如题.
经常看到相空间重构,搞了半天也不知道什么是相空间?

常微分方程中未知函数的取值空间。

d/dt x(t) = F(x(t)). x: [t1, t2] ---> X, 那么这个 X 就是相空间

简单说就是位形空间与动量空间的直积空间
例如：三维空间中运动的物体，因为速度有三个分量，因此相空间是6维。

季候风's answer gave you a special mathematical example and 萍踪浪迹's answer might be too brief for you to understand. Let me spend some time to give you a full exposition on the concept of "phase space".

An example from high-school physics should help your understanding immediately. Imagine a pendulum swinging through a small angle. At any given time t, it has position p and velocity v. If we plot a graph of p against v (with time measured in proper units), we get a circle and the point (p, v) moves around the circle with uniform speed as the pendulum swings.

The diagram of p against v is known as a "phase diagram" and the (p, v)-plane is called phase space. In the simple case of a swinging pendulum, we only have two dimensions since the state of the pendulum is deterimined by two numbers: one for position coordinate and one for velocity. Of course, you can also replace v with momentum q (q = mv) to get a (p, q) phase space. In mathematical terminology, (p, q) is simply the Cartesian product of two scalars p and q. When p and q both become 3-dimensional vector, (p, q) is a now a direct product of two vectors and the phase space is now a 6-dimensional direct product space mentioned by 萍踪浪迹.

Any dynamical system has a corresponding phase space, with one dimension for each position variable and one for each velocity (momentum) variable. The system of sun, moon, and earth, acting by gravitation, forms a dynamical system. This is the famous three-body system with a total of 18 dimensions for the phase space. The state of the whole system at any time is represented by a single point in phase space, as time evolves, this point describes a "path", which completely specifies the motion of the whole three-body system.

To explore the concept even deeper is beyond my knowledge scope, there is a powerful mathematical method known as "geometrical dynamics". You can read the Wikipedia entry of "Dynamical System" and the references therein for further in-depth study:

http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_system

[Note]: In recent years, I start to use the new catch phrase "When in doubt, check Wikipedia". It's really a pity that the Wikipedia website is blocked in China. The following Wikipedia entry of "phase space" is really worth reading for beginners ---

Phase Space

http://en.wikipedia.org/wiki/Phase_space

In mathematics and physics, phase space is the space in which all possible states of a system are represented, with each possible state of the system corresponding to one unique point in the phase space. For mechanical systems, the phase space usually consists of all possible values of position and momentum variables. A plot of position and momentum variables as a function of time is sometimes called a phase diagram. This term, however, is more usually reserved in the physical sciences for a diagram showing the various regions of stability of the thermodynamic phases of a chemical system, as a function of pressure, temperature, and composition.

In phase space, every degree of freedom or parameter of the system is represented as an axis of a multidimensional space. For every possible state of the system, or allowed combination of values of the system's parameters, a point is plotted in the multidimensional space. Often this succession of plotted points is analogous to the system's state evolving over time. In the end, the phase diagram represents all that the system can be, and its shape can easily elucidate qualities of the system that might not be obvious otherwise. A phase space may contain very many dimensions. For instance, a gas containing many molecules may require a separate dimension for each particle's x, y and z positions and velocities as well as any number of other properties.

In classical mechanics the phase space co-ordinates are the generalized coordinates qi and their conjugate generalised momenta pi. The motion of an ensemble of systems in this space is studied by classical statistical mechanics. The local density of points in such systems obeys Liouville's Theorem, and so can be taken as constant. Within the context of a model system in classical mechanics, the phase space coordinates of the system at any given time are composed of all of the system's dynamical variables. Because of this, it is possible to calculate the state of the system at any given time in the future or the past, through integration of Hamilton's or Lagrange's equations of motion. Furthermore, because each point in phase space lies on exactly one phase trajectory, no two phase trajectories can intersect.

For simple systems, such as a single particle moving in one dimension for example, there may be as few as two degrees of freedom, (typically, position and velocity), and a sketch of the phase portrait may give qualitative information about the dynamics of system, such as the limit-cycle of the Van der Pol oscillator shown in the diagram.

