漫谈Calabi-Yau流形
作者：萍踪浪迹（shanqin wang）
前言：我把过去写的一篇随笔仔细整理后，发在此处。

理论物理的弦论中，我们要研究Calabi-Yau流形，1954年Calabi猜测存在一类特殊的Kahler流形，其Ricci曲率为零（我们称为Ricci平坦，Ricci flat），Calabi证明这个问题的唯一性但是无法证明其存在性，1976年Yau证明了这个猜想的主要部分即存在性部分，彻底解决了这个问题。但是他给出的是证明的概要，次年给出细节。这个猜测的证明给出了Kahler-Einstein度量的存在性的一个漂亮结果。我们在这个帖子里说说这个Calabi-Yau流形。

什么是Kahler-Einstein度量？为了解释这个概念，让我们从Einstein的一个熟悉的典故说起，因为大家都熟悉，我就简略的谈谈再切入正题
Einstein于1915年末得出广义相对论的场方程，1916年写出完整的综合报告，广义相对论被正式建立。1917年，他开始将这个全新的引力理论应用于宇宙学的研究。为了保持宇宙的静态，他臆测存在一个宇宙学常数λ，这样广义相对论场方程多了一项λg_ij，一旦考虑真空，能动张量为0，则有R_ij=λg_ij，R_ij为Ricci曲率张量
Einstein以错误的动机做了一件很可能正确的事情，这使他失去很大的荣耀却使后人有了很多paper可写。
毫不利己，专门利人，难道这位深明大义的物理学大师相信某某某主义吗？没有人知道。但是我们都知道他引入了一个宇宙学常数，那就是——λ（呵呵，用这一段恶搞一下）
为什么说他“以错误的动机做了一件很可能正确的事情”呢？因为他的目的是为了让宇宙静止，但是宇宙实际上是运动的，可是后世的观测越来越倾向于表明宇宙学常数很可能是存在的。从数学上说，满足真空Einstein场方程的解的流形被称为Einstein，这是一个特殊的“伪Riemann流形（Psuedo-Riemannian manifold）。
数学家把Psuedo-Riemannian manifold的研究换成Kahler manifold，把其上的度规g_ij换成Kahler度规，如果也考虑到其Ricci曲率张量与Kahler度规成比例，那么我们说这个Kahler 流形满足真空Einstein场方程的解，称为Kahler-Einstein manifold。
如果比例常数λ=0，那么此时的Kahler manifold的Ricci曲率就是零了，这时候就是Ricci平坦的Kahler-Einstein manifold，这就是同样著名的Calabi-Yau manifold。
所以说Calabi-Yau流形是满足宇宙学常数为零时的真空Einstein方程的解的Kahler流形。
从最古老的内蕴几何开始，我们都是从度规出发，通过一步步求导，获取Riemann曲率张量，再缩并成Ricci张量，而反过来由Ricci曲率决定度规却要涉及困难的非线性偏微分方程的一系列课题，因此即使到现在，我们要写出一个满足Ricci平坦的度规g_ij仍然是很困难的，Yau的这个工作是非常了不起的。

近日产生巨大影响的The New Yorker上的文章Manifold destiny引起极大的争议，文中还把Yau与Calabi的关系，类比于Perelman与Hamilton的关系，足见可笑。因为在解决Kahler流形上Ricci平坦度规的问题上，存在性比唯一性相比要难得多！我没有任何贬低Calabi这个成绩卓著的几何分析大师的意思，只是想说，在Calabi猜想方面，Yau的成就要重要得多，而Perelman与Hamilton的工作传承关系中，二者基本上是平分秋色的。

弦论要求额外空间为6维且有特殊的对称性，粗略说就是和乐群（holonomy group）为SU（3）的流形，为什么和乐群必须为SU（3）？

首先，物理上考虑，主要是因为要保持一个旋量不变，使得d=4，N=1的超对称成立，这时候要求是和乐群是SU（3），只有复三维Calabi-Yau流形正好可以满足d=4，N=1的超对称成立，而它的和乐群是SU（3），如果要d=4，N=2的超对称成立，则要求的流形的和乐群是SU（2），对应了第二个旋量不变性。这时考虑的K3曲面上（属于2维Calabi-Yau流形）的弦论。
这些东西只是说明物理上为什么要用复三维Calabi-Yau流形。

其次，数学上说，迹形（orbifold）奇异性无法消除，但是光滑Calabi-Yau流形可以通过“吹胀（blowing-up）”获得，环面的和乐群太平凡，Ricci-flat决定了n维Calabi-Yau流形的和乐群是SU（n），因为其第一“陈省身数（Chern number）”为零，所以从U（n）约化为SU（n）。

（复）三维Calabi-Yau流形刚好符合这些苛刻的条件，因此1985年Candelas、Horowitz、Strominger、Witten四人发表了一篇关于Calabi-Yau流形在超弦中的基础作用的论文成为弦论的经典之作，由于C-Y流形是特殊Kahler流形，而Kahler流形是特殊的Hermite流形，Hermite流形是复流形。我们必须从复流形开始讲。

Calabi-Yau流形在进入弦论之前就被代数几何和微分几何学者深入研究。Calabi-Yau流形的紧致化（Calabi-Yau compactifications）和纤维化（Fibration）是弦论和几何学的重要课题。这使得C-Y流形的的研究成为最近二十多年的大热门。

这样的文章多几篇我就可以增设网友原创作品集了。

呵呵。
下一步就是认真整理扩充一下Penrose的书的书评，作为书评的第一部分（A部分，经典场论部分）发上来，纯数学部分（B部分）和现代物理部分（C部分）以后有空慢慢写。

What a great treat!

