从数学看我们与日本的差距（转载）
美国，法国，英国，日本以及德国是公认的数学大国。日本的数学在20世纪后半叶进步很快，尤其在代数，微分几何，代数几何等领域日本数学家都做出了巨大的贡献。Kobayashi和Nomizu的两卷本Foundations of Differential Geometry是微分几何的经典教材。1960年仅37岁就因病去世的Yamabe是当时几何分析领域的绝对权威。日本数学家Oka在二十世纪三，四十年代解决了一系列多复变函数论的难题，被法国著名数学家H.Cartan誉为super-human task。代数数论中Iwasawa理论就是日本数学家岩泽健吉的杰作，成为后来Wiles证明费马大定理的主要工具之一。
这篇介绍一下日本的数学家。
●日本历史上的著名数学家有
◇日本数学家高木贞治(Takagi Teiji 1875－1960)创立类域论，1927年合作解决Hilbert第9问题。
◇日本数学家永田雅宜(M.Nagata )1958年给出Hilbert第14问题的反例。
◇1927年提出的谷山丰-志村五郎(Taniyama-Shimura)猜想最终导致了费马大定理的完全证明。
●近年来在国际数学家大会上做过一小时报告的日本数学家
◇2002 Nakajima Hiraku (Department of Mathematics, Kyoto University, Japan) 数学物理，群表示论
◇1998 Tetsuji Miwa (RIMS, Kyoto University, Japan):Integrable Systems, Infinite Dimensional Algebras Algebraic Analysis of Solvable Lattice Models
◇1990 Shigffumi Mori
●获得菲尔兹奖的日本数学家有3位
◇小平邦彦(Kodaira Kunihiko 1915-1997)
　　出生日期（获奖时年龄）：１９１５年３月１６日（３９岁）。
　　获奖年度、地点：１９５４年于阿姆斯特丹。
　　获奖前后的工作地点：普林斯顿高等研究所。
　　主要成就：推广了代数几何的一条中心定理——黎曼－罗赫定理；证明了狭义卡勒流形是代数流形，得到了小平邦彦消灭定理。
◇广中平祐(Hironaka Heisuke 1931-- )
　　出生日期（获奖时年龄）：１９３１年４月９日（３９岁）。
　　获奖年度、地点：１９７０年于尼斯。
　　获奖前后的工作地点：哈佛大学。
　　主要成就：完全解决了任何维数的代数簇的奇点解消问题，建立了相应定理，并把这一结果向复流推广，对一般奇点理论作出了贡献。
◇森重文(Shigffumi Mori 1951-- )
　　出生日期（获奖时年龄）：１９５１年２月２３日（３９岁）。
　　获奖年度、地点：１９９０年于京都。
　　获奖前后的工作地点：京都数学科学研究所。
　　主要成就：三维代数族的分类。他建立了一种三维代数簇的分类研究，发现了一些变换，它们正好只存在于至少三维的情形——被称为“ｆｌｉｐ”，从而更新了广中平祐对奇点的研究。
●获得沃尔夫奖的日本数学家有3位
◇小平邦彦(Kodaira Kunihiko 1915.3.15-1997.7.26)
