本人眼下的一个工作跟广义相对论有些关联，因此这几天在复习一些相关内容。
刚才拿起昌海兄的《从奇点到虫洞》一书，尽管才开看头几页，就已经感觉此书写得特别好。我觉得此书可以作为广义相对论的补充学习材料。有时我们学习一门课，学完后，仍然有所知有所不知，缺乏系统性和全面性的掌握，只有在后来继续不断地学习各类材料，才会逐渐对这门知识有一个全局观。对我而言，我觉得昌海兄的书很长知识，有利于把过去一些零碎的知识相互联系起来。
直接求解爱因斯坦场方程很困难，我们知道，线性方程的解，可以由一组完备的线性无关的基础解通过线性叠加而成。但爱因斯坦场方程是非线性方程，但同时又是广义协变的。
我不知道是否有人这样研究过：给出爱因斯坦场方程的一个解之后，再对该解进行所有可能的坐标变换，可否由此得到该方程的其他解？这里就涉及到：
1）由于该方程是广义协变的，该方程的一个解经过一般的坐标变换之后，是否得到该方程的另一个解？
2）由该方程的一个解经过坐标变换之后，得到的结果只有以下三种可能：a)与原来的解等价；b)代表该方程的另一个不同的解；c)不再是该方程的解。
——可否通过研究，总结出这三种可能出现的规律，从而了解方程的所有可能的解（至少知道一些解的物理特性）？
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星空浩淼  发表文章数: 725 |
 我在故我思
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Fantadox  发表文章数: 59 |
坐标变换不改变时空几何，不管怎么变在GR中都是代表同一个解，顶多在直接覆盖的区域上有所差别。一般而言任意一个解都可以在任意坐标系中表示。
GR非线性因此不能由一组基简单通过线性叠加得到所有解。但不知道是否可能利用某种特别的变换（不能仅仅是坐标变换）通过两个解的某种运算操作得到第三个解。 The road to hell is paved with good intentions.
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苏剑林  发表文章数: 11 |
如果可以找到方程的一个对称，就可以把一个解变为另一个解。这也是解微分方程的李对称方法。
比如最简单的常微分方程y'=y，我们知道一个特解y=e^x，我们也可以发现这道微分方程在y→cy下保持不变，c是任意常数，这就是一个对称，于是我们可以把特解做通常的变换： e^x→c*e^x，从而得到通解。 另一方面，我们发现原来的微分方程在x→x+c下也是保持不变的，也是特解做变换e^x→e^(x+c)也得到了通解。 是通过发现李对称把方程的一个解变为另一个解，而不是通过广义协变。协变只是同一个解在不同坐标下的不同形式而已
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苏剑林 发表文章数: 11 |
另外，已知对称性的话，就算不知道任何特解，也可以利用对称性化简甚至求解。例如上一楼方程的任意一个对称性，就可以帮助我们把原来的微分方程解出来，而不用借助原来微分方程的特解。
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星空浩淼 发表文章数: 725 |
谢谢楼上两位！
我昨晚睡觉前在想：有没有办法证明，昌海兄书上的公式(1.1.2)与(1.1.3）所代表的两个解之间，是否可以通过一种坐标变换联系起来（包括类似对偶那样的变换）？ 广义相对论中提到的时空坐标变换，常常满足连续、可微、且雅克比行列式不为零的条件。但实际上，例如，为了消除Schwarzschild度规的坐标奇点，人们引入的坐标变换在坐标奇点处，并不连续可微。 我在故我思
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星空浩淼 发表文章数: 725 |
同一个方程的两个解是否等价，与这两个解所描述的时空流形局部上是否微分同胚，也许是两个概念。
例如，由黎曼时空某一点处的度规张量，总可以通过坐标变换，将它变成Minkowski时空的度规张量——这是由等效原理决定的。引入标架场表述，就是利用了这一点。 反过来，我们总可以从Minkowski时空中某一点处的度规张量出发，通过坐标变换，得到黎曼时空中该点处的任意一个度规张量。 另一方面，当爱因斯坦场方程中的能动张量不为零时，Minkowski时空度规张量不是场方程的一个解。但是，我们却可以Minkowski时空度规张量出发，通过坐标变换，得到场方程的任意一个解。 我在故我思
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星空浩淼 发表文章数: 725 |
我楼上是回复Fantadox兄的
我在故我思
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Fantadox 发表文章数: 59 |
to星空浩淼：
：：同一个方程的两个解是否等价，与这两个解所描述的时空流形局部上是否微分同胚，也许是两个概念。 ———————————————————————————————————————————— 流形的定义就要求局部类似欧氏或闵氏，局部微分同胚这个要求对于流形而言等于没有任何限制。 就算是两个解的内蕴几何处处相同，全局几何性质还有可能，例如平面和柱面。 The road to hell is paved with good intentions.
