关于算子范数
在任何一个有限维的赋范线性空间里，范数是否都是坐标分量的连续函数？
算子范数的概念是由矩阵范数和向量范数的相容性引起的，设A 是一个n阶的复矩阵，X=(x_1,...,x_n)^T is a victor in C^n,且在C^n已经规定了向量的某种范数||X||,则与向量范数||X||相容的矩阵范数可以取作向量AX的范数的最大值，即：||A||=Max||AX|| ,X belongs to{X|||X||=1}，我们称A的这种范数为A的算子范数。这个定义（准确的说应该是一个定理，我只不过拿它来做其定义）必须要求Sup||AX||=Max||AX||（for every ||X||=1），也就是等价于集合{||AX||，X的范数为1}是一个闭集，只有这样||AX||才能达到上确界，即存在一个X_0,and ||X_0||=1,such that Sup||AX||=Max||AX||（for every ||X||=1）。那么现在的问题是如何证明 集合{||AX||，X的范数为1}是一个闭集呢？
| 论坛嘉宾: 萍踪浪迹 gauge 季候风 |
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那一剑的寂寞  发表文章数: 193
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 天下风云出我辈，一入江湖岁月催；
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季候风 发表文章数: 262
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在任何一个有限维的赋范线性空间里，范数是否都是坐标分量的连续函数？ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 是。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 算子范数的概念是由矩阵范数和向量范数的相容性引起的， ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 矩阵范数难道不是一种算子范数？ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 设A 是一个n阶的复矩阵，X=(x_1,...,x_n)^T is a victor in C^n,且在C^n已经规定了向量的某种范数||X||,则与向量范数||X||相容的矩阵范数可以取作向量AX的范数的最大值，即：||A||= Max||AX|| ,X belongs to{X|||X||=1}，我们称A的这种范数为A的算子范数。 这个定义（准确的说应该是一个定理，我只不过拿它来做其定义）必须要求 Sup||AX||=Max||AX||（for every ||X||=1），也就是等价于集合{||AX||，X的范数为1}是一个闭集，只有这样||AX||才能达到上确界，即存在一个X_0,and ||X_0||=1,such that Sup||AX||=Max||AX||（for every ||X||=1）。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 不一定非要闭集才能达到其上确界 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 那么现在的问题是如何证明集合{||AX||，X的范数为1}是一个闭集呢？ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 有限维赋范空间 V 总是跟同一维数的标准欧氏赋范空间线性同胚 （证明应该可以在泛函教材里找到），而 V 上线性变换 A 被这个同胚共轭为欧氏空间上的矩阵 A，从而是连续的 （用 Cauchy 不等式很容易证明 A 的有界性）。 所以函数 X |--> ||AX|| 是连续函数 （因为范数是连续函数）。 单位球面是紧集 （有界且闭），而连续函数保持紧性，所以其像在 R 中紧，从而闭。 不明白为什么一定要定义矩阵范数为最大值。就简单定义为上确界不是很好吗？
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那一剑的寂寞 发表文章数: 193
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在任何一个有限维的赋范线性空间里，范数是否都是坐标分量的连续函数？ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 是。 +++++++++++++++++++++++++++++++++ 我们总说范数是连续函数,是不是指的这个意义上的连续? ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 算子范数的概念是由矩阵范数和向量范数的相容性引起的， ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 矩阵范数难道不是一种算子范数？ +++++++++++++++++++++++++++++++++++ 矩阵范数不一定是算子范数,比如Frobenius范数(也就是2-范数)就不是一种算子范数;但算子范数一定是矩阵范数. ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 设A 是一个n阶的复矩阵，X=(x_1,...,x_n)^T is a victor in C^n,且在C^n已经规定了向量的某种范数||X||,则与向量范数||X||相容的矩阵范数可以取作向量AX的范数的最大值，即：||A||= Max||AX|| ,X belongs to{X|||X||=1}，我们称A的这种范数为A的算子范数。 这个定义（准确的说应该是一个定理，我只不过拿它来做其定义）必须要求 Sup||AX||=Max||AX||（for every ||X||=1），也就是等价于集合{||AX||，X的范数为1}是一个闭集，只有这样||AX||才能达到上确界，即存在一个X_0,and ||X_0||=1,such that Sup||AX||=Max||AX||（for every ||X||=1）。