1）EPR悖论的大致内容

假定A,B两个电子对形成的总自旋为0的纠缠态，这个纠缠态可以表示为（最多相差一个归一化子）：
A(↓)B(↑)+A(↑)B(↓)
这一对电子可以相隔千里，但仍然构成一个纠缠态，可谓“千里共纠缠”。
电子A所在地的观察者对电子A进行观察，如果测得它的自旋向下↓，则这个测量将这个跨度千里的纠缠态坍塌到A(↓)B(↑)，即
A(↓)B(↑)+A(↑)B(↓) ————→ A(↓)B(↑)
这样，这个测量同时使得千里之外的电子B的自旋状态坍塌到↑。
反之，如果对电子A进行测量并且测得它的自旋向上↑，那么这个测量行为使得原来的纠缠态坍塌到A(↑)B(↓)，即
A(↓)B(↑)+A(↑)B(↓) ————→ A(↑)B(↓)
这样，这个测量同时使得千里之外的电子B的自旋状态坍塌到↓。

因此，当相隔千里的一对电子A,B构成一个纠缠态时，对电子A进行观察，使得它的自旋状态坍塌到↓时，这个测量在同一瞬间使得千里之外的电子B的自旋状态坍塌到↑。

EPR他们因此而提出的质疑是：对纠缠态中的一个电子进行测量，能够同时引起千里之外的另一个电子的量子态发生坍塌，因而在他们看来，测量行为能够在瞬间影响到千里之外的另外一个电子，使之量子态发生坍塌。他们认为这跟相对论相矛盾，因而他们认为量子力学不完备。

至于后来的Bell不等式的推导，Aspect实验的结果等等，这些我就不说了。


2）对EPR悖论最容易想到的一个错误理解

自EPR悖论提出来之后，引发大量争论。由此而来的多种看法，例如隐变量理论、非局域隐变量理论...我这里也不提。在诸多理解中，有一种庸俗的理解是基于这样的类比：

假如你跟你的一个好朋友分手，各自去远方，为了表示对彼此的怀念，你们把一张100元人民币的钞票撕成两半，你们各人拿一半，但是你们相互事先约好了，你们两人事先并不知道自己拿着的那半张钞票到底是哪一半，而且也不准拿出来看，一直到你们各自去了远方，当你们天各一方时，才能打开看自己的那一半。当你们终于天各一方时，你们俩同时拿出了属于你们各自的那半张钞票，当你看到它属于“这一半”时，你立即就知道，你朋友手上拿到的、因而他此时此刻看到的是“另一半”；反之亦然。
在这里，你看钞票和你朋友看钞票，都是一种观测行为，尽管你们相隔万里，你一旦观测到自己手上的半张钞票是“这一半”，万里之外的朋友在同一瞬间观测到他手上的半张钞票恰好是“另一半”；反之，你一旦观测到自己手上的半张钞票是“另一半”，万里之外的朋友在同一瞬间观测到他手上的半张钞票恰好是“这一半”。

例如，喜欢用马克思哲学指导科研的何院士就是这么理解的。这是一种经典力学方式的、简单化的理解。如果这样简单，也不至于有那么多争论了，那些物理学家们不是吃干饭的。


3）EPR悖论与量子力学的非局域特征

在有些人看来（包括本人在内），解决EPR悖论的关键在于：波函数对应几率幅，而不是对应在时空中分布的物理波场（历史上量子力学的创始者们曾经犯有这种理解错误）；量子态的坍塌，并不对应某种实际的物理作用在时空中传递。因而这里并不跟相对论矛盾。

不过，如果按照Shunya兄在后面的回帖中所谈到的：

“...在量子物理中，如果两个硬币在放入盒子的时候是处于（正、反）和（反、正）的·叠加纯态·，而且盒子里面翻转硬币的装置是不破坏纯态的·酉变换·，那么无论A或者B在打开盒子之前各自按了多少次翻转按钮，A打开盒子的时候看到的硬币状态一定和B打开盒子的时候看到的硬币状态相反。”

让人感觉前面包括本人在内的上述看法也许仍然简单化了：处于纠缠态的电子对之间的量子关联，不是一种简单的逻辑关联，而是对应一种非局域的物理关联作用。因此我的下述看法：

“在EPR的理想实验中，与其说存在某种物理作用的瞬间传播，不如说实际上这里只存在一种量子逻辑上的关联：由于电子A、B构成总自旋为零的纠缠态，A、B之间存在的这种量子关联，体现这样一种逻辑联系——A up则B down;A down则B up”

