繁星客栈 - 初学量子,对一个问题的思考,请教老师指正

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初学量子,对一个问题的思考,请教老师指正 [文章类型: 原创]

初学量子力学,有很多问题不清楚,想向大家请教,请大家不吝指正,3Q first

2个月之前,刚开始学量子的线性代数基础的时候,看到一个题,当时百思不得其解,郁闷了颇久
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假设A和B都是自共轭算子,并且二者的对易式为:[A,B]=i.
设:A|ψ〉=a|ψ〉,即|ψ〉是A的本征值为a 的本征态;并且|ψ〉已经归一化:〈ψ| ψ〉=1.
我们现在来求〈ψ|[A，B]ψ〉=〈ψ|ABψ〉-〈ψ|BAψ〉.

因为[A,B]=i,所以上式左边=〈ψ|[A,B]ψ〉=i〈ψ|ψ〉=i;
因为A是自共轭算子,所以〈ψ|ABψ〉=〈Aψ|Bψ〉=a〈ψ|Bψ〉,而〈ψ|BAψ〉=a〈ψ|Bψ〉,因此上式右边=0.
难道矛盾?
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现在过了一段时间来看,好象有点发现问题出在什么地方了,但是不知道考虑得对不对,请教一下大家
(因为数学水平确实有限,想的东西里面欠缺了很多严格的数学证明,所以不敢说是对这个问题的试图解释,只是想到的一些可能性)

:

如果:题目条件确实是〈ψ| ψ〉归一化到〈ψ| ψ〉=i
那么这个态空间就是严格的Hilbert空间，因为| ψ〉是A在a的本征矢这个条件对| ψ〉的限制，满足如上条件的| ψ〉就只能是零矢| 0〉,但是这样的话A的本征矢就只能是|0>,这与题目中A为厄米这个前提矛盾，于是在严格的Hilbert空间里面不存在两个厄米算符对易＝i
（但是还有一种可能性，即这个Hilbert空间是0维的0空间，只有零矢量|0>存在于这个空间，这个时候A倒真正成了厄米算符，在这个极端的情况下，满足题目的要求）

但是如果我们的态空间是物理的Hilbert空间，那么它还应该包含一些广义函数在内
在这个态空间里面，A如果是厄米算符,那么它的本征矢就应该归一化到〈ψ'| ψ〉=δ(a'-a) （|ψ'>和|ψ>分别为A在a'和a的本征矢）
在这个前提下，再对上面这个问题进行分析，就是：
左边＝〈ψ|[A，B]ψ〉 = 〈ψ|i|ψ〉=i<ψ|ψ>=i〈ψ'| ψ〉|a'=a=iδ(a'-a) |a'=a
右边＝〈ψ|(AB-BA)|ψ〉=〈ψ|AB|ψ〉-<ψ|BA|ψ>
= 〈ψ'|AB|ψ〉-<ψ'|BA|ψ> |a'=a
= a'〈ψ'|B|ψ〉- a<ψ'|B|ψ> |a'=a
= (a'-a)〈ψ'|B|ψ〉|a'=a
将a'考虑成一个变量，则〈ψ'|B|ψ〉同"〈ψ'| ψ〉=δ(a'-a)" 类似，也是一个广义函数，把它定义为〈ψ'|B|ψ〉≡B(a',a),这个B(a',a)就是一个关于a'的广义函数

那么以上的左和右都是关于广义函数的运算的问题了，不能再按照常规方式来处理，以下试图在广义函数的定义下处理这个问题：
因为左边＝iδ(a'-a) |a'=a，右边(a'-a)〈ψ'|B|ψ〉|a'=a＝(a'-a)B(a'-a) |a'=a，他们看上去都是广义函数在a'=a点的"函数值"的等式，但是因为广义函数是在线性泛函意义下定义的，我们不能讨论他们的函数值

于是我们就只能在泛函意义下讨论iδ(a'-a)和(a'-a)B(a'-a) 这两个函数相等的问题
由于我的数学水平确实有限，用恒等变形把B(a',a)的表达式得到，再证明在广义函数的意义下左右可以恒等，这个任务对我来说确实太困难了，但是因为[A,B]=i 提醒我想到了[X,P]=i ,而在坐标算符的表象下P的形式为-i(d/dx) ,即∫P(x',x)ψ(x)dx=pψ(x'),∫P(x',x)ψ(x)dx=-i(d/dx')ψ(x')，由δ函数的导数的定义(δ'(x),f)=-(δ(x),f'),可以推导出<x'|P|x>=P(x',x)=i(d/dx)δ(x'-x)
这里X算符和P算符的关系与题目中A算符和B算符的关系完全是一样的，而且我们要的那个B(a',a)＝〈ψ'|B|ψ〉也与P(x',x)=<x'|P|x>一样，是满足对易=i的两个算符中的一个算符插入到另外一个算符表象的归一化关系中得到的函数。
所以把X,P带回到原来的的题目中间去，也完全符合题设条件，只是用的符号不同而已,于是我们可以完全写成B(a',a)=－i(d/da')δ(a'-a)
现在再来比较原式的左右：
左边＝iδ(a'-a)
右边＝(a'-a)i(d/da)δ(a'-a)

在广义函数的意义下，有(δ'(x),f)=-(δ(x),f'),所以（右,f）=（-(a'-a)i(d/da')δ(a'-a)，f）=-（δ(a'-a)，-i[(a'-a)f]'）=i[(a'-a)f]'|a'=a=i[f(a')+(a'-a)f'(a')] |a'=a=i[f(a)+0f'(a)]=if(a)
；（左,f）=(iδ(a'-a) ,f)=if(a')
所以在广函定义下，得到证明：左边＝右边
我们原来的式子是左右的广义函数在a'=a点的函数值，于是也可以得到证明是相等的，所以矛盾得到消除，原来的两种求〈ψ|[A，B]ψ〉的方法得到的答案是相同的。

以上就证明了在物理的Hilbert空间中，至少存在一对算符X和P,满足如上的算符A和B的要求。但是在这个空间中，坐标算符X和动量算符P是否是唯一一对满足这个要求的算符对，这个问题并没有得到证明，但是这个"唯一性"的证明对消除题目中看似存在的矛盾，不是必须的。
(实际上，坐标算符X,和动量算符P在我们的态空间的存在性，在这里也只是在物理意义上直接拿下来的，严格的说，它们是需要严格的数学证明的)

其实我觉得这个问题的要结在于：
我们的题设条件
一，A和B为厄米算符
二，[A,B]=i
三，A|ψ>=|ψ>a

对算符A,B和矢|ψ>都是做了限定的
对于基归一到δij的Hilbert空间，这个限定表现为对|ψ>限定为|0>,既而对空间和算符都产生了限定
对于归一化到δ函数的物理Hilbert空间，这个限定表现为对算符A,B的限定

其实这道题目隐藏的更深的一个问题是，题目应该给出讨论的矢量空间是什么空间这个前提条件

<x|F>=<x|∫|p><p|F>dp=∫<x|p><p|F>dp
<p|F>=<p|∫|x><x|F>dx=∫<p|x><x|F>dx
原来这就是傅立叶变换，我又被忽悠了:(

发表时间: 2006-09-27, 11:58:26