原文：http://math.ucr.edu/home/baez/quantization.html

August 11, 2000

此处只翻译了几何量子化的部分，原文后面的对于基本术语的解释没有翻译。

几何量子化对于理解经典物理和量子物理之间的关系是一个奇妙的工具。但是，除非你能够成为一个专家，否则考虑这方面的问题可能会对立的大脑产生严重的伤害。这里我们给出一个简单的介绍。如果要懂得其中的细节，那么就需要参考sci.physics.research中的相关论文。

step1. 我们由一个经典的相空间出发，从数学上说，这是一个赋予了辛结构$\omega$的微分流形，
也即辛流形$M$.

step2. 接下来我们作预量子化。在辛流形$(M,\omega)$上给定一个Hermite线丛$L$,并在$L$
上赋予一个$U(1)$联络$D$,我们要求$D$的曲率形式等于$i\omega$.$L$称为预量子化线丛。

警告，只有在$\omega$满足Bohr-Sommerfeld条件时，这个步骤才可以进行下去。BS条件是指$\omega/2\pi$定义了一个整上同调类。当这个条件满足时，$L$和$D$被决定到相差一个同构，但是不是以典型的方式。

step3. 预量子化线丛$L$的平方可积的截面构成一个Hilbert空间$H_0$,称为预量子化空间。这个空间太大了，它并不是我们最终需要的量子化空间。但这是通向正确的方向的一个步骤。特别的，我们可以预量子化经典的可观察量。事实上，我们有一个映射，将$M$上的光滑函数映射为$H_0$上的算子，
它将两个函数的Poisson括号映射为算子的换位子。正如我们所希望的，这个映射中将要包含联络$D$.

step4. 为了将预量子化的Hilbert空间$H_0$减小的适当的大小，我们需要选择一个极化$P$.
我们来定义极化$P$.对$\forall x\in M$,极化过程将取定$M$的切空间的复化空间$T_xM\otimes\Bbb{C}$的一个子空间$P_x$.我们定义量子Hilbert空间，$H$,使得对于任意$H$中的元素$f$,$f$沿着$P_x$中任意方向$v$的协变导数等于$0$,即$D_vf=0$.

警告，这样的极化过程$P$的存在性需要一些重要条件。

其一，这些子空间$P_x$应该是迷向的，即复化后的辛形式限制在$P_x$上等于0.

其二，$P_x$应该是Lagrange子空间，也即是说$P_x$是极大迷向子空间。

其三，这些子空间对于$x\in M$而言，应该有较高的光滑性。

其四，$P_x$应该构成一个可积分布。

step5. 最容易理解的极化是``实的极化"。亦即，极化子空间$P_x$取成$T_xM\otimes\Bbb{C}$的实部$T_xM$.

step6. 为了理解上面的过程，我们需要例子。第一个例子就是量子力学的Schr\"odinger量子化。实际上，在Schr\"odinger量子化过程中，我们将经典的相空间$T^\ast X$作为辛流形$M$,并将$M$称作经典构形空间。现在，我们取量子Hilbert空间$H$为$V$上的平方可积函数空间。极化过程取作沿着$M=T^\ast V$的纤维方向的子空间。抛开技术上的细节，经过上面的一般过程，这样得到的正好就是Schr\"odinger量子化。

step7. 另一个很好的例子是Bargmann-Segal表示。现在，我们取$M=\Bbb{C}^{2n}$,其上赋予自然的线性辛结构。而极化过程为Kaehler极化。这样导致的量子Hilbert空间由下述函数构成，在$M$上给定一个中心在原点的Gauss测度，而$H$中的函数为关于这个Gauss测度平方可积的解析函数。

step8. 最后一个步骤是量子化经典可观察量。量子化过程将经典力学中的可观察量对应到量子Hilbert空间$H$上的一个线性算子。不幸的是，如果我们要求将Poisson括号对应到算子的换位子，即对易子，那么我们不可能将所有的可观察量都量子化。但是，注意到，在预量子化这一个步骤中，上述关系是被保持的。因而，到这个地方，量子化就变得很微妙，因而我们简短的介绍只好到此为止。作为补充，我们加一个注释。我们在此遇到的困难是因为量子化不是一个函子。量子化是从辛流形的范畴到Hilbert空间的范畴的一个对应关系，但是这个对应关系并不是自然的，亦即不是函子式的。函子是保持结构的变换。

但是，除非你能够成为一个专家，否则考虑这方面的问题可能会对立的大脑产生严重的伤害。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Baez 太自恋了, 哈哈

能看得懂此文的人肯定看得懂原文，单纯的翻译意义不大啊。

我对辛几何一窍不通，不献丑了。

What does it suppose to solve? why is it better than the usual quantization?

They develop this system [there is a more advanced "Deformation Quantization" as well] for a more general approach to quantization and the mathematics behind it. I think they hope it could shed some light on more difficult problems, such as the quantization of gravity as well. If we have better understanding of "quantization", we may have a better chance.

sage:

数学家们想从数学上解释量子化而已, 所以最好是看做数学理论. 事实证明正则量子化的确可以做成数学理论, 就像 kanex 所说, 有几何解释, 有代数解释.

"几何量子化" 主要研究怎样从一个有限维辛流形 M 得到一个 Hilbert 空间 H, 使得 M 上的光滑函数对应到 H 上的算子, 使得算子之间的对易关系由函数之间的 Poisson 括号决定. 数学家主要关心拓扑非平凡的 M. 这个理论还是挺有意思的, 比如它可以解释为什么一个紧李群的不可约表示是一个量子对象 --- 这些表示是由李群本身(或者其李代数) 做某种 "量子化" 得到的有限维 Hilbert 空间. 在数学上这个关系叫 Borel-Weil-Bott 定理.

形变量子化历史很长, 也是来源于 Heisenberg 测不准关系. Kontsevich 的结果是说, 一个 Poisson 流形的形变量子化在某种意义上是唯一的. 但是他又提到, Poisson 流形的形变量子化看起来跟普通的量子力学似乎没有太大关系, 而跟 "拓扑弦" 理论更接近一些.