大学本科的数学
希望逐渐写得全面一点。逐渐补充。我想这个系列--如果是的话--只针对基础数学，
1. 基本功：数学分析+高等代数
我们把解析几何看作高等代数的一部分，不管。
传说学习这些东西需要做很多题目，我觉得这个有误导之嫌。以后有机会详述。
有事，暂停。先发了。以后再补。
| 论坛嘉宾: 萍踪浪迹 gauge 季候风 |
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gauge  发表文章数: 596
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萍踪浪迹  发表文章数: 1051
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数学分析+高等代数
=================== 有两大功能： 1、训练基本功 2、出考题折磨学生  漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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gauge 发表文章数: 596
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继续这个话题之前，有几点声明
1，这仅仅是本人的一孔之见，当然欢迎大家切磋、指正。 2，不包含研究生阶段的内容，原因很简单。不述。 3，想到什么说什么，所以可能没有条理，也不按顺序。 先列举国内数学系主要课程如下 1，数学分析，高等代数， 2，复变函数，实变函数，常微分方程，数学物理方程，泛函分析， 3，近世代数，点集拓扑，代数拓扑初步， 4，概率论， 5，初等数论，古典微分几何，初等集合论（可能包含在其他地方，比如测度论）， 想不起来了。嘿，我又不是数学系分管教学的那个角色。 先批判一下。国内课程设置死板，课本糟糕，30年不变或者越变越糟。每个学校都自己出书--小心打到自己。一个一个的来。下一个准备批判点集拓扑这个垃圾。 哈，欲听后事如何，且听下回分解。
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追忆  发表文章数: 195
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我不是数学系的，我只想知道研究生以及研究生阶段以后的数学专业课程有哪些。然后来慢慢啃。
非关癖爱轻模样，冷处偏佳，别有根芽，不是人间富贵花；
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gauge 发表文章数: 596
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先回追忆老弟，研究生阶段没有什么统一的课程，当然也有一些基础课，比如进一步的泛函分析、代数学等。不同的研究方向的后续课程几乎完全不同。比如，专门研究泛函分析的，主要课程就是泛函分析--当然是比一般的泛函分析内容多得多；如果是偏微分方程，就要学泛函分析，外加Sobolev空间，调和分析，椭圆方程，抛物方程，无限维临界点理论等等；如果是代书，可能要学Lie代数，无限维Lie代数，表示论等等；而如果是代数拓扑方向，可能需要学习什么阻碍理论，示性类，手术理论，K理论等等；如果你准备研究微分几何，也许你需要学习所有上面列出来的东西；如果你要研究弦理论，那还得XXX。当然我只是胡说八道，总之是要表明，数学系研究生课程没什么统一的安排，老板不同，安排的课程也不同。研究代数的几乎可以不学分析，同样研究PDE也几乎不用代数。学什么，看你的目的而定，你不太可能现在就定下来学什么。现在数学的内容太多，绝大多数人都只是在自己的那块自留地上耕耘。
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gauge 发表文章数: 596
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前面已经许诺要来砍一下点集拓扑。下面来砍之，并顺手牵羊敲集合论一棒。
首先点集拓扑很重要，几乎所有的与连续性有关的数学都需要点集拓扑，看来点集拓扑理论很重要了。但其实不然。这并不是说我们不需要这个理论，可以不去学习它。Yau对此有一个很好的评述，大概意思是点集拓扑就像微积分一样融合到数学的各个方面，以致于我们感觉不到它的存在，点集拓扑被吸收了。Yau的话我记不准了，所以上面说的可能有不小的误差。有兴趣者可以试着找一下Yau的原文，很抱歉，我也记不清Yau在哪个地方说过这话了。 基本上说来，点集拓扑中有用的东西就是两个，即紧性和分离性。了解这两个概念基本上足够以后的学习了，不够的可以回来再补，比如要搞清楚泛函分析中的弱收敛这些概念的时候再回头去看看点集拓扑中的网的极限理论，没有必要事先把所有的工具都备齐--而且这也是完全不可能的。个人觉得Armstrong的那本《基础拓扑学》中的点集拓扑知识完全够用了。 学习过多的点集拓扑是完全没有必要的，除非下定决心研究点集拓扑。点集拓扑也还是有人在研究，但人数相当少。记得有一本点集拓扑的公开问题集，大概是90年代初出版的。其中列举了1000多个公开问题，当然不能说那些问题完全没有意义，但是喜欢的人毕竟不多。有人因为解决其中的两个而评为教授。我不能说太多关于点集拓扑的坏话，原因不详--怕那个谷歌搜到这里来了。 我们可以回想一下集合论，对于绝大多数的人来说，都不需要知道力迫法，永远只需要朴素的集合论。当然，可能需要知道朴素集合论会出问题，我想这足够了。说到这里，来点题外话，很多数学书籍，无论国内还是国外，都一样，上来就是集合论--当然内容不多，但总有一点点，看着心烦--接下来点集拓扑，还是很心烦。 再想一下，我们任何时候都在推理，但是我们都不需要去学习数理逻辑。我们朴素的逻辑知识足够理解极为复杂的证明，比如说，Fermat定理，Poincare猜想的证明与数理逻辑毫无关系。