可能是错的。

尽管如此，即使这里有某种非局域特征在起作用，它也不会带来因果悖论，因而不跟相对论相矛盾。相对论只说光速不变，并没说光速一定是最大速度——最多可以说，光速是传递有可观察效应的相互作用的最大速度。

承认量子力学存在某种非局域特征，以下这个例子更有说服力：

让单个光子经过两种不同路径到达探测器，当关闭其中的一条路径时，光子可能会被某个探测器探测到；但是同时打开两条路径时，可能在该探测器所在位置处，绝对探测不到这个光子，即由于光子“走两条路径的两个态”之间的叠加干涉结果，使得光子不可能到达该探测器所在位置处。这无论从哪个角度来理解，都说明了量子力学的非局域特征:
1）如果用光子同时经过两条路径来解释，这说明了光子在空间位置上存在非局域特征；
2）如果光子每次“实际上”只经过其中一条路径，那就说明光子在选择其中的一条路径时，能同时能“感知”另一条路径是关闭还是打开，即光子的行为同时由整个空间的几何状况共同决定，因此光子对周围环境的依赖上存在非局域特征。
（可以夸张一点，假定光子可经过的两条路径合起来刚好围绕银河系一圈）.

量子力学就是这样令人困惑。
Bohr说：学习量子力学而不感到困惑的人，说明他还不懂量子力学。
Feynman说：说世界上只有三个人懂相对论，这我不信（如果在相对论刚刚出来时这有可能）；但是我想恐怕没有人理解量子力学。

Shunya的回帖：

吹牛兄，你虽然指出了雄心的严重错误，但你提出的比喻仍然是非常不恰当的。因为经典理论足以解释你的比喻。

你想想，如果把你的比喻用于一个经典的例子，两个人A和B将两个硬币一正一反放入两个外观完全相同无法区分的盒子，在看不到盒子的情况下打乱两个盒子的顺序，每个人随意取走一个盒子。这种情况下显然可以断定，无论两个人多远，而且A打开盒子的事件与B打开盒子的事件无论是类时间隔还是类空间隔，双方打开盒子的时候所看到的硬币状态都必然是相反的。

这种现象完全是经典物理现象。

雄心的严重错误在于，他认为在A已经观察了硬币之后，翻转A的硬币会导致B盒子中的硬币自动翻转，甚至B打开盒子之后也会看到手中的硬币被翻转。这显然是严重错误的。

我给出一个同样不十分恰当但相对来说避免了你们两个的错误的例子：跟前面刚刚提到的硬币例子一样，但是盒子有所不同，这个盒子里面有个机构，可以在不打开盒子的状态下通过按动盒子外面的按钮来翻转硬币。在A和B分开之后，在双方打开盒子之前，双方都可以都随意按动若干次按钮，因此盒子中的硬币状态会被随意翻转若干次。按照经典理论，此时A盒子里面的硬币和B盒子里面的硬币的状态就不在相关了，双方打开盒子的时候看到的硬币状态可能与对方相同，也可能与对方不相同。但是在量子物理中，如果两个硬币在放入盒子的时候是处于（正、反）和（反、正）的·叠加纯态·，而且盒子里面翻转硬币的装置是不破坏纯态的·酉变换·，那么无论A或者B在打开盒子之前各自按了多少次翻转按钮，A打开盒子的时候看到的硬币状态一定和B打开盒子的时候看到的硬币状态相反。但是在打开盒子之后，两个硬币的状态已经不在纠缠了，因此此时再进行翻转，绝对不会影响另外一方硬币的状态，无论对方是否已经打开了盒子。

在这个例子中，如果把宏观硬币换成是可以处于叠加态量子实体，就基本正确了。因为几乎没有办法让一个宏观的硬币处于量子叠加态，能够完全隔离宏观物体的信息的装置在现在看来几乎是无法制造的。

所以，EPR对绝对无法用于通讯，因为任何一方打开盒子的时候硬币处于什么状态是不确定的，在一方打开盒子之后，不可能在把任何有意义的信息“瞬间”传递给另外一方。但是，EPR对仍然有一个非常简单的实际用途：量子密码术里面的量子密钥协商。双方虽然不能利用EPR对来传递信息，但可以在通讯之前利用事先制备好（也可以由一方制备好通过量子信道发送给另外一方）的一大堆EPR产生相同的一组随机bit作为一次一密的密钥（具体方法请参考有关量子密码的文章）。如果有攻击者偷偷观察过这些EPR对，那么这种纠缠态就被彻底破坏了，该过程双方产生的随机数就会不再相关。这样双方在通讯之前可以随机抽取一些（例如一半）bit在不安全的经典信道上比对，如果比对结果全部相同，就可以在很高的概率上确保这些随机bit没有第三方知道，发送方就把剩下的密钥与明文按bit异或生成密文，并通过不安全的经典信道传递给接收方，接收方用同样的密钥对密文按bit异或进行解密。如果双方比对结果不完全相同，就说明有人监听过这些bit，只能抛弃所有密钥重新协商。

