桌子上有两个苹果，我们可以说“桌上有两个苹果”，也可以说“桌子左边有一个苹果，右边也有一个苹果”，这两句话的意思是一样的（或者在第一句后面还要加上“它们分别在桌子的左右两边”）。它们的意思为什么会一样呢？是因为我们约定如此，它们只是两种不同的表达方式。更普遍一点，“有一个X，还有另一个X”，这句话的意思就是“有两个X”。用数学的语言说，就是“1＋1＝2”。为什么1＋1＝2？简单地说，这是我们的约定。（其实在我们的语言中充斥着类似的约定。比如从“a是三角形，b也是三角形”，可知“a和b都是三角形”，这就是一个约定。当然，数学这种语言是特殊的，它的逻辑性很强，在科学中有很广的运用。）

既然1＋1＝2只是一个约定，那么它既不真也不假，因此既不存在支持它的证据，也不存在反驳它的证据。
桌子有一个苹果，我们再放一个苹果，这时一共有两个苹果。这就是我们学习加法时使用的例子，这个例子能充当1＋1＝2的证据吗？不能，这里只是1＋1＝2这个式子的一个应用，也就是说加法适用于“把苹果放在一起”这个操作，而不能用它来说明加法的对错问题。我们可以想象一个相反的例子：假如当另一个苹果也放到桌上的时候，这时两个苹果都突然消失了。在这种情况下就不能使用加法运算了，但1＋1仍然等于2。因为从“桌子a上有1个苹果，桌子b上也有1个苹果”，我们可得“一共有2个苹果”，也就是1＋1＝2。只是当我们把桌子b的苹果也放到桌上a时，它们就全都不见了。此时不能再使用加法运算，可能要使用减法运算。
上面的例子表明1＋1＝2没有对错之分，只是在有的情况下我们能用它来解决问题，而在一些情况下不能。而它具体在那些情况下可以应用，这要通过经验研究才知道。

a是三角形，b也是三角形”，可知“a和b都是三角形
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a是三角形：A ，b是三角形：B，a和b都是三角形：A且B。A真；B真，则A且B真。这样的话应该是形式逻辑上的结论，不能算自然语言上的约定。如果说“a是三角形，b“也”是三角形”这句话包含的事实，还可以这样用语言表达：“a和b都是三角形”。这应该就属于语言上的约定，但这样语言表述的转换不包含推理。

this is trivial。the idea is : 不同的faithful representation之间是isomorphic的。

to快刀浪子兄：

我倒是认为，您的约定在您‘所诉的情况下’上帝他老人家是允许这样作的，但是仅此而已，他和我们还有很多其他‘约定’，我们还没有‘理解’，可能还有一段我们现在根本没有能力去‘预见’路要走，甚至根本没有一丝光亮来指出那个路的方向，量子现象多多少少的不可‘理解’或许会为我们指出在那里有道门，我是相信他存在的，不过我们离夸过去还很遥远，话说回来了，既然‘宋’代是个我们感觉上并不遥远的过去，那么1000年以后就并不是个遥远的将来，我相信‘科学’和‘认识’在那里都不会死去，这几乎是可以肯定的。

a是三角形：A ，b是三角形：B，a和b都是三角形：A且B。A真；B真，则A且B真。
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整错了，最后一个是全称命题，属于谓词逻辑的范畴。不过不管是谓词逻辑还是命题逻辑，都属于形式逻辑，最终的基础都是矛盾律、同一律、排中律。也可能偏主题了，楼主想表达的意思不在这方面。

这问题其实有很深的含义,我的看法可能不是向着快刀浪子兄,我还是说自己的意见.

首先我们看看其他动物,在众多动物中会数数的有很多,甚至人使用的数字符号也可以明白,从动物的例子可以知道数字的概念即使在没有学过数学没有接触符号的人也会拥有.而数字作为符号而言是一个交流媒介,将大家共同的概念集中在一个符号上表示.因此无论是"0"也好,"1"也好,"2"也好,都是使个人概念在集体上的统一.这样就不会出现有人说"1+1=2",而另一个人说"2+2=1"的无法沟通情况.
因此符号主要作用在于交流,而概念还是自己产生.

抛开数字符号,只谈数字概念.开始人所产生的是"无"和"有",这是"0"和"1"的概念的基础.而"有""无"是同时产生的.但即使同时产生,两者有一个很重要的区别,就是"有"是存在"多"和"少",而"无"是没有的.于是"2"以及2以上的概念是发展在多少的区别上.可以看到"多""少"的概念是在数字概念之前,也就是说,数字的概念在这个阶段还没出现.真正萌芽数字的是认识到"多"和"少"是相对概念开始的(人的认识都是从"绝对"到"相对","多""少"概念开始也是绝对,而"有""无"在人生比较长的阶段都是认为绝对的).正因为认识到"多"和"少",开始细分概念.比如"有有"比"有"要"多","有有有"比"有有"要"多",为了分别这些"多""少"的区别和便于记忆,于是赋予"有有"为"2有","有有有"为"3有",而在实践中"加""减"也慢慢形成,然后再向其他运算发展.至于概念在人类历史在什么时候形成符号这就需要历史学家等科学家的研究.但我们至少明白,数字就概念而言并不仅是约定,而是一种个体上的需求,是为了让自己更能有利于自己的选择而总结的认识.数字反映了人认识世界的其中一段过程,因此数字是实践中形成局部真理.