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 不一定非要闭集才能达到其上确界 ++++++++++++++++++++++++++++++ 这个结论貌似正确,但我还没有找到例子,季候风能否举个例子? ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 那么现在的问题是如何证明集合{||AX||，X的范数为1}是一个闭集呢？ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 有限维赋范空间 V 总是跟同一维数的标准欧氏赋范空间线性同胚 （证明应该可以在泛函教材里找到），而 V 上线性变换 A 被这个同胚共轭为欧氏空间上的矩阵 A，从而是连续的 （用 Cauchy 不等式很容易证明 A 的有界性）。 所以函数 X |--> ||AX|| 是连续函数 （因为范数是连续函数）。 单位球面是紧集 （有界且闭），而连续函数保持紧性，所以其像在 R 中紧，从而闭。 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 极限,连续性等只与空间的距离结构有关,在欧氏空间R^n中,等价的范数诱导等价的距离,从而就导致极限,连续性等分析性质的等价.但是,对欧氏空间R^n装备了任何一种范数(这些范数是互相等价的)N,那么由Ｎ所定义的单位球面是否都是紧集（这是你证明中的关键）? ＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋ 不明白为什么一定要定义矩阵范数为最大值。就简单定义为上确界不是很好吗？ ＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋ 小小的纠正，这里不是指定义矩阵范数为最大值，而是矩阵的算子范数为最大值．如果证明了上面的所有结论，那么定义矩阵的算子范数为最大值与定义矩阵的算子范数为上确界就是等价的了． 上面的一切是否可以归纳为一句话：在任意有限维的线性空间里，等价的范数结构诱导等价的距离结构，从而就诱导出所有分析性质的等价性？比如对线性空间Ｖ里的一个子集合Ｍ，如果在范数Ｎ＿１诱导的距离下成为一个闭集，那么Ｍ就在任何一种其他的范数Ｎ＿２诱导的距离下也成为一个闭集．不知道是否正确？ 这些日子涉及了太多的拓扑结构，发觉一些最基本的概念还是没有彻底搞清楚，必须把它搞清楚！ 谢谢一下季候风的指教！ 天下风云出我辈，一入江湖岁月催；
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季候风 发表文章数: 262
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不用客气 :)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 我们总说范数是连续函数,是不是指的这个意义上的连续? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 一个有限维空间取定一组基之后, 就被等同于 R^n, 而 R^n 上 有标准的拓扑 --- 由标准范数诱导的拓扑. 对这个标准拓扑, 每个坐标都是连续函数. 其它的函数如果能写成坐标的连续函数, 那么就是标准拓扑下的连续函数 (连续函数的复合是连续的). 但是当我们抽象地谈论一个赋范空间的时候, 并没有一个自在的标准拓扑. 拓扑是由范数诱导的. 这时候 "范数是连续函数" 这个命题多少有一点 逻辑上的颠倒. 什么叫连续函数? 如果每当有 x_n --> x, 都有 f(x_n) --> f(x), 那么 f 连续. 但是并没有自在的 x_n --> x 的定义, "收敛" 这个概念必须要利用范数而被定义为 || x_n -x || --> 0. 所以谈论 || || 的连续性是逻辑颠倒. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 不一定非要闭集才能达到其上确界 ++++++++++++++++++++++++++++++ 这个结论貌似正确,但我还没有找到例子,季候风能否举个例子? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (0,1] 区间 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 极限,连续性等只与空间的距离结构有关,在欧氏空间R^n中,等价的范数诱导等价的距离,从而就导致极限,连续性等分析性质的等价.但是,对欧氏空间R^n装备了任何一种范数(这些范数是互相等价的)N,那么由Ｎ所定义的单位球面是否都是紧集（这是你证明中的关键）? 在任意有限维的线性空间里，等价的范数结构诱导等价的距离结构，从而就诱导出所有分析性质的等价性？比如对线性空间Ｖ里的一个子集合Ｍ，如果在范数Ｎ＿１诱导的距离下成为一个闭集，那么Ｍ就在任何一种其他的范数Ｎ＿２诱导的距离下也成为一个闭集．不知道是否正确？ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 这里的关键是, 有限维线性空间的所有范数都等价. 而 "等价" 的意思是 "诱导相同的拓扑", 或者更分析一点, 是 "定义相同的收敛性". 所以从分析上来说, 标准欧氏空间就是唯一需要研究的有限维赋范空间. 我上一个帖子里的论证, 前一部分是在解释为什么只需要在标准欧氏空间里讨论, 后一部分是在标准欧氏空间里证明任一算子(矩阵)可以取到其算子范数. 在无穷维, 单位球面一般不紧, 会存在很多不等价的范数, 所以会有各种不同的收敛, 甚至有些收敛性都不是由范数诱导的, 甚至不是由任何距离诱导的. 你最后那句话如果添上 "等价的" 就对了.
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Re: 关于算子范数