在这个过程中，只有密钥协商是非经典的，其他过程包括比对密钥的过程都只能通过经典的亚光速信道进行。

吹牛兄，我很不喜欢“波函数坍塌”这种解释，过去在老论坛上也提到过。因为我感觉“坍塌”这个概念是很模糊的，深究起来似乎根本不知所云。量子力学的基本假设似乎根本不需要使用“坍塌”这种概念，就足以精确地描述测量的行为。到底为什么测量的时候只会得到本征态，量子力学根本不做解释。

我喜欢喀兴林老师在高等量子力学中的做法，他在书中避免使用那些哲学性质的解释，只考虑必须的基本假设。这样无论最终那种解释最终被证明是抓住了量子力学的本质（可能所有这些这些解释最终都不再需要），书中的内容都不会因此而变得陈旧。

回Shunya兄：
不管喜不喜欢“坍塌”这个说法，测量作用，从数学描述的角度看，总是“引发”类似以下过程：
A(↓)B(↑)+A(↑)B(↓) ————→ A(↓)B(↑)
因此总得对这个描述给个称呼吧，不妨只把“坍塌”理解为一种叫法。

喀兴林编的高量是不错的，不过他不提有关量子力学阐释方面的内容，并不表明他不承认这些方面的容，他只是选择了逃避，在书中避免了涉及这部分内容。因为这方面的研究内容在不断的变化之中，而作者则希望他的书永远不会过时。事实上，正是人们对量子力学哲学方面的不懈努力，才有今天的量子计算、量子信息等方面的成果。

吹牛兄，我很不喜欢“波函数坍塌”这种解释，过去在老论坛上也提到过。因为我感觉“坍塌”这个概念是很模糊的，深究起来似乎根本不知所云。量子力学的基本假设似乎根本不需要使用“坍塌”这种概念，就足以精确地描述测量的行为。到底为什么测量的时候只会得到本征态，量子力学根本不做解释。
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You are right that wave-function collapse has not been explained in the framework of standard quantum mechanics.

On the other hand, contrary to what you said, we could not explain experiments without the postulate of wave-function collapse.

EPR悖论与量子力学的非局域特征

I refuse to call it non-local, since its Green's function manifestly vanishes outside of the lightcone, satisfying cluster decomposition.

It is only 'non-local' in a philosophical sense.

可以在不打开盒子的状态下通过按动盒子外面的按钮来翻转硬币

I am not sure how you do that, since the coin in each box is not in a up or down eigenstate.

I am not sure how you do that, since the coin in each box is not in a up or down eigenstate.
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我觉得最接类似于翻转的酉变换就是Pauli矩阵{{0,1},{1,0}}，但是我不知道具体什么样的物理装置可以实现这个变换，量子计信息与量子计算的书里面没有写:( Sage兄能否给俺科普一下这个？

对了，我那句话是开始针对经典系统说的，后面的那段话才提到了量子系统。

On the other hand, contrary to what you said, we could not explain experiments without the postulate of wave-function collapse.
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“测量只能得到本征值”，一定要把这个说法称为波函数的坍塌么？我觉得波函数的坍塌是一种“形象”的哲学解释，而实际上我们只需要知道“测量只能得到本征值”就足够了吧？

:: 我觉得波函数的坍塌是一种“形象”的哲学解释，而实际上我们只需要知道
:: “测量只能得到本征值”就足够了吧？

No, that's not enough. The reason we talk about wave function collapse, is because right after a measurement, if you measure the same physical quantity again, you will always get the same result, which means right after the first measurement, the wave function becomes the corresponding eigen-function of that physical operator.