小平邦彦1915年3月15日生于东京，1935年入东京大学数学系学习，在大学期间已经自学当时很时髦的抽象代数学和拓扑学的著作，并且做出这方面的论文，1938年毕业后又到物理系学习，但主要还是自学数学，1941年毕业后在东京文理科大学任助教授和东京大学助教授， 1949年获理学博士学位，他在战时和战后的研究工作是把大数学家外尔（H.Wey1)的黎曼面理论推广到高维，即所谓调和积分理论，这个工作被外尔称赞为“伟大的工作”。外尔邀请他到普林斯顿高等研究院工作，小平于1949年8月赴美，在普林斯顿高等研究院任研究员（1949—1953，1956—1961），并先后在普林斯顿大学（1953—1961）、哈佛大学（1961—1962）、约翰•霍普金斯大学（1962一1965〕。斯坦福大学（1965—1967）任教授，1967年他回到日任东京大学教授，1977年退休任学习院大学教授，1987年退职，1997年7月26日去世。小平邦彦在美期间取得代数几何学上一系列成就，主要是把黎曼•洛赫定理推广到代数曲面，证明狭义凯勒（kahler）流形是代数流形，证明小平消没定理。他同斯潘塞（D.C.Spencer）合作把黎曼的参模理论推广成高维复结构的变形理论，并把代数曲面的分类扩展到复解析曲面的分类，特别证明除直纹面之外极小模型存在，小平维数和极小曲面成为向高维推广的关键。他的变形理论是代数几何学和复解析几何学的重要方向。小平邦彦被认为是日本产生的最伟大的数学家，他是日本学士院院士和美国等科学院的院士，他不仅获得菲尔兹奖，而且获1984／1985年度沃尔夫数学奖。
◇伊藤清(It\\^o, Kiyosi, 1915.9.7--)
日本数学家.生于三重县.1935年到1938年在东京大学数学系学习,1939年到1943年在政府统计局工作.其间研读概率论并发表两篇论文.1943年到1952年在名古屋大学任副教授,1945年获理学博士学位.1952年起在京都大学任教授直到1979年退休.其间他多次去国外访问:普林斯顿大学(1954--1956);斯坦福大学(1961--1964);丹麦Aarhus大学(1966--1969);美国Cornell大学(1969--1975)等.1979年到1985年到学习院大学工作,其后在美国明尼苏达大学数学及其应用研究所工作一年.伊藤清的工作集中于概率论,特别是随机分析领域.早在1944年他率先对Brown运动引进随机积分,从而建立随机微积分或随机分析这个新分支.1951年他引进计算随机微分的伊藤公式,后推广成一般的变元替换公式,这是随机分析的基础定理.同时他定义多重Wiener积分和复多重Wiener积分.伊藤还发展一般Markov过程的随机微分方程理论,他还是最早研究流形上扩散过程的学者之一.由此他得到随机微分的链式法则,以及随机平行移动的观念,这预示1970年随机微分几何学的建立.面对一般的Markov过程的鞅论方向、位势论方向以及其他各种推广,伊藤都进行了一些研究,例如1975年他导出伊藤积分和Stratonovich积分的关系,以及无穷维随机变元情形的推广.他证明对Banach空间值随机变元,独立随机变元和弱收敛与几乎确定收敛等价.他还以此为工具研究无穷维动力系统理论.
伊藤是日本学士院会员(1991),曾获日本学士院赏恩赐赏(1978).因在概率论方面的奠基性工作而获1987年Wolf奖.
◇佐藤幹夫(MIKIO SATO 1928.4.18--)
获得2003年沃尔夫奖
Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, Kyoto,Japan, for his creation of algebraic analysis, including hyperfunction and microfunction theory, holonomic quantum field theory, and a unified theory of soliton equations;

