First incense offered, good luck! 上头香，好兆头─斗胆谈谈对偶吧 .


对偶：我们文明的一个中心概念

By coho

序

暑假也快完了，托亲友之福，在繁星庙观星殿许的愿要兑现了。

不料，邀张贴此文时，发现碰巧赶上观星殿乔迁，这等于我在无意间上了头香。PP会说，你总是憨人憨福。coho有信心学物理数学了！

首先之前，与那些畏惧理科的同学分享一下我的宝贵经验，那就是，靠运气加虔诚也可以拿到理科学位。由此推论，那些不畏惧理科的人，靠运气加虔诚应该可以拿到诺贝尔的理科奖。

（上两段是临时加的。）

首先，请众位专家大师请高抬贵手，coho只是个科学爱好者，欣赏者和崇拜者，虽然自认为进步不断有，但还远远谈不上有修养，本＂文＂只是一个引玉之砖，请各位大师别见笑，否则以后提问都不敢了。这几个星期查了不少网页，凑出这个帖子，主要是要感谢上次有关Penrose书上一个问题的讨论，特别是萍踪大师，星空大师，gage大师和Omni大师的指教，虽然还没有完全搞懂，但真正体会到了数学上的simple就是impossible的意思。

特别鸣谢：感谢表姊YF给我命题，指点和批评，还有Mino, Viki, Dave，HQT，LL，SK，Tony，Vic的帮助。因为你们坚决拒绝当共同作者，本文就献给你们了。

引言

对偶是个麻烦的东西，写此文取标题时，就费了一些周折，一开始用的是 对偶：数学中的一个中心概念 ，接着就意识到下面还会涉及到物理中的对偶，于是改成将其改成 对偶：数学和物理中的一个中心概念 ， 但马上有人提到对偶在化学中也重要，在生物中也重要，在医学、农学、经济学甚至文学中也重要。。。最后，SK说，对偶在生活里的重要性比上面所有的重要性加起来还多。于是就用了现在这个标题。但我想先向各位申明，下面主要讲的主要是数学和物理中的对偶。请LL，还有HQT别嘲笑我挂狗头卖羊肉。其实我这是挂爱因斯坦级别的头像能讲售出Zhang准硕士级别的水平就不错了。

一，正文1，混乱潇洒的意涵

首先，显示一下用词的混乱吧。英文的数学和物理文献里叫得很一致：dual，但意义很广很乱；中文里物理文献里则名字和意义都比较乱：对偶似乎还不如二像性叫得多。更混乱的是，它有时指对立，有时指对称，有时指对等，有时指对比，有时指对抗，等等。其他学科里的对偶的意思更是混乱不堪，除上述意思外，还有如对仗，对恃，等等，刚好反映那些领域的对高度多样性和感性的崇拜，与多数物理数学家的野蛮地追求终极理性形成鲜明的对比。

这种混乱的一个表现是，对偶的意思非常潇洒：

大英百科全书上说：
数学逻辑中的对偶原理是：将一个真命题之某一字词换成另一字词后得到另一个真命题。

哇呀，什么真命天子。这真的有些玄妙！幸亏表姐解说，SZ，一点都不玄啊，这其实就是说：真理换身衣服还是真理。真理剪个新发型还是真理，TT＇ 都是truth。JJ，你总是这样的厉害呀，好崇拜你，难怪阿伯说，你事事成功得令人有点担忧，我就一直担心你成为比居里夫人和Thatcher夫人还要伟大的人的危险性越来越高，这样会弄得我们没办法立志轻松地生活。JJ你这么一说，我就喜欢上对偶这个原本觉得有些古怪的词了，并立志要写一个短文总结一下，顺便还了繁星庙的愿。

大英全书的这个定义比平常数学物理中使用的对偶的意义广泛多了，但我发现物理数学里那些狭窄的对偶反而讨厌极了。主人平易可亲，喽罗趾高气扬。老板斯斯文文，跟班盛气凌人。教授大智若愚，学生空桶乱响(包括coho)。