我倒是有个想法，这里面是不是有个‘更基础’的概念不好用了，我是说自然数的概念‘一’，换句话说，我们说：“‘A’电子或‘B’电子”这样的说法本身就是有问题的，上帝他老人家不允许我们这样描述他的‘电子’，我不懂物理学，对哲学和数学有点业余爱好，喜欢怀疑这个怀疑那个，这个怀疑恐怕幼稚可笑的成分居多，不过还是希望大家拍我一砖，也能让我长点知识:)

I refuse to call it non-local, since its Green's function manifestly vanishes outside of the lightcone, satisfying cluster decomposition.
It is only 'non-local' in a philosophical sense.
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也许应该这样说：具有可观测意义的东西，总是局域的；但对于物理学中那些没有直接可观察效应、但不可或缺的东西，可以是非局域的。

物理学中，那些没有直接可观察性的东西，能够给出具有可观测意义的东西，扮演一种桥梁的角色。例如波函数本身没有直接的可观察效应，进入观察中的是它的模方；AB效应只是表明电磁势是一个有实际物理意义的量（不再是纯粹的数学方便的工具），而不是表明它有着直接的可观察效应，有着直接可观察效应的是它的时空导数（AB效应实验的实现方案，本质上相当于让我们观察到它的时空导数）。AB效应表明，电磁势具有非局域特征——从另一个角度看，可以证明：电磁势满足的对易关系，在光锥之外不恒为零，但这不违背因果律，因为电磁势不是直接的可观察量。

回形而下者：

由于全同性原理，当两个电子不可区分时（例如在它们的波包重叠区域），将它们区分为A、B的确没有意义。但在以上论述中，我们可以说“A地的电子”和“B地的电子”。

ERP当然可以用于传输信息。对于纠缠态的两个粒子的使用，实验已经可以通过ERP加密的信息。 但不可以被第三方监视，一旦有第三方监视，纠缠态就被破坏，信息无法传递。

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所以，EPR对绝对无法用于通讯，因为任何一方打开盒子的时候硬币处于什么状态是不确定的，在一方打开盒子之后，不可能在把任何有意义的信息“瞬间”传递给另外一方。但是，EPR对仍然有一个非常简单的实际用途：量子密码术里面的量子密钥协商。双方虽然不能利用EPR对来传递信息，但可以在通讯之前利用事先制备好（也可以由一方制备好通过量子信道发送给另外一方）的一大堆EPR产生相同的一组随机bit作为一次一密的密钥（具体方法请参考有关量子密码的文章）。如果有攻击者偷偷观察过这些EPR对，那么这种纠缠态就被彻底破坏了，该过程双方产生的随机数就会不再相关。这样双方在通讯之前可以随机抽取一些（例如一半）bit在不安全的经典信道上比对，如果比对结果全部相同，就可以在很高的概率上确保这些随机bit没有第三方知道，发送方就把剩下的密钥与明文按bit异或生成密文，并通过不安全的经典信道传递给接收方，接收方用同样的密钥对密文按bit异或进行解密。如果双方比对结果不完全相同，就说明有人监听过这些bit，只能抛弃所有密钥重新协商。

我对EPR的理解是这样的：

爱因斯坦提出 EPR的初忠，是希望同时测量电子的位置和动量，因为测不准关系讲：粒
子的动量和位置无法同时确定。

爱氏的想法是：测量A粒子的位置就可以推算出B粒子的位置。在测量A粒子的位置的同
时测量B粒子的动量。这样就等于同时得知了B粒子的位置和动量，与测不准关系相矛
盾。

到现在我也不很了解这个技巧为什么不成功，不过大概在测量A粒子位置的同时，B粒子
的位置就缩编了，于是B粒子的动量就无法得到准确值。仪表上是什么显示？指针摇摆
不定？呵呵。我说不好。反正B粒子的动量一定测不出来。

接下来，爱氏又提出了新的实验过程：如果我测量的是A粒子的动量，而同时测量B粒子的位置，那么结果会怎么样呢？结果是：测量A粒子动量的同时，B粒子的动量发生缩编，使得B粒子的位置完全不确定。

爱氏就提出悖论啦：我对A的哪个物理量进行测量，完全是随机决定的。远在天边的B粒
子不知道，我是测量了A的动量，还是测量了A的位置，它怎么知道自己是该向动量缩编
，还是该向位置缩编呢？

我不知道自己的理解是否正确，至于怎样吧这个原始的模型变成了自旋，我也不太清
楚。卢昌海翻硬币的比喻确实很符合量子力学的哲学观点，但是用在EPR上这样比喻是
否合适，还需要讨论。

:: 卢昌海翻硬币的比喻确实很符合量子力学的哲学观点

我翻硬币的比喻？这是哪里来的典故？

说错了，是西门吹牛写的翻硬币的比喻

爱氏的想法是：测量A粒子的位置就可以推算出B粒子的位置。在测量A粒子的位置的同
时测量B粒子的动量。这样就等于同时得知了B粒子的位置和动量，与测不准关系相矛
盾。
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测量不可能同时进行，由不确定性原理，时间也有一个误差。