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萍踪浪迹 发表文章数: 1051
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数理逻辑和数学各个学科的分离太明显了。
点集拓扑，当年苏联很多人为了研究这个而抛弃代数拓扑和微分拓扑，于是就大大被甩了 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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gauge 发表文章数: 596
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大学本科的数学学习，总是伴随着做大量的习题。但做这么多题目有多大的意义呢？我觉得现在或者说以前，大多数人（国内）学习数学，没什么其他的途径，只好做题，这可以理解。比如说学术报告少，而且一般国内的学校也不能自由选课。当然现在好一些。但是做题的重要性总体上来说是被拔高了。在本科阶段做题学习到的技巧很难用得上。打个比方，下棋不可能使一个人变得更加聪明。再说，到了研究生阶段，很多课程不一定有配套的习题。特别的做研究的时候就没有习题了。我并不是要说不用做题了，我只是想说做题不是唯一的学习数学的途径，也不是最重要的方式。另一方面，如果一本普通的教材书上有很多题目做不出来的话，那么也不大适合继续学习数学了。我说的普通的书不包含象W.Rudin的《泛函分析》那样的书，虽然所号称教材，这本书上的习题很多都比较变态。
很乱，想到什么就说什么。
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zhangchi  发表文章数: 64
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读论文，也许是很好的学习方式。不过，专门为本科生组织的期刊国内好像稀少（我知道的仅有《高等数学研究》，恕我无知）。学生若自己办刊：一没资金，二没影响力，三难有水平。
国内本科生，名校不知道，普通学校真愿念书的学生的比例个人认为不容乐观（我出自普通学校）。 慢慢地走，静静地欣赏。
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Bruce  发表文章数: 24
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同意楼上的观点，读论文,尤其是可以称得上大家的论文.
因为只有在读论文的过程中,才知道自己需要学什么. 如果俺可以上研究生,争取能读懂曹怀东和朱熹平的关于庞加莱猜想的证明论文. 我说的研究生指基础数学的研究生,国内，目前好象都是5年制.5年时间读这论文,要能读明白并做简化证明,我就很满足了. 还请斧正!
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gauge 发表文章数: 596
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证明的一个显然的作用是用来保证一个结论是正确的。一个数学定理需要一个证明。那么，如果一个定理已经被证明，一个新的证明仍然可能是有意义的，比如说可以增进我们对该定理的理解，又或者可以简化原来的证明。这些是对于研究数学而言。那么学习数学的过程中，我们怎么看待证明的作用呢？比如说学习微积分，是否每个人都需要知道微分中值定理的证明呢？或者说，不知道这个证明是否就意味着没有掌握微积分呢？我们绝大多数人都不懂Fermat定理、Poincare猜想的证明，但是我们仍然对这两个定理夸夸其谈。我们在哪些地方可以看到证明呢？我想有两个比较典型的地方，
1.在论文中，作者为了证明一个以前未知的结论而给出一个证明。 2.教科书中，作者给出一个已经被确认的定理得证明。 二者当然有很大的区别。那么我们阅读并推敲定理的目的又是什么呢？我想比较重要的原因是 1.检验该定理的证明是否正确。 2.通过推敲定理的证明学习一些技巧。 3.欣赏该证明，通过对证明的推敲来进一步理解定理本身。 4.通过推敲那些困难的证明来提高自己的数学修养。 我们先来看教科书中的证明以及我们的学习态度、方式。这里的教科书是指那种完全成形的学科，比如微积分、测度论、点集拓扑、普通代数学等这一类。我们依次来看上面列出来的几条。 其一，对于这些非常成熟的学科，其中的定理基本上都身经百战，已经被很多写这方面教材以及学习这门课程的人推敲了无数次，所以看来并不需要我们再去论证一遍以保证那些定理的正确性。当然，这样的想法可能一开始会导致一些心理上的不安。对此，我们可以想一下，没有人知道Windows的全部的细节，可是每个人都能够使用这个破烂系统。很少有人知道电视到底如何工作、其中的电路图的详情，但是每个人都会按遥控器。 