希腊人将几何公理化了，却没有将算术公理化，对比起来，显得有些奇怪，因为通常我们认为几何比算术要难一些。
我这里指的算术就是最简单的正整数的加法、减法（只考虑大数减小数）、乘法，不是一般的代数。
问题：为什么古希腊数学家没有将算术公理化？
我个人觉得这是个有意思的问题。
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lifubo  发表文章数: 522 |
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卢昌海  |
是不是因为早期算术中对证明的需要不强（没有太多、太复杂的命题被证明）？
 宠辱不惊，看庭前花开花落
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禀音  发表文章数: 1 |
按我对你话题的理解。 算术数学中应该也是有公理的，在表述上我们把公理这个概念偏执或者下意识地给了几何。三段论和欧几里得的《几何原理》是其滥觞。按照公理的内涵来看，指无需证明的假定的真实。那么，算术里的1+1=2是不是也应该是“公理”呢？哲学的建构从对世界的基本看法为基础进行推演，算术的道理大约一致。包括形式的公理化都是以高度抽象为基点。那么广义的公理化也就可以说成有原点进而建构的方法，系统的严密性是自明的。也许诸如正负相加为零、导数等等概念都是算术的公理呢。为未可知，说错了，贻笑大方。不要见笑。
贫贱忧戚，庸玉汝于成。
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zhangqq  发表文章数: 549 |
有意思的問題。真沒想到過。
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UUU  发表文章数: 69 |
正因为那时几何比算术难，结构也很丰富，所以才需要公理化来看清楚他的结构。
而那时所知道的算术结构是唯一的，只有有理数，更没有抽象代数，也没有什么需要证明。
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lifubo 发表文章数: 522 |
基本上同意上面几位的看法，也就是说太简单了人们可能反而不能加以注意。一个类似的例子。
复数，根号-1，是x^1+1=0的根。引入复数正是因为这样的方程在实数范围内无解。 但是历史上，卡丹诺引入复数并不是为了解一元二次方程，而是为了解更加复杂的一元三次方程。 原因大约是类似的，一元二次方程按照各种情形进行分类，每个系数的符号以及判别式的符号，也不是太复杂太多。注意，在当时的欧洲，负数还不是一个被普遍接受的概念。 而到了一元三次方程，这个分类就过于复杂。我想这导致了当时的数学家宁愿转而考虑当时看来无意义的负数开平方根。接受根号-1比一元三次方程的全部分类要简单得多。 将上述说法一般化，我们看到，最终就归结为奥卡姆原则（稍微有点变化）：简单而易于使用的最终将占据上风。
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rainbow 发表文章数: 172 |
印象中一元三次方程求解引入复数是解决这样一个问题：若方程的判别式小于零，那么在一元三次方程求根公式必定会出现复数，然而有些方程有着明显的实根。一元二次方程就没有这个问题。
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