请教季候风兄等数学高手一道数学题
设i是虚数单位，δ/δt表示对t的偏微分，假设有偏微分算子H=iδ/δt，其中t的取值范围为：
(-∞,-T]∪[+T,+∞), T>0
又设D(H)表示算子H的域(domain)，如果函数ψ(t)∈D(H)，则ψ(t)平方可积，并且满足
ψ(-T)=ψ(T)=0
我的问题是：我认为算子H=iδ/δt应该存在自共轭扩张（即正负deficiency indice相等），而且这个算子还是essentially self-adjoint（即存在唯一的自共轭扩张），但我不知道应该如何严格证明。
希望这里的数学高手们不吝赐教，谢谢！
| 论坛嘉宾: 萍踪浪迹 gauge 季候风 |
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星空浩淼  发表文章数: 799
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 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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星空浩淼 发表文章数: 799
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补充一下：Of course，这个算子属于某个Hilbert空间中的稠密子集。
One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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季候风 发表文章数: 262
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首先一个算子是不是自伴强烈地依赖于 D(H). 所以首先要精确地给出 D(H).
一般来说都会取 D(H) 为在任何闭区间上都绝对连续的函数. 我也不是很熟悉这里面的细节. 我建议你去读 Yosida 的泛函分析或者 Reed & Simon 的现代数学物理方法关于自伴算子的部分, 这两本书都有相关的例子.
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星空浩淼 发表文章数: 799
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D(H) 为在任何闭区间上都绝对连续的函数.
------------------------------------------ 这个要求是满足的。 这个问题需要充分熟悉这方面的内容的前提下，又有足够的推算能力，我缺少这方面的推算训练。你说的书我都有。我很希望有一本研究生水平上的泛函分析习题集 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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季候风 发表文章数: 262
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仔细研究一下这两本书上相关的几个例子可能就有些想法了.
比如同样的算子作用在 L^2(R) 和 L^2(0,1) 并且满足一定边界条件的情形
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星空浩淼 发表文章数: 799
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谢谢季候风兄，我如果自己解决，需要花比较长的时间，考虑到这个问题对于专门搞泛函分析的人而言轻而易举，所以才把问题放在这里，呵呵。
One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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萍踪浪迹  发表文章数: 1051
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幸好我不是搞functional的，不然标题里就要直接抓我回答了，嘿嘿
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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季候风 发表文章数: 262
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实在是惭愧, 有负所望
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gauge  发表文章数: 596
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无界算子自伴与否和大空间有关。一般而言与量子力学有关的微分算子的定义域总是取为某个平方可积函数空间，即L^2[a,b].但是这些L^2空间还可以有不同的选择，比如在一个端点等于0的函数空间。对于微分算子id/dt,就简单的取做最大的L^2空间就可以了。张恭庆的泛函分析讲义一书的下册有这些内容，见该书下册第105页。我个人认为这是泛函分析研究无界算子的一个motivation.
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萍踪浪迹 发表文章数: 1051
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：：实在是惭愧, 有负所望
=============================== Einstein这样的大牛回答不出来的问题都多了去了，因为有些问题本来就找不到答案，比如终极理论，至少现在没有任何人能够回答。 所以根本就没有惭愧的必要。 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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星空浩淼 发表文章数: 799
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实在是惭愧, 有负所望 。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 季兄过谦了，我问的问题过于具体和特殊，一般教材都没有现成的答案，回答不上很正常，况且你也不是专门搞泛函分析的。 如果有中学生问我数学问题，我多半答不上来，我觉得这是正常的。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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那一剑的寂寞 发表文章数: 193
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星空浩淼，你这个问题在张恭庆的泛函分析（上下两卷）或者童裕孙的泛函分析的教材（复旦的研究生教材）里一定有．
天下风云出我辈，一入江湖岁月催；
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星空浩淼 发表文章数: 799
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那一剑的寂寞，你说的这两本书我都有，还有基本英文版的书，但找不到现成答案啊！
One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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萍踪浪迹 发表文章数: 1051
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张恭庆的泛函分析？很久很久以前，买了后一直没有看……
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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Re: 请教季候风兄等数学高手一道数学题