其二，那些定理的证明中包含了值得仔细学习的技巧呢？这是一个大问题，很难判断。当然如果一本教材能够指出这一点，将是很受欢迎的。当然，一般而言比较适合作为教材的书包含的都应该是一些基础的容易使用的结论。比如Walter Rudin的《泛函分析》一书就明显不适合作为教材。再比如Conway的几本书《复变函数》《泛函分析》也都不适合做为教材。这些书作为参考书比较合适。 其三，试图通过理解证明来理解定理本身。这是学习定理的一个重要方式。但我们需要明白还有其他的方式，就是应用定理。比如列出定理在一些简单情形下的表现方式等等。 其四，通过阅读证明来修炼提高自己的数学能力。当然这是提高数学能力的一个办法，同样不是唯一的。也有人通过做题来达到这一点。对此说点题外话能够解题是数学能力的一个标志，但远远不是充分的。数学决不仅仅是做题那么简单。 转了一圈，我们主要或者说只能对第一种情形作出一个比较明确的判断。先说到这里。
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Bruce 发表文章数: 24
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在掌握基本的知识与技巧之后，而自己的导师又不是牛导，那么个人提高的途径，愚以为还是阅读大师的著作，尤其是经典著作。
历史上，有好多数学家都是这样成长的，柯西是这样，布尔是这样，记得《数学精英》上就有好几个数学家是这样成长的。 另外，个人觉得阅读大师的著作是直接与大师心灵的沟通，很多大师都是著作等身。 呵呵～～～
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jqjqjq 发表文章数: 20
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国内课程设置死板，课本糟糕，30年不变或者越变越糟。
能不能每一门推荐几本好的教材呢？谢谢。
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gauge 发表文章数: 596
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把这个很老的帖子翻出来，希望对某些人有所帮助。
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gauge 发表文章数: 596
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一如既往地，我认为没有任何必要专门学习点集拓扑，最简单的Armstrong的那本很初等的拓扑讲义就足够了。点集拓扑是进一步学习所必需的，但是这并不意味着它是这些数学理论的基础。正如我们不会认为加减乘除是微积分的基础一样，虽然你不会四则运算就肯定不能学会微积分。实际上，在绝大多数时候，你只需要很少一点点的点集拓扑。拓扑学重要的肯定是代数拓扑。你永远都没有必要将以后要用到的所有理论都事先学完。只有尽快地学习到比较深入的理论才能找到进一步学习的兴趣和动力。如果你要花很多时间来学习点集拓扑，结果只有一个，就是失去学习数学的兴趣。点集拓扑虽然没有多少趣味，也不直观，然而这并不代表它很简单，至少可以出很多难题让你怎么也做不出来。除非你有兴趣专门研究点集拓扑。不过，点集拓扑作为一门数学理论，研究这个早已过时的理论，既不能申请经费，理论本身也无趣得很，在我看来，研究点集拓扑还不如研究平面几何。另外，当我们提到拓扑学的时候，心中默认的缺省值是代数拓扑，绝非点集拓扑。
下面再谈谈微分几何的几本书。 Kobayashi & Nomizu的书很不好，我想没有几个人能够通过这本书来学习微分几何。我知道二十五年前有些人曾经用过这本书，但是他们都认为这本书只能当作参考书，而不能当作学习用的教材。推荐这本书的人自己也不一定看过。一个人要是能够一上来就马上可以适应这本书的符号，就很不错了。在我的印象中，这本书的记号，光是上下标就足以让人望而却步，比如A,B,C表示某一范围内的整数，a,b,c又表示另一范围内的整数，还有i,j,k也表示一类，I,J,K又表示一类，还有其他很多种。 有很多研究微分几何的人根本就不大懂得Riemann几何。要注意我们说的Riemann几何，不是说在流形上赋予一个Riemann度量，就可以叫做Riemann几何。Riemann几何是指，各种各样的比较定理，pinching定理，子流形理论，等等。举个例子来说，没有人会将微积分称为关于实数的理论。因为通常实数理论的含义是指由自然数出发构造出实数的那个过程。几何分析需要Riemann几何为基础。但是很多方向不需要Riemann几何，比如辛拓扑、规范场、K-理论、指标定理等等。 记得Bourbaki的笔杆子，Dieuonne, 微分拓扑是数学的女王。微分几何中重要、漂亮的定理几乎都与拓扑有关。 个人认为学习微分几何应该从微分拓扑这样有意思的题目入手。比如可以先学一点基础知识，然后马上开始学Morse理论。
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leo2000 发表文章数: 24
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我觉得保持好奇心和对数学的兴趣最重要.不要一下吃的太多,消化不了,从此
开始讨厌学习. 另外,要培养好的思考能力和读书查资料的能力.