正经数学书里谈到对偶时说：一个向量空间与其上的线性函数(形式)空间互为对偶，由此可以定义内积。

（猜想表姊一定有好的比喻，但不好意思打扰，也免得又说我进步太慢。）

特别地有，求导算子与微分算子互为对偶：
d/dx_j (dx^i) =δ_j^i

（感谢YR告诉我如何表示上下标和希腊字母）。

又如，张量理论里，算子对偶依逆变还是协变分别有定义：
dual(ω)_i=Σ_j ω^j g_ij
dual(ω)^i=Σ_j ω_j g^ij

Dave说 g叫范规张量，不知对不对。

但是我们也有其他的对偶。

一个例如，一本介绍微分几何的文章上说：边缘算子与外微分算子互为对偶。这也叫对偶就神秘得可怕，完全摸不着头脑，因为根本就看不出什么“变换一些字词还是真理＂或者“其上的线性函数空间 这种关系，更不知道如何/能否定义内积。那么，这里的对偶其确切意思到底是什么呢？

还有，上面那些个对偶之间有关联吗？只能留给当今或后世的大师们解答。

又如，我们还看到说，傅里叶变换里有频率/时间对偶或k向量/长度对偶（波粒二像性为其一特例），这里的物理图像很清晰，但其数学思想就不清楚，好像是矩阵的行列互换。不肯定。混乱。

根本物理学中的电磁对偶，引力磁与引力电对偶，强弱对偶，好像是讲两个东西的一种共生关系，与波粒对偶和时频对偶又似乎很不一样？

整体局部对偶，随机确定对偶，真空物质对偶，运动静止对偶，…这里讲的是互补或者对立？

电荷对偶，最近听说还有波色费米对偶，难道是对称这个词的误用？

本节压轴的问题：既然每个空间都可定义其对偶，我们所处的时空有没有对偶空间呢？如果有，那又是什么？Tony说，the search for the answer to this question might trig an avalanche of Nobel prizes if not an epidemic of schizophrenia. 考虑到他一向喜欢夸张玩恐吓，我猜测他应该是在tease me，开玩笑吧。不过，要申明一下，如果哪个网友今后因此不幸中了诺贝尔还是分裂症，我都放弃相关的权责，鸣谢卢昌海上师就好了。

二，其他的意思

至于自对偶，本人猜想就是自己跟自己对偶，也就是没有对偶的性质吧。

一查数学字典，发现竟然还有叫反自对偶的东西，真讨厌，算了，当作没看见好了。

列举一下其他领域的对偶的例子：

化学中的对偶：酸硷对偶，氧化还原对偶，顺式反式结构对偶，亲水疏水对偶…
生物学中的对偶：DNA硷基对偶，性别对偶，基因对偶
医学中的对偶：病态健康对偶，疾病药物对偶
心理学中的对偶：身心对偶，感知与存在的对偶，主观与客观的对偶，理性感性对偶
经济学中的对偶：供需对偶，本利对偶，产率价格对偶，价格价值对偶
社会学中的对偶：经济政治对偶，阶层对偶，资源人力对偶
Mino说的“最重要的＂对偶：男女对偶。

MM提醒说，现在是点出本文的中心思想的时候了：

（大写，立体，彩色加闪跳） 对偶是我们文明的一个中心概念。

回到大英全书的定义，变换一个真命题的字词还是真命题，这两个命题由此变换互相依从，其命题意义往往以某种互补，因此，极端情形下对偶的意义是：两个互相冲突但又必须共存的性质。
也就是阴阳。原来不过就是易经里的东西！
不过，对自己能独立再发现易经原理还是很高兴的。
好失望，又好自豪。
老祖宗其实很伟大！

