费米子本来不应该有BEC现象的。但是如果费米子配对，据说就成为玻色子。
因而可以有BEC现象。我的问题是，玻色子两个特征，一个是自旋为整数，
从这个意义上来看，费米子配对后如果是零自旋，当然也可认为是玻色子。
另一个是玻色子服从对易关系，而费米子服从反对易关系。一对费米子配对，
即使配对使自旋为零，由两个费米算符构成的新算符也不满足玻色子对易关系，
从这点讲，费米子配对不应该是玻色子，因而不能有有BEC现象。实验事实是
费米子配对的确可有BEC现象。那么这在理论上怎么说呢？


玻色子对易关系不必满足，只要总自旋为整数，就可以有BEC现象，这不对吧？

由两个费米算符构成的新算符也不满足玻色子对易关系

show me why this is true

这个在Shriffer的书中有(Theory of SUperconductivity)。可是我现在没有那本书。大概就是他定义一个对算符(b=c^+c)
然后代入玻色子对易关系[b^+,b]，对易出来的结果与玻色子不一样。

建议你看看这个讲义中的9.4节，里面对于包括任意子集团在内的玻色子，费米子集团的对易关系都做了简明易懂的说明。
http://www.theory.caltech.edu/~preskill/ph219/topological.ps

一般的结论就是：对于n个自旋为p的粒子集团，它们的自旋是n^2 p。
如果一个费米子的自旋是1/2,那么两个这种费米子组成的费米子对的自旋应该是4*1/2=2，相当于一个玻色子。

谢谢，我读一读试试，看是不是能够理解

我在读别人文章时总是感到不太容易理解：-)

不过，在超导里，两个电子配对的自旋应该为零而不是2。
如果这篇文章一定要求两个电子配对后的自旋为2才能成为
玻色子的话，那么只能说库柏对不能算是玻色子，因而也不能
有BEC？

也许是我对这个讲义中的内容理解有误吧。
cooper对应该算是玻色子。

这正是我不理解的问题，怎么(还是有人已经)证明库柏对服从玻色子对易关系？

BEC的出现在数学上是因为玻色子对易关系，没有玻色子对易关系，没有BEC。
因此如果库柏对不服从玻色子对易关系，就不能有BEC。这个矛盾怎么解决？

>这正是我不理解的问题，怎么(还是有人已经)证明库柏对服从玻色子对易关系？

I will say it again: before you speculate, the first exercise you have to do is to convince yourself, and show us, what the commutation relation for Cooper pair.

I could tell you it is just like bosons. However, you probably won't believe me unless you tried it yourself.

我得找那本书来看看，根据我的记忆，
库柏对算符是不服从玻色对易关系的。

找到了，在Shriffer的诺贝尔奖演说上有，sage可以去下载吧？
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1972/schrieffer-lecture.html
在第六页的第九式下面，Shriffer说了对算符,b^+_k=c^+_{k\uparrow}c^+_{-k\downarrow}
不满足玻色统计,因为这个对算符的平方为零,(b^+_k)^2=0。

元江兄可能还是没有领会sage兄所说的意思。

假设费米场量A，B，C，D都是彼此反对易的，例如AB=-BA,CA=-AC,CB=-BC,等等，那么显然有：
(AB)(CD)=(CD)(AB)
即费米对就是对易的，遵从玻色子对易关系。

另外，两个自旋1/2的粒子对，可以构成一个自旋为0的单态，还可以构成一个自旋为1的三重态（即自旋投影为-1,1,0），怎么可能构成自旋为2的粒子呢？明显违背角动量守恒嘛！除非两个粒子彼此绕对方旋转，从而两个粒子的轨道角动量成为粒子对质心的自旋角动量。

我的问题是不清楚。

我要关心的是两个电子组成的库柏对，自旋为零，算不算玻色子？
其它自旋的我先不关心，因为库柏对是我要了解的问题。

现在看来不算，因为上面说过了，库柏对算符的平方为零，
这是费米子的性质。这也说明，不能有许多库柏对处于同一个态。
因此不能有BEC。

我记得超导、超流这些现象，都可以看作广义意义上的BEC。

两个电子组成的库柏对，是依靠两个电子之间交换声子来维持的（所以在自由空间中两个电子就不可能
组成库柏对）。当许多库柏对试图在动量空间中凝聚时，如果破坏了原有的声子交换，就不能产生BEC。
形成超导现象的最理想温度是绝对零度，此时所有库柏对都处于绝对零度，这本身难道不正是一种BEC吗？（我这里是随口而说的，具体地要翻翻书才知道）

我倒是很想知道所谓‘原子激光’（不懂物理，这个术语可能不准确，BEC态相干原子束）方面的东东，有达人可否介绍一二。

我讲的BEC是有严格定义的，就是通常统计物理里由
玻色子对易关系导出的BEC。

现在的问题是这样：

库柏对肯定没有严格意义上的BEC，因为对算符平方为零，
这是费米子特征，许利弗强调了这一点。实际上正是因为
库柏对没有严格意义上的BEC，才会有一个稳定的收缩的
费米球。因此，如果一个超导体以库柏对为超导机制，那
是没有BEC的。这两者互相排斥。

库柏对只是费米子配对中的一种，不排除有其它费米子配
对方式，使得配对后的费米子对在统计性质上与玻色子一
样，因而有BEC。现在观察到的费米子一类的原子有BEC，
可以这样解释。但这只是一种猜想吧，我没听说谁证明了
这一点。

(b^+)^2 =0 means that I will never two Cooper pairs created in the same state, ie, with their fermion constituents having the identical momentum.

In this sense, super-conductor is not a BEC in the strictest sense. On the other hand, in this sense, we never have any real BEC at all, since we do not have fundamental bosonic states that can be cooled down and squeezed.

However, when people talk about BEC, such as those in the BCS, it never refers to an exact BEC. It is always a condensate in quantum numbers which dominantly determines the property of the state. Therefore, it is always justified to treat it as some approximation bosonic degrees of freedom.


It is probably useful to decompose the momenta the cooper pair into K+p and K-p, where K is momentum of center of mass of the pair. Condensation of Cooper pair is in the sense that all of them have the same K, certainly not the same p. For BCS, the scale of p, or their differences is about the binding energy of the pair, which is about 10^-4 eV.

The forming of BCS phase depends on the fact that 2 electron momentum are correlated, ie., they form a collective excitation, with momentum K (=0). Then BEC forms in the sense that there are a lot of these excitations of the same K (all with different p).

In this case, the quantum number of which dominantly determines the property of the state is the momentum of the electrons, not the small part of it due to binding energy. Therefore, treating the problem with a bosonic collective excitation (therefore ignoring the p) is a very good approximation.

呵呵，一语点醒梦中人，多谢sage。

我一直把质心动量丢在一边，从来也不去考虑：-)
你这一点，我明白了。什么时候有空，请你喝酒。：-)

sage兄回答得真好！