Einstein以错误的动机做了一件很可能正确的事情，这使他失去很大的荣耀却使后人有了很多paper可写。
毫不利己，专门利人，难道这位深明大义的物理学大师相信某某某主义吗？没有人知道。但是我们都知道他引入了一个宇宙学常数，那就是——λ（呵呵，用这一段恶搞一下）
为什么说他“以错误的动机做了一件很可能正确的事情”呢？因为他的目的是为了让宇宙静止，但是宇宙实际上是运动的，可是后世的观测越来越倾向于表明宇宙学常数很可能是存在的.

If Einstein is an effective field theorist, he will add the cosmological term anyway, since there is no symmetry to forbid it.


弦论要求额外空间为6维且有特殊的对称性，粗略说就是和乐群（holonomy group）为SU（3）的流形，为什么和乐群必须为SU（3）？

Not necessarily.There are other ways to break supersymmetry. There is the example of using G_2 holonomy reducing from d=11 as well.

首先，物理上考虑，主要是因为要保持一个旋量不变，使得d=4，N=1的超对称成立，这时候要求是和乐群是SU（3），只有复三维Calabi-Yau流形正好可以满足d=4，N=1的超对称成立，而它的和乐群是SU（3），如果要d=4，N=2的超对称成立，则要求的流形的和乐群是SU（2），对应了第二个旋量不变性。这时考虑的K3曲面上（属于2维Calabi-Yau流形）的弦论。
K3 is complex two dimensional and real 4 dimensional. It is useful in constructing models as well since, as I said above, there are other ways to break supersymmetry as well.

这些东西只是说明物理上为什么要用复三维Calabi-Yau流形。

其次，数学上说，迹形（orbifold）奇异性无法消除，但是光滑Calabi-Yau流形可以通过“吹胀（blowing-up）”.

Actually, there is nothing wrong with orbifold, precisely because one could blow-up their singularities and make them into C-Y manifolds.



（复）三维Calabi-Yau流形刚好符合这些苛刻的条件，因此1985年Candelas、Horowitz、Strominger、Witten四人发表了一篇关于Calabi-Yau流形在超弦中的基础作用的论文成为弦论的经典之作，由于C-Y流形是特殊Kahler流形，而Kahler流形是特殊的Hermite流形，Hermite流形是复流形。我们必须从复流形开始讲。


As useful as C-Y manifold, it is actually not the central topic in string theory (I think I have mentioned this in one of my earlier articles about string theory). It is more relevant if one want to go from critical superstring theory to 4d models with N=1 supersymmetry by compactification. As I said, there are other ways to break supersymmetry, such as intersecting branes. Therefore, this is not the unique route. On the other hand, we are not sure, at a fundamental level, whether we should be just thinking about critical string theory.

The central topic in string theory, well, is actually what string theory is. Is strings the right degrees of freedom to talk about quantum gravity, are there new insights we could have in talking about quantum gravity (such as AdS-CFT).


These are physics questions where complex geometry probably won't help. Actually, as I was trying to say many times, almost no important result (even in string theory) comes just from going deeper in mathematics.

：：The central topic in string theory, well, is actually what string theory is.
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非常同意。
事实上，CY是弦论的工具，而不是核心。我想我以前的表述方式有问题。

：：Actually, there is nothing wrong with orbifold, precisely because one could blow-up their singularities and make them into C-Y manifolds.

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恩，我同意，orbifold自身没有任何错误，只是我们有时要光滑的manifold，才认为吹胀。
事实上，数学上反倒嫌光滑manifold范围太狭窄，而特意研究包含奇点的空间（如复解析空间）

封笔半个月到一个月，因为要忙着学习SUSY有关的一些课题，时间很紧张。

”封笔半个月到一个月，因为要忙着学习SUSY有关的一些课题，时间很紧张。“
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萍踪，现在在学习SUSY的一些什么课题？物理还是数学方面的？

回一剑寂寞：物理方面的

小弟要看懂萍踪大哥的关于物理 数学 文章至少得五年后了 呵呵 我要好好努力呀！

由于string theory的兴起，很多人开始重视Calabi-Yau流形的研究。事实上，在数学领域的本身，对Calabi-Yau的研究早已占据很重要的地位。

通常我们说Calabi-Yau的时候，很多时候指的是3-fold,也就是实6维的情形。如果实4维流形，则问题要简单的多。早在19世纪，代数几何上已经开始研究CP3中的4次曲面，这是后来说的K3曲面的一个简单的例子。K3这个名字的来历据说是因为Kummer,Kodaire,和另一个K打头的数学家对这类的曲面的研究做出了实质性的贡献。K3曲面实际上是一个实四维流形，他的拓扑结构已经被了解的相当清楚。可以证明，所有的K3曲面都微分同胚。这是一个很漂亮的结果。这说明了K3曲面有着很好的对称性。

做完了曲面，接下来考虑的是3-fold。Calabi-Yau就是K3曲面在3-fold中的对应物。遗憾的是，Calabi-Yau 3-fold的结构比K3曲面要复杂得多，丰富的多。首先，Calabi-Yau 3-fold的微分结构不是唯一的，存在无限多的有不同拓扑结构的Calabi-Yau 3-fold。另外，Calabi-Yau 3-fold 不是hyperkahler的。而在2维的情形，K3曲面碰巧是hyperkahler流形，这使得对他的研究要简单很多。

现在一个很有意思的问题就是，如何给Calabi-Yau 3-fold分类。这恐怕不是物理学家关心的问题，但数学家却期盼早日解决这个问题。String theory的蓬勃发展似乎也没有给这个问题带来曙光。各位朋友对此如果有兴趣，可以畅所欲言。