看了点anyon的理论，有个疑问，有没有自旋为无理数的任意子呢？如果理论上可以存在，那么实际上是否能够实现？

对任意子的概念我也曾思考过,我记得似乎只有在二维中才有任意子的概念,在四维中可以用二维近似的情形应用任意子的概念进行解释,有一届的诺奖与它相关,似乎是用二维中的任意子的概念解释分数电荷效应,记忆有的模糊不清了,可能记的不准.

但我自己仔细演算过四维的任意子概念,发现它无法满足洛伦次群表示,假如牺牲洛伦次群表示(即物理真实性)则可以有任意子概念,自旋可取任意实数,方程可以满足洛伦次协变,但不满足洛伦次群表示.由于不满足洛伦次群表示,所以也不是物理真实的,因此四维中无任意子概念.

对于二维的了解不多,可能洛伦次协变与洛伦次群表示都可以得到满足,所以才有"二维中才有任意子的概念"的论断.

:: 有没有自旋为无理数的任意子呢？如果理论上可以存在，那么实际上是否能够实现？

任意子对应的群是Z，因此只能有分数统计。不过某些凝聚态研究中好象有无理自旋或无理量子数出现，我不知道那具体是什么。

我今天找了本参考书看，按照里面的说法，任意子的自旋也可能是无理数。

尹兄可否介绍一下该书的说法？另外该书是否提到任意子与 Fractional Quantum Hall Effect 的关系，及后者中简单分数容易出现的原因？

我看的是Avinash Khare写的《Fractional Statistics and Quantum Theory》，世图出版社1997年出版。

正文第一页就说“In the last two decades it has been realized that whereas in there and higher space dimensions all particles must either be bosons or fermions (i.e. they must have spin of n\hbar or (2n+1)\hbar/2 with n=1,2,3... and must obey Bose-Eithstein or Fermi-Dirace statistics respectively), in two space dimensions the pareticles can have anny fractional spin and can satisfy any fractional statistics which is interpolating between two."

可是接着提到任意子时，又说，"In other words, if one takes one anyon slowly around the other then in general the phase acquired is exp(\pm i\theta). If \theta=0 or \pi (modulo 2\pi) then the particles are bosons or fermions respectively while if 0<\theta<\pi then the particles are termed as anyons." 我的理解是这时的\theta/\pi可以是分数，也可以是在0和1之间的无理数。不过这种理解似乎又跟前面一段话矛盾。

这本书的最后一章提到了任意子和分数霍尔效应的关系，但我不清楚是否讨论了为什么里面容易出现任意子。

Anyons in 2D cannot have an irrational spin simply because it would mean the particle needs infinite number of rotations to get back, or, it would never come back.

Anyons in 1D may have an irrational spin. There is no "rotation" in 1D.

Charge can be irrational in 1D and 2D as well.

如果有无理数自旋，那么任意子就永远无法还原，这个推论是显然的。问题是，即使如此，又能怎么样？任意子做无穷次旋转也无法还原，累积的相位不会是2\pi的整数倍，真的是物理上被禁止的么？

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如果有无理数自旋，那么任意子就永远无法还原，这个推论是显然的。问题是，即使如此，又能怎么样？任意子做无穷次旋转也无法还原，累积的相位不会是2\pi的整数倍，真的是物理上被禁止的么？
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A state with infinite degeneracy is not allowed in real physics.

多谢laworder，我想我弄明白了。确实，任意子的分数统计不仅对应于自旋，而且对应了任意子场真空态的简并度，无理数的自旋对应的简并度就是无穷。这一点我也是前两天才从Preskill的拓补量子计算讲义中看到的。实际的物理系统，量子态的简并不能为无穷大，因此自旋为无理数的自旋不会存在。