写到这，我想顺便自吹一下。几天前一个同学给我亮一本“比较容易的＂Bourbaki数学书，学到了“博而霸奇学派＂这个有意思的新字，也意识到我以前并不知道什么叫无知和弱智。我要自吹的是我最近（独立地）发现老祖宗的学问与法国的Bourbaki数学学派有神似：以最抽象、最节省、最一般的方式表达真理。最重要的是，他们都坚持这一最高原则：

给出具体和细节是媚俗，需要具体和细节是蛮愚。

举例来说，讲富有就好雅，讲存有一千万就很俗；讲貌似天仙就好雅，讲长得像刘亦菲就很俗；讲博学多才就好雅，讲有硕士博士学位证书就俗，讲自己或别人是正教授级高工，正处级讲师，副部长级院士，副教授级博士后就俗不可忍…。
（最后一句送给某某的姑姑RW。她一提职称就总有那么多讨厌恶心的定语。我想她一定会找到一个顶尖（Ace）级加优质（Quality）级的男朋友吧）。

胡乱写了这么多。谢谢拜读。

（待续标题可能是：对偶用于数量经济学─不过可能要好久以后，因为上面很多话我写出来了但并不真的懂，还要努力消化。）

这是一个很好的主题，无论是拿来在物理中讨论还是在数学中讨论，都是很好的话题啊。
也忍不住说两句，coho首先忘记了范畴论中的对偶啊，这是范畴和同调的基本原则：
其次，在算子代数中有很多的对偶定理，看一下线性代数中的对偶空间就知道了，而泛函和算子是无限维的线代，在加一点拓扑的补丁。另外，微分几何中著名的Poincare对偶定理，这是一个很伟大的对偶定理啊，一百多年来还无人能改进。
最后，在代数几何中，也有对偶定理，这个就一言难尽了，等我把Mumford的书看完了再写这个东西。
大家热烈讨论啊。

正经数学书里谈到对偶时说：一个向量空间与其上的线性函数(形式)空间互为对偶，由此可以定义内积。
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内积并不需要这样来定义，把它看作一个函数可能对初学者来说更加好一些，因为更加熟悉一些。



又如，张量理论里，算子对偶依逆变还是协变分别有定义：
dual(ω)_i=Σ_j ω^j g_ij
dual(ω)^i=Σ_j ω_j g^ij

Dave说 g叫范规张量，不知对不对。

但是我们也有其他的对偶。

一个例如，一本介绍微分几何的文章上说：边缘算子与外微分算子互为对偶。这也叫对偶就神秘得可怕，完全摸不着头脑，因为根本就看不出什么“变换一些字词还是真理＂或者“其上的线性函数空间 这种关系，更不知道如何/能否定义内积。那么，这里的对偶其确切意思到底是什么呢？
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其实，对偶，我个人理解，应该与对称这个概念还是有一定区别的，比如有对称和反对称，我想这两个都可以说是一种对偶关系吧。比如homology和cohomology就是一种对偶吧，而不是一种对称，还有，ker f和coker f也应算一种对偶吧。

还有，上面那些个对偶之间有关联吗？只能留给当今或后世的大师们解答。
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肯定有关系拉，而且关系暧昧，这个请萍踪浪迹或者季候风拍一下。

又如，我们还看到说，傅里叶变换里有频率/时间对偶或k向量/长度对偶（波粒二像性为其一特例），这里的物理图像很清晰，但其数学思想就不清楚，好像是矩阵的行列互换。不肯定。混乱。

根本物理学中的电磁对偶，引力磁与引力电对偶，强弱对偶，好像是讲两个东西的一种共生关系，与波粒对偶和时频对偶又似乎很不一样？

整体局部对偶，
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说得是否是代数数论里的Hasse局部——整体原则，这个原则很有用的特别是对有理数域上的一些困难的数论问题很有用。


