指标定理在中国的萌芽：纪念陈省身先生95诞辰 （一）
张 伟 平
今年的10月28日，是陈省身先生诞辰95周年。长久以来一直想写些什么作为纪念，但
苦于找不到适当的题目。前几天与一位多日不见的朋友聊天，谈起陈先生及其对中国数
学的贡献，朋友提起说陈先生为《阿蒂亚（Atiyah）论文全集》的中国大陆发行本撰写
的前言似乎还没有中文翻译，何不翻译出来交《数学译林》发表？这突然提醒了我，是
啊，指标定理及相关理论在中国的萌芽和发展，陈先生不正是最初的先驱者和后来的推
动者吗？就写写这个吧。 1．指标定理简介 这里所谓的指标定理，是指由阿蒂亚、辛格
（Singer）于1963年证明的，以他们的名字命名的定理。它被公认为是二十世纪最重要
的数学成就之一。有不少人认为如果在二十世纪中挑选出两个最伟大的数学定理，那么
其中之一就应该是阿蒂亚-辛格的指标定理（另一个是外尔斯（Wiles）证明的费马
（Fermat）大定理）。它的大意是说：对一个封闭的弯曲空间上的一类微分算子（称为
线性椭圆微分算子），可以定义两个整数：一个是用分析办法定义的，称为分析指标；
另一个是用拓扑办法定义的，称为拓扑指标。在这个情形下，阿蒂亚-辛格指标定理可以
叙述为：“对任何一个线性椭圆微分算子D，下面的公式成立： D的分析指标 = D的拓扑
指标。”
从这个定理的字面上就可以大致了解，本质上它在数学的两大领域—分析与拓扑—
之间建立起了一座内在的桥梁。像这样的将两个看似无关的领域紧密结合起来的结果，
其重要性及应用的广泛性是显而易见的。从另外一个角度讲，“D的分析指标”是通过分
析的方法决定的一个“整体”的不变量，而“D的拓扑指标”经由所谓的陈省身-魏依
（Chern-Weil）理论可以有一个“局部”的表达式。这样上述的公式就可以有另外一种
更抽象同时也更具哲学意味的形式： “整体 = 局部的叠加”。 这里尽管“局部”的量
可以任意的变化，但是通过“叠加”（积分）后得到的整体量却是固定不变的！这种
“万变不离其宗”的要旨体现出惊人的美感，给人以强烈的震撼。 如此优美并显然有重
要意义的定理在数学中的地位自然举足轻重。例如它就包含了当时微分几何学、拓扑学
以及代数几何学中的诸多大定理如高斯-博内特-陈省身（Gauss-Bonnet-Chern）定理、
希策布鲁赫（Hirzebruch）符号差定理、希策布鲁赫-黎曼-洛赫（Hirzebruch-Riemann-
Roch）定理等等为其特例。无怪乎我国指标定理专家虞言林教授感叹：指标定理像个大
太阳，许多大定理都围绕着它转。而著名数学家哈尔莫斯（Halmos）在其综述报告《数
学的进展慢下来了吗？》中的评论或许更能说明问题：“这项工作的成果是最深刻和最
广泛的。对作为报告人的我来说，它是这份报告中最铁的部分。它们不仅是一个定理，
而且是一种理论、一个领域、一种观点，这种观点进入数学的许多部分，同时也受它们
的影响。在写到过去
50年来微分几何的惊人成就时，奥瑟曼（Osserman）称阿蒂亚-辛格指标定理为
‘分析、拓扑与几何的美妙综合，特别导致对高斯-博内特定理的新看法：不是作为孤立
的结论，而是一大群事物中的一个’。” 指标理论的创始人阿蒂亚、辛格理所当然地获
得了国际数学界的褒奖：阿蒂亚获得了1966年的菲尔兹奖；阿蒂亚和辛格共同获得了
2004年的阿贝尔奖。

据说虞言林对中国数学最大的贡献是带出了张伟平这个学生。