学过一点几何的人都听说过向量丛(vector bundle)这个概念。这里要说的是全纯（holomorphic)向量丛。在所有紧致复流形（compact complex manifold）中，复射影空间（projective space）恐怕算是最简单的了。即便是在这样简单的空间上，也有一些很有意思但很难的问题。

今天我们来聊聊射影空间上的秩（rank）为2的全纯向量丛。先从最简单的情形看起。

下面说到向量丛，指的都是全纯向量丛。

射影空间是一维的时候，有一个著名的定理说，它上面任何向量丛都可以写为线丛（line bundle）的直和。 线丛就是秩为1的向量丛。这个定理有很多名字，代数几何上叫做Grothendieck引理。实际上在他之前大概就有人就知道了，最早可以追朔到Hilbert，但那时是用别的语言来表述的。这个定理的证明不难，有兴趣的话可以自己想想。

现在来看2维射影空间。大概在1960年代，人们就找到不能写为线丛直和的向量丛。这方面最权威的工作是Serre的一个定理，对于一个代数曲面，他在秩（rank）为2的全纯向量丛和曲面上零维代数子族之间建立了一个联系，这个关系有一些推广，这里不详述了。回到2维射影空间，在下面这个正合列中， E是一个不可分解（indecomposable）的向量丛。
0 ---> C ---> E ---> I_p ---> 0
其中C表示平凡线丛，I_p是一个点的理想层（ideal sheaf）。

接下来就是P3了，这种情形的理论已经比较成熟。他和P3中的代数曲线分类相关。Horrocks独立的发现了Serre早先的方法，然后用它构造出P3上不可分解的向量丛。

令人惊奇的工作是在P4上，Horrocks和Mumford构造出一个c_1=5,c_2=10的向量丛，这是迄今为止知道的唯一的一个例子。利用Serre的理论，它对应于P4中一个Abelian曲面的存在性。

最后，在P5上至今还没有找到不可分解的秩（rank）为2的全纯向量丛。也没有证明它的不存在性。已知的结论是，如果Pn上存在的话，则P(n-1)上也存在，这里要求n>4。这个存在性问题和Hartshorne的一个猜想是等价的。限于篇幅，不多说了。

谢谢这两天道德兄与季兄的好文章！本文已经收录到繁星原创中了（季兄的文章完成后也将被收录）。

感谢昌海兄如此看得起我的拙劣文章。这么说并不是谦虚，而是我在写这种文章的时候总要挣扎很久，好不容易开始却草草结尾。原因是越写越觉得有更多的东西要讲，最后不知道怎么说下去。另外就是我不知道有多少人能明白我在说什么，读者稀少使得我没有动力继续写细节。比如说这次写的这个问题，即便是在全世界范围关心它的人可能也不多。所以我只提纲挈领的提了一下结论和剩下的问题。不知道这样对大家有没有用。

道德兄客气了，如果内容多的话，不一定要一次写完，可以想到一段写一段，写成连载。

现阶段读者稀少可能是不可避免的，不过物以类聚、人以群分，这类文章多了，希望今后能逐渐吸引更多高水平的网友，就像当初因你与萍踪兄的讨论而使这一论坛得以建立并凝聚人气一样。