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gauge 发表文章数: 596
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对于初学者来说，好的书可以告诉他什么是有趣的数学
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一剑断浪  发表文章数: 116
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读论文，也许是很好的学习方式。不过，专门为本科生组织的期刊国内好像稀少（我知道的仅有《高等数学研究》，恕我无知）。学生若自己办刊：一没资金，二没影响力，三难有水平。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 非常同意． 我以前去学校的期刊论文库找一些比较感兴趣的论文． 发现适合自己的特别少，老郁闷了！ 爱在孤独中绝望,在绝望中坚强!
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那一剑的寂寞 发表文章数: 193
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非常同意．
我以前去学校的期刊论文库找一些比较感兴趣的论文． 发现适合自己的特别少，老郁闷了！ ----------------------------------------------------------- 去看看美国的一个数学月刊,那上面有些文章写的比较好,有些比较适合本科生看.另外国内的数学译林这本杂志还不错,那上面常常介绍一些前沿的数学理论和顶尖的数学家,只不过有很多文章中介绍的知识本科生是弄不懂的,我记得那上面就介绍过一篇Mazur写的关于什么是motive的小文章,那是从AMS的bulletin上转载的.其实AMS的bulletin上有些文章还是可以看看的.至于<高等数学>这本杂志,不看也罢. 天下风云出我辈，一入江湖岁月催；
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gauge 发表文章数: 596
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读论文，也许是很好的学习方式。不过，专门为本科生组织的期刊国内好像稀少（我知道的仅有《高等数学研究》，恕我无知）。学生若自己办刊：一没资金，二没影响力，三难有水平。
======================= 本科生单独念论文，至少目前国内的很困难。本科期间还是多学点东西比较好。可以多听学术报考，不一定非要念论文。培养数学上的直观、兴趣、理解力也很重要，知道什么是好的数学。《高等数学研究》这种杂志不能称为专业期刊。本科生自己办刊更加不可取，毫无意义。
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那一剑的寂寞 发表文章数: 193
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本科生单独念论文，至少目前国内的很困难。本科期间还是多学点东西比较好。可以多听学术报考，不一定非要念论文。培养数学上的直观、兴趣、理解力也很重要，知道什么是好的数学。《高等数学研究》这种杂志不能称为专业期刊。本科生自己办刊更加不可取，毫无意义。
----------------------------------------------------------------------- 同意guag的说法,目前国内本科生念论文,看的比较深的,据我了解,似乎只有北大,复旦和南开.在本科阶段,广博的吸收知识,扩大自己的数学视野,培养自己对数学的兴趣和自信,应该是最重要的事情. 天下风云出我辈，一入江湖岁月催；
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萍踪浪迹 发表文章数: 1051
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论文要是可以轻易被本科生看懂，那么只有两种情况
1、综述 2、垃圾论文 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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ni_o  发表文章数: 33
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我大三选修了"图论",并且一直在不断地学各种着色理论.现在我看DISCRETE上的对策着色,全着色的论文感觉满好的.特别是几位国内老师关于TCC在平面图情形的文章---激动人心!
P.S. 我现在大四,马上毕业. 命运取决于选择。
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marthic  发表文章数: 23
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还要学常微、偏微、图论、矩阵论、 微分几何、 数理统计等等
只有在失去和得到中,我们才一点点看清自己！要学会放弃，也要懂得珍惜！
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季候风 发表文章数: 262
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教材的习题最好具有启发性, 有一定深度. 过去的教材习题强调把本节的理论和技巧运用在一些意义不大的结果里面. 现在的教材好像在习题里面越来越多重要的结果, 这是好的趋势, 跟研究挂钩更紧.
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卢昌海  发表文章数: 768
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gauge兄似乎也有一两个系列未曾收录（比如这个系列），我把你也加入了可以在繁星文集发表文章的用户，以便你有空时可以自行整理发表有关系列。已经被收录的也可以重新整理（因为我整理时通常只是将一个系列的贴子简单合并，不考虑作者与网友讨论后所做的修改），我看到新的整理后会删除旧版。
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gauge 发表文章数: 596
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Thanks.
不过有些错误已经忘记了。
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Re: 大学本科的数学 
Re: 大学本科的数学 