镜象映射是联系辛几何,代数几何,复几何的一门学科,它假定了一对CALABI-YAU 流形的联系,这种联系建立了CALABI-YAU流形A的辛几何与 CALABI-YAU流形B的复几何之间的桥梁.它的概念来源与物理中的STRING 理论,在STRING 理论中,我们把传统的质点换为一维振动弦,数学论证表明,宇宙应该是10维的,它可以由R(4)*M所描述,其中M 是一个六维流形,它承载了弦的行为和性质,可以证明这是一个CALABI-YAU流形,即一个第一陈类是0的KAHLER流形.可以看到,可以有好多CALABI-YAU流形描述现实物理,但目前的理论哪一个是正确的.在STRING 理论中,镜象流形产生了与原流形同样的物理定理,这样,现实世界就可能被不只一个流形所描述.
当前,许多人在努力给镜象映射建立一个严格的数学基础,这些工作大多基于GROMOV 1985年引如的改变了 辛几何面貌的 J-全纯曲线理论.下面我们对J-全纯曲线理论介绍一下.在弦理论中,当一条弦移动时,它扫出了一2维曲面,此时,我们希望计算此曲面 的路径积分,然而,由与空间是无穷维的,使得计算不可能,然而,通过J-全纯曲线对曲面参数化,我们可以把问题转化到模空间去,此时,路径积分化为模空间的积分,而这个空间是有限维的.今天就讲这么多,下面是一些这方面的经典著作:

1.Fulton <<intersection theory >>

2.Dusa Mcduff ,Salamon <<J-Holomorphic curve and symplectic topology>>

3.Dusa Mcduff ,Salamon <<J-Holomorphic curve and quautum cohomology>>
另外,这方面的概念可能代数几何在几十年前就引如了,所以代数几何是满重要的.

另外,阮永斌在这方面做了大量奠基性的工作,我感觉我们30年后做几何的,提到他可能如我们现在提到Chern,他的最近与?合写的一本<<ORBIFOLD>>的书值得一读.

Can you give nice intuitive explanations for hodge numbers Hp,q?

另外,阮永斌在这方面做了大量奠基性的工作,我感觉我们30年后做几何的,提到他可能如我们现在提到Chern,他的最近与?合写的一本<<ORBIFOLD>>的书值得一读.
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阮的工作好像还没有重要到这个程度。当时很多人前前后后作了类似的工作，严格的说阮是从数学上严格化了Witten的数学物理文章。稍晚一年左右，Kontsevich从代数几何上定义了stable map,并且和Manin一起给出了Gromov-Wittten不变量的公理体系。同时Kontsevich猜测Virtual cycle的存在性，并利用C*作用和Localization计算了一些例子。一年后Li,Tian和Behrend,Fantechi分别构造出了Virtual cycle，这时GW invariant的奠基工作宣告完成。

呵呵，老陈听到这个真要气得从棺材里跳出来 －－－ 我承认阮永斌的确是挺牛的

全纯曲线的理论不好读啊! 付出不少时间, 得到的
可能是大家已经知道的很少的一点点.

：：数学论证表明,宇宙应该是10维的,它可以由R(4)*M所描述
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10维是由于近似方程引起的，更精确点，应该是十一维的。

：：Can you give nice intuitive explanations for hodge numbers Hp,q
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hodge菱形可以给出很直观的解释啊。