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星空浩淼 发表文章数: 725 |
在爱因斯坦场方程中，每取定一种能量动量张量，在求得方程的一个解之后，如果能够通过坐标变换（包括共形变换等等在内），完备地找出其他的解那就好了。
如果爱因斯坦场方程的两个解，对应方程中所取的能量动量张量不相同（即对应两个不同的方程的解），那么这两个解可能很难通过某种坐标变换相联系起来。例如昌海兄书里的两个解(1.1.2)和（1.1.3），对应的物质场分布不同，对应不同的能量动量张量 我在故我思
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星空浩淼 发表文章数: 725 |
如果每给定一个能量动量张量，爱因斯坦场方程都只有一个唯一的解，那么对该能量动量张量进行坐标变换所得到的其他能量动量张量，代入方程得到的解，与原来的解也是相差同样的坐标变换。
我在故我思
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苏剑林 发表文章数: 11 |
另一方面，当爱因斯坦场方程中的能动张量不为零时，Minkowski时空度规张量不是场方程的一个解。但是，我们却可以Minkowski时空度规张量出发，通过坐标变换，得到场方程的任意一个解。
不是很理解你这句话。一个几何的内蕴可以用度规来描述，如果度规不同，没办法相互转换的呀。一个球面的第一基本形式，就没有办法通过坐标变换变成平面的第一基本形式了。
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苏剑林 发表文章数: 11 |
在爱因斯坦场方程中，每取定一种能量动量张量，在求得方程的一个解之后，如果能够通过坐标变换（包括共形变换等等在内），完备地找出其他的解那就好了。
就算能量动量张量取定，也未必能够通过坐标变换来转换。两个“面”（可以是高维的）的内蕴是否等价，是用它们的黎曼张量是否相等来确定的。在4维时空中，黎曼张量有4个脚标，而能量动量张量中只有两个脚标，能量动量张量相等，不相当于黎曼张量相等，所以其几何内蕴不一定相同，也就无法转换了。
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苏剑林 发表文章数: 11 |
对于能量动量张量为0的情况，常数解是一个解（g_{uv}都是常数），施瓦兹解也是一个解，两者很明显不能相互转换。
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Fantadox 发表文章数: 59 |
to星空浩淼
：：如果每给定一个能量动量张量，爱因斯坦场方程都只有一个唯一的解，那么对该能量动量张量进行坐标变换所得到的其他能量动量张量，代入方程得到的解，与原来的解也是相差同样的坐标变换。 ———————————————— 仅通过坐标变换就可以相互变换的解在GR里面都作为同一个解。 The road to hell is paved with good intentions.
