１，动量和坐标算符都是态空间的厄米算符，它们的本征矢构成态空间的表象，一个不含时系统的哈密顿算符也是态空间的厄米算符，它的本征矢也构成态空间的表象；
但是：坐标坐标和动量算符的本征值是连续谱的(而且是3个取一切实数值连续谱的厄米算符，才构成ECOC),所以空间是实无穷维的；但同时，有些(例如束缚系统的)哈密顿算符的本征方程的本征值取分立实数值，是分立谱。因为他们都是厄米算符，所以它们的本征矢都是态空间的完备基，同一个空间能够取到分立的和连续的两类基，在数学是否存在矛盾？

２，A,B都是矢量物理量的算符；[A,B]的展开式是怎么定义的？

１，动量和坐标算符都是态空间的厄米算符，它们的本征矢构成态空间的表象，一个不含时系统的哈密顿算符也是态空间的厄米算符，它的本征矢也构成态空间的表象；
但是：坐标坐标和动量算符的本征值是连续谱的(而且是3个取一切实数值连续谱的厄米算符，才构成ECOC),所以空间是实无穷维的；但同时，有些(例如束缚系统的)哈密顿算符的本征方程的本征值取分立实数值，是分立谱。因为他们都是厄米算符，所以它们的本征矢都是态空间的完备基，同一个空间能够取到分立的和连续的两类基，在数学是否存在矛盾？

There is nothing wrong with it. Certain properties of a state is quantized, other are continuous.

２，A,B都是矢量物理量的算符；[A,B]的展开式是怎么定义的？

You have to specify all [A_i, B_j].

sage兄的意思是：对易关系定义为矢量的所有分量之间的对易关系。

如果用坐标表象和动量表象, 相当于把理论的 Hilbert 空间实现为 L^2 (平方可积函数空间).
束缚系统的 Heisenberg 表象相当于把 Hilbert 空间实现为 l^2 (平方可加序列空间).
这两种空间是同构的, 所以在数学上没有问题.

在数学上的小小问题的是, 坐标和动量算符的本征矢量 (delta 函数) 不是 L^2 函数而应该看做广义函数 --- 广义函数一般代表趋于极限的物理状态 (比如自由粒子), 仍然是有物理意义的.

再补充几句: 一个矢量空间的 "基" 可以有多种含义. 一种是线性基 --- 空间里的所有矢量都能写成这些基矢量的 "有限线性组合", 这种基一般用于有限维空间或者对代数问题的研究; 一种是 Hilbert 基 --- 所有矢量都能写成这些基矢量的(收敛的)"可数线性组合", 这种基一般用于无穷维内积空间或者对分析问题的研究; 还有一种是坐标和动量表象里使用的基 --- 相当于在更大的空间里选取的一些矢量, 使得原来空间里的矢量可以写成这些基矢量的 "积分" ( "不可数线性组合" )

同一个空间可以选取不同 "含义" 的基 (而不仅仅是不同的基). 物理学家通常不加以区分, 怎么方便怎么用.

我觉得奇怪的是你怎么会有这么多关于严格化的问题. 看来你不适合学物理 :) 来学数学吧......

谢谢 :)
谢谢季候风老师，谢谢sage老师和星空老师。



Quote:
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You have to specify all [A_i, B_j].
; sage兄的意思是：对易关系定义为矢量的所有分量之间的对易关系。
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不同矢量分量之间的对易子在最后得到的那个算符里面的矢量分量是什么呢？
难道是这个意思……矢量算符的对易是一个张量？





Quote:
_______________________________________________________________________________如果用坐标表象和动量表象, 相当于把理论的 Hilbert 空间实现为 L^2 (平方可积函数空间).
束缚系统的 Heisenberg 表象相当于把 Hilbert 空间实现为 l^2 (平方可加序列空间).
这两种空间是同构的, 所以在数学上没有问题。

再补充几句: 一个矢量空间的 "基" 可以有多种含义. 一种是线性基 --- 空间里的所有矢量都能写成这些基矢量的 "有限线性组合", 这种基一般用于有限维空间或者对代数问题的研究; 一种是 Hilbert 基 --- 所有矢量都能写成这些基矢量的(收敛的)"可数线性组合", 这种基一般用于无穷维内积空间或者对分析问题的研究; 还有一种是坐标和动量表象里使用的基 --- 相当于在更大的空间里选取的一些矢量, 使得原来空间里的矢量可以写成这些基矢量的 "积分" ( "不可数线性组合" )
同一个空间可以选取不同 "含义" 的基 (而不仅仅是不同的基). 物理学家通常不加以区分, 怎么方便怎么用.
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大概地理解了
但完整的细节只有等到把明年1月把学校考了，然后躲到图书馆慢慢啃完泛函之后才能够全部消化了:)

