金茨伯格-朗道方程是非线性的，它的线性部分与
薛定锷方程一样(带典粒子在外磁场的运动)，后面多一个非
线性项。

自金茨伯格-朗道方程提出以来没有人严格解出过这个非线性
偏微分方程。一般都是把它线性化(就是把非线性项丢掉)。

我的问题是：

把一个非线性方程线性化后，我们就会有解的迭加原理，这是线性
微分方程的特点吧？可是，原来的非线性微分方程并没有这个解的迭加
性。这说明，我们采用的线性化不仅仅是让我们求出一个在空间形状上
与原解近似的解，而且还引进了新的数学性质，这在数学上是允许的么？
我觉得这里面有点问题的。

其次，如果一个线性化后的方程有某种对称性，那么这个对称性在原来的
非线性方程中也有么？

线性化不是这样做的吧，不会直接将非线性项丢掉。

通过线性解的无穷迭代，可以给出非线性的近似解吧

非线性项不会直接抛弃，否则问题就变得trival了，没有意义了。元江兄可能哪儿看错了，一般初始从线性解出发，在迭代过程中跟非线性有关的参数信息包含进去了。

的确是把非线性项丢掉的，如果你见过不同的线性化方案，
不妨贴上来。

把非线性项丢掉这种做法应该叫做解相应的线性方程，而不是线性化。比如，设P为一个线性微分算子，则Pu=f就是一个非线性方程。去掉非线性项f这个叫做齐次化而不是线性化。线性化应该是将微分算子P(不一定线性)看作无限维函数空间之间的一个映射，对这个映射线性化，也就是它的切映射。

你说的这个我看不太懂，不过不要紧，名可名，非常名：-)

我说的线性化也好，线性近似也好，总之，这个意思是指
丢掉的三次方项。我的问题还是不变，丢掉三次方项后，微分方程变
线性的，因此有了解的迭加，这是原来的非线性方程没有的。这个解的迭加性质
该不该用？

Is the non-linear term small?

回顾一下微积分是怎么处理曲线的，办法很简单，就是用切线来近似。一般来说，微分方程的最高阶部分是起决定作用的。3阶方程一般来说很困难，没有多少重大结果。因为3阶方程与椭圆（或正定等）没有任何关系。一个3阶方程，最高阶部分非线性，低次项是线性的，现在你去掉最高阶的部分。从方程的理论来看这种做法很值得怀疑，或者说没什么价值。比如说，二阶方程，au_{tt}^2+u_t=0,a很小，u为函数，t为自变量，u_{tt}^2表示u的2阶导数的平方。如果我们去掉非线性的2阶项，得到u_t=0,因而u为常数。由此可以看出随便去掉即使很小的项也不大可取。

是这么说的，非线性项小所以可以丢掉。

我的问题就在这里。我们不妨设想一个不丢掉非线性项的解是存在的，
它的形状是个钟形，我们把非线性项丢掉，得到一个近似解，我们假定
这也是个钟形，不过和那个不丢掉非线性项解出来的钟形不全吻合，有些微
的差别。这个我能想得通，这也是近似的意义。可是把非线性项丢掉后出来
的解的线性迭加原理就有问题了吧，因为这个性质是非线性微分方程没有的，
这已经不是近似了，这是给方程的解引进了新的数学性质，也就是引进了新
的物理性质。

呵呵，我有一瓶正宗的五粮液，什么时候来喝酒？

上面这个是回sage的。

gauge说的从数学上来讲也许不错，但是把非线性项丢掉的举动可是
通向诺贝尔奖的第一步噢。：-)

可是把非线性项丢掉后出来
的解的线性迭加原理就有问题了吧，因为这个性质是非线性微分方程没有的，
这已经不是近似了，这是给方程的解引进了新的数学性质，也就是引进了新
的物理性质。

Well, in this case, linear superposition will still be approximately correct, with violations proportional to the perturbation. That is, superposition of linear solutions, with perturbation included, is still going to be an good approximation of the solution of the full non-linear equation. Therefore, it is a consistent expansion.


呵呵，我有一瓶正宗的五粮液，什么时候来喝酒？

Maybe in several weeks. thanks. :-) Is Changhai back? We could get together again.

你的说法是有道理的，可是我碰到具体问题时就有点想不通。
我总觉得这个线性迭加引入了格外的条件，远非议个近似。
对了，sage，换个问法，丢掉非线性项会不会引进格外的对称性？

站长回来了，最近有空过来么？

你的说法是有道理的，可是我碰到具体问题时就有点想不通。
我总觉得这个线性迭加引入了格外的条件，远非议个近似。
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The true solutions of the full equation will not satisfy linear superposition. On the other hand, true solutions will satisfy linear superposition approximately. This means that if you just take solutions of the full equation, linearly adding them, the result won't be a solution, but it is an approximate solution, with error of precisely the order of the small non-linear term. This small effect is exactly the new thing introduced by assuming linear superposition. It is just an good approximation.

好吧，这个回答虽然还不够满意，但肯定值得五粮液的，等你来喝。:-)