经《数学文化》惠允，刚刚将该刊最近一期扶磊先生对拙作的书评转到了本站：

卢昌海《黎曼猜想漫谈》书评

这篇书评令我高兴的是肯定了关于Weil猜想的介绍部分。以前豆瓣上曾有书评表示“系列的最后几篇是在多年中断后补充完成的，主要介绍数域上的Dedekind Zeta和有限域上代数簇的Weil conjecture。诚实地说，我认为这部分内容和之前的讨论水准有明显的落差”。虽然读者的观感无所谓正误，但从我个人的写作角度讲，其实是最后几篇最费心力，而且独特性也高于前面部分。因为前面部分的参考资料众多，所涉领域（分析）也是我相对熟悉的，我主要做的是选材、通俗化及规划叙述顺序等工作；而后面部分——尤其是Weil猜想部分——则参考资料相对较少，所涉领域（代数几何）又是我不熟悉的，因此着实费了一番心思去了解。另外一个我费了很大心力的是关于“豪华版”Riemann猜想所涉及的代数概念的介绍，就我个人的阅读范围来说，该介绍的逻辑结构及例子安排都不是来自现成资料，而是我自己设计的，这部分曾得到网友留言及王元先生序言的肯定，也是令我高兴的。

这篇书评末尾提到的自守 L 函数的解析延拓及函数方程已被证明一事我正在试图核对资料。我当初写这句话依稀记得是依据某篇打印出来的资料上的叙述，但那篇资料暂未找着，wiki上的介绍则似乎对“证明”一事尚留余地，比如：

“Automorphic L-functions should have the following properties (which have been proved in some cases but are still conjectural in other cases)”

“The L-function is expected to have an analytic continuation as a meromorphic function of all complex s, and satisfy a functional equation”

“The Langlands functoriality conjectures imply that all automorphic L-functions are equal to L-functions of general linear groups, so this would prove the analytic continuation and functional equation for them.”

等似乎都表明自守 L 函数的解析延拓及函数方程并非已完全、无条件地被证明。当然，wiki并非总是可靠，我暂未找到的那篇资料则有可能陈旧了。如果哪位茶友有这方面的可靠资料欢迎提供。若确系漏洞，我将在网站上做订正，并待未来重印等机会（如果有的话）订正书本。

http://www.claymath.org/cw/arthur/pdf/automorphic-L.pdf


(1991年)提到两种自守L-函数。其一（Standard Automorphic L-function）解析延拓及函数方程已被无条件证明，另一种则未被完全证明。

谢谢rainbow兄，回家后当阅读该文。看来倘若"大黎曼猜想"中的自守L-函数只是指Standard Automorphic L-function，则我34节末尾的那句话确系漏洞，该删去。否则则可保留（或许可添一注释说明之）。

"如果他写本量子物理就更好了。"

"如果他写本量子物理就更好了。"

其实我们大家对斑竹都有非常多期待，就是不好意思提出。
哈哈。 借人家的口说，就没问题了。

我小时（一岁）在火车上看见人吃包子，很馋，又不好意思，只好拿奶奶的手去取，
人家哈哈大笑，给我一个，然后我拿自己的香蕉送还人家，表示感谢。

一般人不太可能记得自己一岁时的事，这个应该是听大人转述的

微博上有网友引述P.Sarnak的“Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis (2004)”说“大黎曼猜想应该指的是一般线性群上的标准自守L-函数”，将之与rainbow兄提到的结果结合起来，大体表明了我34节末尾的那句话可删去。不过其它一些资料，比如wiki的“Grand Riemann hypothesis”词条指的却是“all automorphic L-functions”而非特殊automorphic L-functions。P.Borwein等人的《The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike》则先是提到Grand Riemann hypothesis针对standard L-function，但正式表述时（p60）却又采用了“any automorphic L-functions”的提法。

另外我也好奇，假如Grand Riemann hypothesis是针对standard automorphic L-function而非普遍，那是因为有迹象甚至有证据表明普遍automorphic L-function的非平凡零点分布不满足Grand Riemann hypothesis吗？这些方面资料非常少，也很难啃，暂时没时间去细查。在有重印等机会之前可能就先不动网络版了。需要动的时候如果还没搞清楚，就删去那句可有可无的“事实上，别说是大Riemann猜想，有关自守L函数的许多简单得多的性质，比如它的解析延拓及函数方程等，也都还是未被普遍证明的东西。”以求稳妥吧。

-- 一般人不太可能记得自己一岁时的事，这个应该是听大人转述的

确实是我奶奶说的，我的叙述可能看起来象我在吹牛，需要订正一下，严谨些。

我最早能记得的事大约是四周岁时一脚踩在钉耙上，一根尖刺从脚心穿入，脚背穿出。近几年问母亲，反倒是她已经不记得了

自守L-函数的定义确实艰深晦涩。相比之下，Selberg定义的Selberg类就更明晰一些。

1.理解Selberg类的公理化定义不需要太高深的知识，见

http://en.wikipedia.org/wiki/Selberg_class

2.www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~steuding/monastir.pdf‎

提到：It is widely expected that the Selberg class contains all arithmetically important L-functions, moreover, that it consists of exactly all automorphic L-functions。

2.对Selberg类有Riemann Hypothesis；（特别是上面这篇文章的作者对Grand Riemann Hypothesis的定义是针对于Selberg Class的）

看来Grand Riemann Hypothesis所针对的Automorphic L-function的类型是因文献而异的，其背后的原因会不会是因为各类Automorphic L-function之间存在猜测性的相互关联，使得不同作者采用的类型各不相同（但彼此的等价性——如果存在的话——有赖于那种本身尚属猜想的相互关联）？

另外，前面提到的那位微博网友留了这样一条信息：

“对于一般的自守L-函数应该也有对应的大黎曼猜想，但是其表述和标准自守L-函数的大黎曼猜想有所不同。最主要的区别应该在于其非平凡的零点所在的直线不再是实部为1／2的直线，而是其他的某条直线。这条直线的确定和函数方程有关。”

我则作了以下回复：

“谢谢，我也曾想——纯属胡猜——是否对一般自守L-函数如果也有大黎曼猜想，则会像Weil猜想那样并不仅限于Re(s)=1/2的直线。你提到的这个可否提供一篇文献？”

前面提到的那位微博网友回了这样一条信息，转在这里供参考：

这个问题可能需要小心点，我们需要区分定义L-函数的形式。在 adele group 上定义的自守L-函数，我所知道的其函数方程都是联系 s 和 1－s的，因此黎曼猜想中的直线应该是 1／2. 但是对于经典的模形式，其L－函数的函数方程具有不同的形式。可参考Bump的 ‘automorphic forms and representations’ 中的第一章第五节。

站长猜测的内容（L-函数之间的等价关系）很有可能与传说中的Langlands Program有着密切的联系……

我建议昌海兄看看这两卷会议文集：Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics. Volume XXXIII （two volumes），Ed by Armand Borel and W. Casselman.

谢谢。