（形而下者的马甲）回西门吹牛兄：

就在以上论述中的‘情况’，‘可以’呐？还是‘不可以’呐？？

其实，“A地的电子”这种说法你已经不自觉的把那个“一”用来描述‘电子’了，这应该等同于这样的说法：“A地的那‘一’个电子”，我们既然知道‘任何情况’下，不管是‘质点’还是‘苹果’‘硬币’都‘比喻’不了‘电子’；那么，我们从‘质点’‘苹果’‘硬币’那里搞来的‘一’用到‘电子’身上就不值得怀疑么？说句粗话，我们这回用到‘电子’身上的‘一’，他捞过界了，上帝（自然）是不允许的，老瓶子装不下这新酒了。

可以？不可以？我看这还是有赖个人的‘数学观’吧？那是一种‘信仰’而不是一种‘物理事实’，我是说，即使如费曼先生说的我们并没有听到过‘半声咔嗒’，那也不表示我们用‘一’来描述‘电子’是天经地义的，不可怀疑的。

很抱歉的是我的叙述很不科学，不适合在这里讨论，就此打住了。

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回形而下者：

由于全同性原理，当两个电子不可区分时（例如在它们的波包重叠区域），将它们区分为A、B的确没有意义。但在以上论述中，我们可以说“A地的电子”和“B地的电子”。

gauge兄什么意思？时间与位置和动量算符都是对易的吧，为什么会有误差？

回富富得正兄：
我这个EPR悖论，相当于一个“现代版”的。当年这场争论属于思辨性的、哲学性的讨论，后来经过Bohm，Bell他们的努力，变得比较物理。

讨论两个同种粒子组成的EPR对容易误导人们联想到全同粒子的交换对称性，从而着这个问题中把纠缠与交换对称性联系在一起，甚至猜测两者之间是不是互为因果或者至少有什么关联。

其实，纠缠与全同粒子的交换对称完全是互不相干的。EPR对完全可以由两个不同种粒子来组成，纠缠表现在对它们分别作定域测量时的测量结果之间的关联，这里根本不存在全同性或者交换对称性。甚至，两个处于不同束缚体系的同种粒子，它们的本征态的数目不同，从而Hilbert空间的维数也不同。它们也可以组成EPR对，此时也不存在交换对称性，但是纠缠的性质依然满足。

“……测量A粒子的位置就可以推算出B粒子的位置。在测量A粒子的位置的同时测量B粒子的动量。这样就等于同时得知了B粒子的位置和动量，与测不准关系相矛盾。”
——我所理解的EPR思想实验与富富得正兄的不太一样：测量不是同时针对A粒子的位置与B粒子的动量，而是前后两次都针对A粒子进行测量。先测量A粒子的动量，由总动量为0可推知B粒子的动量；再测量A粒子的位置，爱因斯坦认为，这时A粒子的动量会变动到一个不确定的值，但远在天边的B粒子的动量不会受此影响。于是由AB的初始位置、A的已测定了的位置就可推知B粒子的位置，这样就能同时确切地知道B粒子的位置和动量了。现在看来，爱因斯坦所相信的“测量A粒子的位置不能影响到B粒子的动量”是不对的。

EPR悖论提出的初衷是为了证明对于EPR对，测不准原理不成立，因而导出量子力学不自洽。这个推理过程应该是先后对两个粒子分别做动量和坐标测量。而同时对两个粒子分别做座标和动量测量是不可行的。
因为相距遥远的两个粒子之间没有办法实现真正的“同时测量”。
考虑到EPR对的内部即时关联，原则上对两个粒子做的测量的事件必须是类空分隔的，根据相对论，这两个事件之间是不存在真正的同时性的。

如何知道"远在天边"的两个粒子构成一个纠缠态?

一般来说，你没有办法通过观测来知道两个粒子是否纠缠，除非一开始就知道它们被制备成为纠缠态。或者，你有很多事先知道状态完全一样的双粒子系统的副本，这样可以通过测量一部分，通过测量结果的分布来逼近双粒子系统的初始态以及纠缠与否。
这个道理其实很明确，它和纠缠与否无关的，主要是由于态的叠加原理决定的。比如，任意给定一个单个粒子，你也没有办法知道它的状态，以及它是否处于本征态——除非你事先知道该粒子的制备手续，从而在理论上知道它的状态，或者，你有很多相同状态的该粒子副本，从而通过测量来逼近它。