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暴走迦楼罗  发表文章数: 737 |
星空的事业蒸蒸日上......各种羡慕嫉妒恨
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星空浩淼 发表文章数: 725 |
to苏剑林和Fantadox:
我感觉前面我们说的有点混乱，彼此说的可能不是同一个意思，下面我重新梳理一下（均针对黎曼空间而言） 1）对应同一个能量动量张量，爱因斯坦场方程的确不止一个解。例如，正如苏剑林所说，能量动量张量为零时，平直时空度规和史瓦西度规都是同一个方程的解，而且二者在整体上不等价。 2）一般的度规与平直时空度规之间可以用坐标变换联系起来，因为二者描述的几何局域上等价（等效原理）。不妨回忆一下标架场表述。 3）一般坐标变换，可以用一个坐标对另一个坐标的偏微分来表达，是针对流形上每一点进行定义的，因此坐标变换都是局域表达的，变换公式是坐标的函数，流形上不同点对应的变换不一定相同。 因此，在我看来，通过坐标变换联系起来的两个度规张量，它们描述的几何只是局域上等价（且都与平直时空等价）；而整体上，这两个度规张量不一定等价。因此，如果它们是同一个方程的两个解，不一定代表两个相同的解。从方程的一个解出发，通过坐标变换，也许就得到我原帖中说的三种情形：同一个解；不同解；非解。 我在故我思
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Fantadox 发表文章数: 59 |
to星空浩淼：
第二点不对。等效原理说的是引力和加速度在局部等效，并不能把弯曲时空变平直，你不可能通过坐标变换消除非零曲率。而所谓局部像平直空间这事儿，是流形这个概念的定义，任何几何上不等价的流形局部都类似平直空间。 坐标变换不能消除或创造曲率，局部也不行。 The road to hell is paved with good intentions.
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苏剑林 发表文章数: 11 |
to 星空浩淼：
其实我们说的该是同一个东西，Fantadox的说法很对。局部等效，不能说明存在全局的坐标变换。坐标变换，比如说二维的，是u=u(x,y),v=v(x,y)这样的变换，这样的变换必然是整体的。 事实上，拿三维空间的二维曲面为例，事实上，光滑连续的曲面几乎都局部等效于平面呀，这些曲面显然不能通过坐标变换来转换，不然都只有一种几何了。 您是不是想考虑微分形式的局部变换，比如du=f(x,y)dx之类的变换？经典力学中，有一个变换将平方反比的力问题，转换为胡克定律的力问题，其中用到了一个时间变换，是dτ=f(x)dt这样的变换，参考：http://spaces.ac.cn/index.php/archives/2136/。这样的变换确实也可以考虑，但是它没有办法积分成τ=τ(x,t)的形式，不是我们通常说的坐标变换了
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星空浩淼 发表文章数: 725 |
to 苏剑林:
我前面所说的坐标变换，从一开始就是指微分形式的局部变换，例如dx→du=(δu/δx)dx，δ是偏微分符号（指标符号就省略掉了）。由于编辑数学公式不方便，以至于交流起来比较困难。 to Fantadox: 等效原理存在多种不同角度的等价描述。从微分几何的角度看等效原理,可以按照流形的定义去理解，即流形的局部像平直空间。“引力和加速度在局部等效”是对等效原理的原始描述，也是一种初等的描述，是物理的理解方式。例如，引入标架场表述的前提，就是等效原理。 我在故我思
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星空浩淼 发表文章数: 725 |
上面对Fantadox的回复，再补充一点（由于不能写数学公式，且我们都有一定的基础，因此只是提示性地粗糙说几句）：
曲率涉及二阶导数，而“黎曼流形局部是平的”，只需一阶导数相等即可。 我们知道，若要两个函数恒等，必须是某个各阶导数都相等（例如不妨考虑在同一点处的泰勒级数展开）。两个流形局部曲率相等，至少某个一阶导数和二阶导数均相等 我在故我思
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苏剑林 发表文章数: 11 |
to：星空浩淼
如果变换可以写成dx→du=(δu/δx)dx，那么就不是局部变换，因为可以积分成u=u(x)的形式。下面我的回复指的是一般的局部变换。 还是以球面为例，球面的第一基本形式是 ds^2=du^2+(sin u)^2 dv^2 将其变换成平面的局部变换就是 dx=du dy=sin u dv （或者反过来，这个变换就是把平面变成球面的局部变换） 但是，如果我们的解是球面，那么我们需要求解的就是du^2和dv^2前面的系数1和(sin u)^2。也就是说，局部变换就是解了，就没有从局部变换来求解的说法了。
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星空浩淼 发表文章数: 725 |
to 苏剑林:
我前面说过，我省略了指标符号，我那个表达式包含对重复指标求和（按照Einstein求和约定），你给的例子，可以表达成两项求和的形式。 我在故我思
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