希望有人科普一把Clifford Algebras及其表示，学物理出身的也可以，谢谢！

比如：
the 2d representation of the (1,1) Clifford algebra是什么？
the four dimensional representation of the Clifford algebra又是什么？
什么是the crucial differences between 1+1 and 3+1 fermions？
（可以以Dirac矩阵为例）
很痛苦的说

Clifford algebra 跟 Dirac 矩阵代数没有任何区别 --- 看看 Dirac 是怎样定义 gamma 矩阵及其运算性质的.

设 V 是个有限维内积空间(内积不一定正定), 有一组基 v_1, ..., v_n, 那么相应的Clifford algebra C(V) 就是由 v_1, ..., v_n 这些符号生成的代数 --- 就是说, 可以把它们乘在一起, 再加在一起, 像多项式一样 (只不过不一定能随便交换这些符号), 交换的规律就是, v_iv_j + v_jv_i = -2 (v_i, v_j).
其中 (v_i, v_j) 是内积.

举个例子, 在 C(V) 里面, 2 v_1^2 v_3 + v_1 v_3 v_1 = v_1^2 v_3 + v_1 ( v_1 v_3 + v_3v_1 ) = -|v_1|^2 v_3 - 2 (v_1, v_3) v_1.

如果 e_1, ..., e_n 是 V 的单位正交基, 那么 C(V) 就是 e_1, ..., e_n 的(不交换)多项式, 交换规律是 e_ie_j = - e_je_i ( i 不等于 j) 和 e_i^2 = -1. 这正好是 Dirac 矩阵满足的运算规律.

代数是抽象概念, 代数的表示就是把代数里面的元素用具体的矩阵表示出来, 这些矩阵要满足同样的运算规律. Dirac 最初的 gamma 矩阵就是 Clifford 代数 C(R^4) (Minkowski 内积) 的一个四维表示 (因为每个元素用一个 4*4 矩阵表示). Pauli 矩阵是 C(R^3) (欧氏内积) 的一个二维表示.

至于 C(R^2) (Minkowski 内积, 也就是 (1,1) 内积), 取单位正交基 e_0, e_1, 使得 (e_0,e_0)=-1, (e_1, e_1)=1, 那么构造 a = (e_0+e_1)/2, b =(e_0-e_1)/2, 它们满足 a^2=0, b^2=0, ab+ba=1. 现在给一个表示: 电子有两个独立自旋态: 1/2, -1/2. 现在我们让 a 把 -1/2 态映到 1/2 态, 湮灭 1/2 态, 而 b 把 1/2 态映到 -1/2 态, 湮灭 -1/2 态. 这样就得到了 C(R^2) 的一个二维表示.

非常感谢季候风兄！你讲得很清楚。

我进一步请教一下（有物理部分）：

我前面的问题来源是：我最近有一篇稿子，跟二维时空中的Dirac方程有关。设gamma^0和gamma^1是4×4的Dirac矩阵，前者的平方为单位矩阵，后者的平方为负的单位矩阵。自由电子的哈密顿量$H$取做$\alpha p +\beta m$,其中$\alpha=\gamma^0\gamma^1$, $\beta=\gamma^0$

结果审稿人有以下意见：
$\gamma^0$ and$\gamma^1$ furnish us with a representation of the Clifford algebra $\cal{Cl}(1,1)$; it is also straightforward to prove. It holds for
the four dimensional representation of the Clifford algebra the
authors strangely enough insist on using as well as for the much
more usual two dimensional representation. There is absolutely no
need to work through the gory and well-known details of specifically
3+1 relativistic quantum mechanics to prove this fact! And using the
3+1 fermions strangely reduced to 1+1 makes the interpretation much
more difficult.
in fact, the representation chosen by the authors complicates the issue and does not provide any new information. Working with the 2d representation of the (1,1) Clifford algebra is much more straightforward, and I would suggest
they consider that avenue when (if) rewriting this paper.

我猜想审稿人是否把二维时空与Clifford algebra 的二维表示混为一谈？在二维时空中，动量少了两个分量，从而Dirac矩阵少用了两个，但是每个Dirac矩阵还是4×4矩阵呀！如果是二维时空中的无质量的中微子，还有可能象审稿人说的那样。
我都不知道该如何回答审稿人了。

物理部分我不懂. 审稿人的意思好像就是让你用 2*2 gamma 矩阵.

如果你还不懂审稿人的意思, 说明我之前说得还是不够清楚. 代数是代数, 表示是表示. 同一个代数有不同的表示. 你用的是 C(1,1) 的四维表示, 审稿人觉得不妥, 建议你用大家常用的二维表示.

跟二维时空中的Dirac方程有关。设gamma^0和gamma^1是4×4的Dirac矩阵，前者的平方为单位矩阵，后者的平方为负的单位矩阵。自由电子的哈密顿量$H$取做$\alpha p +\beta m$,其中$\alpha=\gamma^0\gamma^1$, $\beta=\gamma^0$

why are you using 4 \times 4 dirac matrices in D=1+1?

spinor representation of SO(1,1) is generated by the algebra of pauli matrices.

再次感谢季候风兄和sage兄！

回季候风兄：
我明白表示的含义，只是我认为描述电子的Dirac方程应该是用4×4的Dirac矩阵写出来的。

回sage兄：
是这样的，我为了方便，假设电子运动轨迹是直线的，因此我总可以选择坐标系，使得电子的动量方向与x坐标轴平行，因此动量只有x分量，电子的Dirac方程中就只有4×4的gamma^0和gamma^1矩阵。而此时的问题，就是D=1+1问题，即时空坐标由（x,t）来描述。但是电子的相对论量子力学方程好象只能用
4×4的Dirac矩阵来写出啊！因为有正负能解，有两种自旋，二者同时考虑，只有四维表示啊！零质量的中微子好象才可能有二维表示吧！

不知道以上理解是我哪儿弄错了？

四维时空的电子有两个自由度, 二维时空的任何有质量粒子都只有一个自由度...

是这样的，我为了方便，假设电子运动轨迹是直线的，因此我总可以选择坐标系，使得电子的动量方向与x坐标轴平行，因此动量只有x分量，电子的Dirac方程中就只有4×4的gamma^0和gamma^1矩阵。而此时的问题，就是D=1+1问题，即时空坐标由（x,t）来描述。但是电子的相对论量子力学方程好象只能用
4×4的Dirac矩阵来写出啊！因为有正负能解，有两种自旋，二者同时考虑，只有四维表示啊！零质量的中微子好象才可能有二维表示吧！

不知道以上理解是我哪儿弄错了？


I see...

You could still use two dimensional representations. In that case, Dirac equation will be a set of coupled equations of two helicity eigenstates of the electron.

It is not clear to me why the referee objects. On the other hand, I don't the know question you are trying to solve either.

Do you try to spend sometime going through the Dirac algebra? if so, that is probably not necessary. you could omit it.

If you are convinced that you are right, you could say something like this

We think although our choice of four component formalism might be somewhat uncommon in this setup, we think it would not affect the physics conclusion of this paper. (say something stronger if you think 4-component is indeed easier) We agree with the referee that the presentation of algebraic details of our derivation of Eq.... is probably not necessary for the experts in the field. Therefore, we made the corresponding abridgement in the text.

这个不如找本书看看，比如Atiyah的某一论文。

Atiyah, Bott, Shapiro, Clifford Modules

谢谢大家，尤其要感谢季候风兄和sage兄，你们让我知道应该如何回复审稿人了