了。:-)
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Silent_Ocean 发表文章数: 6 |
The condition that ε > 0 is necessary for the truth of the conjecture, as there exist infinitely many triples a, b, c with rad(abc) < c. For instance, such a triple may be taken as
a = 1 b = 26n − 1 c = 26n As a and c together contribute only a factor of two to the radical, while b is divisible by 9, rad(abc) < 2c/3 for these examples. By replacing the exponent 6n by other exponents forcing b to have larger square factors, the ratio between the radical and c may be made arbitrarily small. Specifically, replacing 6n by p(p-1)n for an arbitrary prime p will make b divisible by p2, because 2p(p-1) ≡ 1 (mod p2) and 2p(p-1) - 1 will be a factor of b. ===> isn't infinitely triples of ABC?
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Silent_Ocean 发表文章数: 6 |
以上从WIKI上看到的, 说 ε > 0很必要... 可只要足够小, 这样的ABC组合不是无限吗? .... 可能我看错了...?
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arrow 发表文章数: 3 |
注意ε〉0是任意"给定"的。
虽然ε趋于0时，解的数目也趋于无穷，但对取定的ε〉0，解仍是有限的。 另外刚注意到square free part和radical应该是不一样的，例如sqp(18)=2但rad(18)=6。 所有不同素因子的乘积这一表述没问题，记号还是改用rad()为好。
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卢昌海 |
square free part指的是素数分解中不含任何平方的部分，其中“不含任何平方的部分”不是说把含平方的部分（比如18中的9）彻底丢掉，而是说只保留其中的非平方部分（比如9中的3）。因此sqp(18)=6，与rad一样。
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Silent_Ocean 发表文章数: 6 |
多谢 arrow的点拨... 如同看老式的电视, 经你的微调, 画面立刻清晰明亮, 为未有过的透彻..
偶本布衣, 躬耕田亩, 愚钝见笑于大方了..
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往事如昨  发表文章数: 439 |
越是高手越谦虚
科学是理性的
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arrow 发表文章数: 3 |
Silent_Ocean 太客气了。
个人浅见，共同探讨吧。 关于square free part的问题，我还是和站长持不同意见。 个人理解，radical与交换代数中的radical ideal（根理想）起源相同。 rad(n)是若干次方后可以成为n的倍数的最小的正整数。 在整数环中，n生成的理想的根理想就是rad(n)生成的理想。 square free part是除去平方因子后的剩余部分，是与square part一起出现在n=sqp(n)*m^2这样一个分解式当中的。 一般用于和平方有关的场合，对两部分分别处理。 比如考虑sqrt(n)生成的数域，实际上就是sqrt(sqp(n))生成的。 话说回来，这只是一个定义方式或习惯的问题。 rad(n)能描述为n的square free的最大因子，定义sqp=rad也不是完全不合理，事实上也能查到这样使用的例子。 但是与其引入重复的概念，不如定义一个上面所述的square free part另作他用。 以下几处网页是支持我所用的定义的： http://mathworld.wolfram.com/SquarefreePart.html http://oeis.org/A007913 http://www.sagemath.org/doc/reference/sage/misc/functional.html#sage.misc.functional.squarefree_part 其实我第一次就是从Sage接触到这个概念的，也不知是不是主流用法。 虽然有点吹毛求疵，但是仍然建议站长用比较没有争议的radical概念。
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卢昌海 |
谢谢 arrow 网友的讨论。 我文章中其实并不用到 sqp 或 rad（因为是给报纸写稿， 这些数学符号都是读者杀手）， 不过本站版本的注释中会提到。 我对 sqp 的用法是参照数论学家 D. Goldfeld 的 Beyond the Last Theorem 一文（http://www.ega-math.narod.ru/Liv/Goldfeld.htm）， 是否是主流用法我也没把握。 我之所以采用 spq 而不是 rad 其实更多的是考虑到 rad 的中文（事实上，我甚至不知道 rad 用在此处的标准中译名是什么？ 根？）不像 spq 那样一听就知道是什么含义（我怀疑 Goldfeld 采用 sqp 有可能也是出于类似考虑， 因为 rad 是一个比较专门的名词， 用在科普中似乎太沉重）。
BTW， sage 是老客栈的 sage 兄吗？ 他怎么会讲起 sqp 或 rad 来（just curious）？ 宠辱不惊，看庭前花开花落
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rainbow 发表文章数: 172 |
Here SAGE is a free open-source mathematics software system licensed under the GPL.
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一醉 发表文章数: 57 |
我感觉arrow兄的见解比较好，sqf(n)应该是sqrt(n)不能被开成整数而保留在根号下的部分。
建议昌海兄还是用rad的概念吧，翻译成“基”就行吧，只是不知道整数的“基”是不是早被别的涵义占用了。
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卢昌海 |
谢谢两位，我会采取某种折中写法。发表稿——如上所述——将不包含这一细节。本站版本中的注释待发布后咱们可针对具体措辞继续讨论。
宠辱不惊，看庭前花开花落
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icar997 发表文章数: 2 |
Question: what is sqp(2*3*3*3*3) and sqp(2*3*3*3*3*3)?
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一醉 发表文章数: 57 |
本贴中有两种定义：
（1）卢兄:spf(2*3*3*3*3)=spf(2*3*3*3*3*3)=6 （2）arrow兄: rad(2*3*3*3*3)=rad(2*3*3*3*3*3)=6 spf(2*3*3*3*3)=2 spf(2*3*3*3*3*3)=6
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一醉 发表文章数: 57 |
这个不能修改编辑啊。
我怎么都打成spf了。。
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卢昌海 |
预告：有关ABC猜想的文章将于明天发布（若无意外，《南方周末》也将同步发布）。
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