随机确定对偶，
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这个对偶太艰深了，我一直迷惑中！

真空物质对偶，运动静止对偶，…这里讲的是互补或者对立？

电荷对偶，最近听说还有波色费米对偶，难道是对称这个词的误用？

本节压轴的问题：既然每个空间都可定义其对偶，我们所处的时空有没有对偶空间呢？如果有，那又是什么？Tony说，the search for the answer to this question might trig an avalanche of Nobel prizes if not an epidemic of schizophrenia. 考虑到他一向喜欢夸张玩恐吓，我猜测他应该是在tease me，开玩笑吧。不过，要申明一下，如果哪个网友今后因此不幸中了诺贝尔还是分裂症，我都放弃相关的权责，鸣谢卢昌海上师就好了。

：：边缘算子与外微分算子互为对偶。这也叫对偶就神秘得可怕，完全摸不着头脑，因为根本就看不出什么“变换一些字词还是真理＂或者“其上的线性函数空间 这种关系，更不知道如何/能否定义内积。那么，这里的对偶其确切意思到底是什么呢？
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边缘算子对应了同调，外微分算子对应了de Rahm上同调，它们确实可以建立“内积”，而且与广义Stokes定理可以完美结合。

列举一下其他领域的对偶的例子：

化学中的对偶：酸硷对偶，氧化还原对偶，顺式反式结构对偶，亲水疏水对偶…
生物学中的对偶：DNA硷基对偶，性别对偶，基因对偶
医学中的对偶：病态健康对偶，疾病药物对偶
心理学中的对偶：身心对偶，感知与存在的对偶，主观与客观的对偶，理性感性对偶
经济学中的对偶：供需对偶，本利对偶，产率价格对偶，价格价值对偶
社会学中的对偶：经济政治对偶，阶层对偶，资源人力对偶
Mino说的“最重要的＂对偶：男女对偶。
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I don't think it's a good idea to overuse the term "duality" in other natural sciences outside mathematics and physics. Of course, the term is also used in philosophy, so I think it's OK to have this concept in liberal arts. What you listed here for chemistry, biology, etc. should be described by another term "dichotomy". From a philosophical point of view, you seem to confuse "dichotomy" with "dualism".

查了一下<英汉大词典>，还是用中文解释一下这两个概念的区别：

- dichotomy “一分为二”，在逻辑学和哲学领域可以称为“二分法”。

- dichotomize 将...分成两类，对分

- dualism “两重性”，在哲学领域称为“二元论”。英文例句："a dualism between knowing and being"，译为“认知和存在之间的二元性”；"a policy plagued by dualism", 译为“受两重性干扰的一项政策”。后一个例句说明一个专业术语的外延一旦被延伸到其它领域，其内涵也会有一些变化。在与"policy"有关的语境中，"dualism"和"ambiguity"成了同义词。这也是我反对将"duality"的概念用于数学和物理以外的其它自然科学的原因。理科的概念和文科不同，理科中的定义要精确，严防被混淆。而文科的模棱两可则反而带来趣味，钱钟书先生曾引过一句英文："The power of fusing ideas depends on the power of confusing them"，他将之译为：“融会贯通之终事每发自混淆变乱之始事”。

- duality 一般内涵等同于"dualism"，例如"the duality of truth and fiction"可译为“真实与虚构的两重性”。该词在物理学上特指“二象性”或“对偶性”，因此在物理学上我们不用"dualism"。在数学领域我认为只有“对偶性”的翻译合适，而“二象性”的译法只适合物理学。

- dualize 使具两重性，使二元化，把...看成有双重性。

你在上面举的化学和生物学的例子，基本上都是“二分”而不是“对偶”。物理上的光既是“粒子”又是“波”，这是“对偶性”。而化学上没有既是“酸”又是“碱”的化合物，当然要是细究的话，有“酸性”和“碱性”都很弱的“中性”化合物，这是“二分”或“三分”，和对偶性无关。