但是现在可以放心地继续向后面学了　:-)
再谢谢季候风老师一次 :)


Quote:
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我觉得奇怪的是你怎么会有这么多关于严格化的问题. 看来你不适合学物理 :) 来学数学吧......
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嘿嘿，:-P
量子力学这个东西太缥缈，任何"物理的"东西都觉得信不过；觉得只有严格的数学才值得信任:)

但是专门学数学就...没有什么信心啊:(

Quote:
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在数学上的小小问题的是, 坐标和动量算符的本征矢量 (delta 函数) 不是 L^2 函数而应该看做广义函数 --- 广义函数一般代表趋于极限的物理状态 (比如自由粒子), 仍然是有物理意义的.
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这个问题我的理解方法有点搞笑:-)
( 真正是有点搞笑，估计还有点离谱，只有明年认真学数学的时候再来改正了 :-P )


我(扭曲地)理解是：
　　广义函数是用基本空间的线性泛函定义的，正则广函构成基本空间的对偶空间，可以用来定义基本空间的内积；如果把基本空间扩大为一个更大的函数空间，包含基本空间的函数以及用基本空间非正则广义“函数”，定义这个空间内函数的内积不再是一个确定的复数，而是这个空间内包含的所有的函数的函数值，包括像delta函数这种函数的“函数值”；这样的话这个定义了“内积”的“函数空间”似乎形式上可以包含delta函数这种广义函数在内了，而且这个空间里面，正则的广函和奇异的广函就可以统一地用内积来表示了。
　　包含动量本征态或者坐标本征态的那个物理的hilbert空间，就可以想成一个和这种“函数空间”同构的抽象的矢量空间。




严格性暂时追求不了了:( 　……

欧……
还有，上次那个问题忘记谢谢了 :-)

不同矢量分量之间的对易子在最后得到的那个算符里面的矢量分量是什么呢？
难道是这个意思……矢量算符的对易是一个张量？
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在量子场论意义下的矢量 (A_0, A_1, A_2, A_3) 就是在Lorentz 变换下这样协变的一组算符:
U(L) A_i U(L)^{-1} = L^j_i A_j


然后来看看 [A_i, B_j] 的变换规律,
U(L) [A_i, B_j] U(L)^{-1} = L^k_i L^t_j A_k B_t - L^t_j L^k_i B_t A_k
= L^k_i L^t_j [A_k, B_t]

所以 { [A_i, B_j] } i,j=0,1,2,3 这组算符是二阶反对称张量.


嘿嘿，:-P
量子力学这个东西太缥缈，任何"物理的"东西都觉得信不过；觉得只有严格的数学才值得信任:)

但是专门学数学就...没有什么信心啊:(
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呵呵. 找个学数学的同学讨论一下, 就能知道哪些东西是数学上有严格表述的, 哪些是没有的.


广义函数是用基本空间的线性泛函定义的，正则广函构成基本空间的对偶空间，可以用来定义基本空间的内积；如果把基本空间扩大为一个更大的函数空间，包含基本空间的函数以及用基本空间非正则广义“函数”，定义这个空间内函数的内积不再是一个确定的复数，而是这个空间内包含的所有的函数的函数值，包括像 delta函数这种函数的“函数值”；这样的话这个定义了“内积”的“函数空间”似乎形式上可以包含delta函数这种广义函数在内了，而且这个空间里面，正则的广函和奇异的广函就可以统一地用内积来表示了。
　　包含动量本征态或者坐标本征态的那个物理的hilbert空间，就可以想成一个和这种“函数空间”同构的抽象的矢量空间。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

想得太多了. 思而不学则殆, 呵呵

教训得是 *_#!
i will be good good studying...from now on :)

矢量算符的对易得到张量大概理解了...^_^
矢量算符是为了紧凑表示三个分量算符构成的ECOC而写的形式，其实它代表了三个地位平等的算符，所以两个矢量算符做对易，就必须表示成每个分量之间的对易

只是不知道这个张量算符具体在什么地方会用到 :-? ,大概学到以后就知道了吧.

3Q :-)