再回到符号上,在概念上其实个人使用在没有发展成符号时是够用的,但在交流上就不足够了.比如我的"1"发音是2,"2"的发音是1,而别人相反,那无论在合作上还是在交易上都会产生严重分歧,可能导致严重后果.于是在不断的交往,不断的实践,在遇到严重后果后修改统一,然后大家逐渐使用着共同的符号以方便交流.数字符号便自然约定下来了.但由于产生共同符号,于是在个人思考以及教育上起着很重要的作用,而这些的作用已经不在符号产生的原意,因此其他作用遮盖了符号的原始本意以及个人的概念发展过程.

通过上面我总结得出:1＋1＝2在概念上对于个人是对的,在符号上对于集体交流也是对的.在概念上表现个人的思想符合自然,在符号上表现个人的思想符合社会.当然"对"存在主观评价,而符合自然也是局部符合.

抛开形式语言，或许是这样，
1+1>=3的宇宙，因为苹果太多，所以导致生态灾难，在苹果大爆炸中毁灭了。
1+1<=0的宇宙，太痛苦了，基本上没发展起来。
只有1+1=2最稳定。
最后稳定下来的一套规则，我们语言称它逻辑，
逻辑是永恒，同时不能战胜。 似乎一切都在指明所有的意义就是“存在”。

加法运算实际上是一个二元函数，两个加数是自变量，和是因变量。每一个函数都可以看作是一个约定。
另外，加法运算还反映了“整体等于部分之和”这个命题（或者说与这个命题“同构”）。这里“整体等于部分之和”不能理解成整体的性质可以通过部分的性质推理得到，而应理解成“整体由各个部分组成”。“整体等于部分之和”这个命题不是先验的，因为没有经验我们不可能提出整体、部分、组成等概念。但它是不会错的，因为整体的定义就是“各个部分之和”。
加法运算虽然反映了“整体等于部分之和”，但不等同于这个命题，因为对加号我们可以做不同的解释。

the idea is : 不同的faithful representation之间是isomorphic的。
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恩，简单的说就是讲苹果数量这个性质抽象为数字，讲把苹果放在一起记数的过程抽象成数字的加法的过程

::把苹果放在一起记数的过程抽象成数字的加法的过程

假设我们看到一堆苹果，把它分成两部分。当对各部分进行记数时，得到两个1，再对总体记数时得到2。
当下次再对苹果记数时，如果得到两个1，再对总体记数时得到的也是2。
以后每次都是这样…………

为什么当对部分记数得到两个1时，再对总体记数得到的总是2而不是其他（比如3）呢？
这是由2的定义决定的，2就是“1＋1”的意思。所以说这是一种约定

那我们可以现在来约定2是1+1=2， 3是1+2=3。
那么为什么最开始不是1+1=3？而是2。 如果最开始本来是3因为是你约定成了2，那么1+1=3，那又为什么最开始不是1+1=2？
真实存在和形式表达不一致的感觉

to快刀兄：

不知是否存在这样的问题：上帝造了某样东东，连我们战无不胜的‘一’这个概念也不能准确描述，更遑论基于其上的‘算术’了？可能有这样的东东或者现象么？如果说没有，那么我们可以这样轻易就剥夺他老人家的这个至高无上的‘造物’的权力么？

::上帝造了某样东东，连我们战无不胜的‘一’这个概念也不能准确描述，更遑论基于其上的‘算术’了？可能有这样的东东或者现象么？

只要我们能够使用语言，就能够使用数字概念。
似乎不可能存在不能用语言描述的现象，除非极其混乱使人们不能使用概念去概括它们。事实上我们所生存的现实世界是非常有秩序的，没有任何证据表明存在如此奇怪的东西。
（思考不能用语言描述的东西几乎是不可能的，因为如果连语言都失效了，那么我们根本无法有效地思考，因为我们是用语言进行思考的。）

快刀兄
你说"似乎不可能存在不能用语言描述的现象",我可以理解.有限符号无限长度的组合是可以表达无限的事物.因此就算只有0,1两个符号也足够描述所有事物.

但同时有个很有趣的现象就是,语言可以描述事物,但如果有人没有该事物的概念,那此描述对该人将毫无意义.

最好的例子就是"味道"的描述,如果要描述,如"梨子的味道",这描述就够了,如果要更详细可以使用化学成分或者其他类似味道来描述.但如果有人没有吃或闻过梨子的味道,那所有的描述都是没有用的,他都不会知道梨子的味道真正是什么样子的.

从这个例子可以看到"概念"先于"符号"同时还有一点就是,符号的产生是集体性的,而不是个人性的.这也是我上面曾回的.

符号其实是表象,实质我们思考是用"概念",只不过因为身边接触的符号使我们将符号和"概念"划上等号.如果明白我们是使用"概念"在思考而不是用符号在思考,那思考时就不会那么执着于符号了.