“DNA碱基配对”则既不是“二分”，也不是“对偶”。“基因对偶”的概念则是错误的，很多外行人认为等位基因(allele)通常只有两种---“野生型”和“突变型”，但他们忘记了托尔斯泰的名言“不幸的家庭各有各的不幸”，呵呵。只有在只研究一种突变基因的前提下，这种dichotomy才有意义，例如遗传学创始人Mendel的研究。而duality在这里连边都沾不上。而“疾病药物对偶”更是无从说起。

duality显然比dichotomy要有趣的多，“对偶性”可以通过哲学渗入文学等社科领域。钱钟书先生在<管锥编>论<周易-归妹>时引证了古希腊哲学家的“万物各有二柄”(Everything has two handles)，来说明文学中的“比喻之两柄”。然后钱先生又进一步提出他自己的观点：

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比喻有两柄而复具多边。盖事物一而已，然非止一性一能，遂不限于一功一效。取譬者用心或别，着眼因殊，指(denotatum)同而旨(significatum)则异；故一事物之象可以孑立应多，守常处变。譬夫月，形圆而体明，圆若明之在月，犹《墨经》言坚若白之在石，不相外而相因。镜喻于月，如庾信《咏镜》：“月生无有桂”，取明之相似，而亦可兼取圆之相似。茶团、香饼喻于月，如王禹偁《龙凤茶》：“圆似三秋皓月轮”，或苏轼《惠山谒钱道人烹小龙团》：“特携天上小团月，来试人间第二泉”；只取圆之相似，不及于明。

月亦可喻目，洞瞩明察之意，如苏轼《弔李台卿》；“看书眼如月”，非并状李生之貌“环眼圆睁”。月又可喻女君，太阴当空之意，如陈子昂《感遇》第一首：“做月生西海，幽阴始代升”，陈沆《诗比兴笺》解为隐拟武则天；则圆与明皆非所思存，未可穿凿谓并含阿武婆之“圆姿替月”、“容光照人”。“月眼”“月面”均为常言，而眼取月之明，面取月之圆，各傍月性之一边也。王安石《记梦》：“月入千江体不分，道人非复世间人”，黄庭坚《黄龙南禅师真赞》：“影落千江，谁知月处”，则言平等普及，分殊理一，为水月之第二边。李白《溧阳濑水贞义女碑铭》：“明明千秋，如月在水”，则另主皎洁不灭，光景常新，乃水月之第三边。

(钱钟书《管锥编·周易正义·归妹》)
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这里能引这么多钱先生的文字是因为网上正好有人代劳输入，我只是根据手上的2001年三联版校对了一下。你要有兴趣读到更多可以去图书馆借阅<管锥编>。

总体而言，你的贴子选题非常好，希望能引出本坛的数学物理高手们的精彩回复。我对Penrose书中在不同上下文中提到的"dual","dualize",和"duality"也有不少困惑，期待通过阅读本贴引发的讨论来解开种种疑惑。

：：边缘算子与外微分算子互为对偶。这也叫对偶就神秘得可怕，完全摸不着头脑，因为根本就看不出什么“变换一些字词还是真理＂或者“其上的线性函数空间 这种关系，更不知道如何/能否定义内积。那么，这里的对偶其确切意思到底是什么呢？
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边缘算子对应了同调，外微分算子对应了de Rahm上同调，它们确实可以建立“内积”，而且与广义Stokes定理可以完美结合。

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我把de Rham拼反一个字母，先纠正一下。
同调与上同调理论的对偶关系是明显的．
利用微分形式在链上的积分可以由
∫c ω=<[c],[ω]>（微分形式ω在链c上积分）
定义Ｈ^q(M)×H_q(M,R)→R的映射，这个映射是非退化的双线性映射，这样就证明了Ｈ^q(M)与H_q(M,R)互为对偶空间．与内积相同的是双线性，但是因为没有对称性（即不能反过来让链在微分形式上积分），所以不能算是真的内积，只能是双线性映射，所以我在内积上加了引号。