好贴子，让我对日本数学家有个大致的了解。

另外请问那一剑兄，看来你本身应该是学数学专业的，可否给我个建议，让我较快的学好代数学，怎样？
请先列出代数学的各门课程，然后大致给出一些较好的参考书就可以了。

我最近正忙于学《群论》和《高等几何》（《射影几何》），其中好多的内容牵涉到了代数学。可我对代数学几乎一无所知。纳闷。。。

绝对不要动手去学射影几何，毫无意义。追忆老弟，你是师范学校的？
代数学其实有一本老书很不错，就是那个纳粹分子范德瓦尔登的《代数学》。我想你指的是大学程度的代数学吧。

gauge兄，请问为什么不能学习《射影几何》呢？其实根据几何学后来的发展以及klein纲领等，说明了所有的几何学都有可能是《射影几何》的一个子几何，《射影几何》才是最基础的几何呀。

我所说的代数学当然不只是包括大学阶段的，仁兄能将所有的各阶段的内容全部列出来，那小弟实在是太感谢不过了。

射影几何本身很漂亮但是也很简单，但没什么意义。100多年前的老掉牙的东西了，关键是和现代数学可以说没有任何关系。Klein纲领被证明是一个“错误”的纲领，它并没有指明几何学的发展。或者说几何学的发展完全与之无关。在上个世纪的40-60年代，对于Riemann几何的研究，有一个比较重要的对象就是holonomy，即和乐群。E.Cartan,陈省身都曾对这个群有一些期望，他们希望这才是几何中真正的那个群，进而他们都对这个群在几何中的作用寄予厚望，希望它们对Klein的梦想有至关重要的作用。首先这和Klein的纲领中的群已经完全不同。其次，就在50年代，Berger证明了和乐群的分类定理，发现和乐群很少，一般都是最大的那个群O(n).这就否定了Cartan和Chern的希望。因而和乐群不是一个非常重要的几何对象。当然现在人们希望研究特殊的流形，又有一些人开始研究具有特殊的和乐群的几何。特别是和乐群为G2和E8流形的出现甚至对于某些研究弦理论的人也有刺激。总之，这一切都和Klein无关。

谢过仁兄

那请问代数学的分类如何，如果要学习的话应该采取怎样一个步骤？（请将研究生等阶段的情况都列举清楚）

Kobayashi、Yamabe、Oka、Iwasawa虽然没有获得数学的大奖，但是他们工作的分量丝毫不逊色于那些获得大奖的数学家。

不过我们也不要妄自菲薄，至少还有Chern、Hua和Yau这样的人物是中国人。

：：请问为什么不能学习《射影几何》呢？其实根据几何学后来的发展以及klein纲领等，说明了所有的几何学都有可能是《射影几何》的一个子几何，《射影几何》才是最基础的几何呀。
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以下是我写Penrose书评时的话：
“从Clifford丛到复矢量从，没有想到却是以射影空间为后续。射影几何是现代数学中出了名的
鸡肋——食之无味，弃之可惜。经过短暂繁荣后，射影几何早就在一百多年前彻底冷了。正如Mumford所说射影几何是个垃圾袋，只有一个宝石，就是“27条直线”定理。似乎学习这个分支的唯一必要性就是为了掌握代数几何中的一些基本概念，当然远不是全部代数几何的全部概念。虽然我们知道一维复射影直线可以同构与Riemann球以及扩充复平面，但是这里应用到的射影几何知识是很基本的。”

现在我在说说klein纲领，这个纲领实际上是当时几何学的一个总结，它无法包括微分几何和代数几何，只是从很简单的变换群开始讨论问题，因此实际上对几何学的影响只是象征性的，而不是实质性的。

:代数学其实有一本老书很不错，就是那个纳粹分子范德瓦尔登的《代数学》
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现在看还不错吗？

记得念书时占位的书包被偷，其中就有它，因借图书馆的，赔了书款，还交了罚款，因是精装本，记得当时罚自己少吃一周大排。往事悠悠。

“Kobayashi和Nomizu的两卷本Foundations of Differential Geometry是微分几何的经典教材。”不知道这两卷书在网上有没有电子版，谁有的话麻烦传给我，这是真正的经典啊，有一回，不知道在哪里看到一个评论，说这两卷书是世界被引用次数最多的科技书。
最近还得到一本广中平祐(Hironaka Heisuke）的书，专门讲解析空间的，可惜全部是鬼语，烦躁。
小平邦彦(Kodaira Kunihiko 1915.3.15-1997.7.26)，这个人实在是太牛了，佩服得不得了，一个字：强。他的形变理论，在代数几何中威力无比啊，想不到Riemann的Moduli 能够被改造成这样。MIKIO SATO （1928.4.18--)这个人也是很牛的，手头有一本他的书，就叫algebraic analysis，只不过大部分看不懂，实在是太综合了，与我们受的教育有很大的抵触情绪，要是我在大二学数分二的时候就开始学algebraic analysis，可能效果要好一些，真正让我见识了一番数学的的无限多样性啊。

：：小平邦彦(Kodaira Kunihiko 1915.3.15-1997.7.26)，这个人实在是太牛了，佩服得不得了，一个字：强。
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Kodaira被称为“流形严父”

还是德国数学经典啊！

没看过这本书。不过论文后面索引了它。