Here, the horizontal axis gives the position and vertical axis the velocity. As the system evolves, its state follows one of the lines (trajectories) on the phase diagram.

A classic example of a phase diagram from chaos theory is the Lorenz attractor.

Quantum mechanics

In quantum mechanics, the coordinates p and q of phase space become conjugate operators in Hilbert space, but may alternatively retain their classical interpretation, provided functions of them compose in novel algebraic ways (through Groenewold's 1946 star product). Every quantum mechanical observable corresponds to a unique function or distribution on phase space, and vice versa, as specified by Hermann Weyl (1927) and supplemented by John von Neumann (1931); Eugene Wigner (1932); and, in a grand synthesis, by H J Groenewold (1946). With José Enrique Moyal (1949), these completed the foundations of quantization in phase space, sometimes referred to as Weyl quantization, a logically autonomous reformulation of quantum mechanics. Its modern abstractions include deformation quantization and geometric quantization.

Thermodynamics and statistical mechanics

In thermodynamics and statistical mechanics contexts, the term phase space has two meanings:

* It is used in the same sense as in classical mechanics. If a thermodynamial system consists of N particles, then a point in the 6N-dimensional phase space describes the dynamical state of every particle in that system. In this sense, a point in phase space is said to be a microstate of the system. N is typically on the order of Avogadro's number, thus describing the system at a microscopic level is often impractical. This leads us to the use of phase space in a different sense.

* The phase space can refer to the space that is parametrized by the macroscopic states of the system, such as pressure, temperature, etc. For instance, one can view the pressure-volume diagram or entropy-temperature diagrams as describing part of this phase space. A point in this phase space is correspondingly called a macrostate. There may easily be more than one microstate with the same macrostate. For example, for a fixed temperature, the system could have many dynamic configurations at the microscopic level. When used in this sense, a phase is a region of phase space where the system in question is in, for example, the liquid phase, or solid phase, etc.

Since there are many more microstates than macrostates, the phase space in the first sense is usually a manifold of much larger dimensions than the second sense. Clearly, many more parameters are required to register every detail of the system up to the molecular or atomic scale than to simply specify, say, the temperature or the pressure of the system.

See also

* Classical mechanics
* Dynamical system
* Molecular dynamics
* Hamiltonian mechanics
* Lagrangian mechanics
* Cotangent bundle
* Symplectic manifold

简单说就是位形空间与动量空间的直积空间
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应该是二者的直和空间而不是直积空间吧。

考虑空间中的流体，则流体在空间中的每个点处都有一个速度。将点和速度这两个量放到一起构成一对(点，速度)，称之为相空间中的一个点。速度可以看作一个点的运动轨迹的切向量。因而抽象的来说，一个空间（其实一般应该叫做微分流形）上的所有点和所有点的所有切向量构成的集合，就是相空间。用微分几何的话来说，叫做切空间。如果空间本身是我们通常的3维欧几里得空间，则其中任一个点的切向量可以表示为(px,py,pz),再加空间的点本身合起来得到相空间{(x,y,z,px,py,pz)}，为两个3维空间的乘积空间。对于普通的3维欧几里得空间，相空间就是6维的欧几里得空间。

:: 应该是二者的直和空间而不是直积空间吧。

对于有限维向量空间来说，直积与直和是一样的。

对于有限维向量空间来说，直积与直和是一样的。
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这里我不知道记错没有，我可能有点晕:-).

我记得D维空间与F维空间的直和，对应一个(D+F)维空间，但是二者的直积空间，就对应一个DF维或者（DF+1)维的空间了。

把矢量看作列矩阵，则两个不同空间的直和空间中的矢量，对应这两个空间中各自矢量列矩阵的直和。例如（三阶列矩阵矢量＋二阶列矩阵矢量）＝五阶列矩阵矢量。
例如，对于通常的三维空间，设基矢量为i,j,k,则任一个矢量的表达式Ai+Bj+Ck＝（A，B,C)，它可以看作三个一维矢量Ai，Bj，Ck的直和，用矢量的矩阵转置表达，则是(A)+(B)+(C)=(A B C),这里的加号+看作直和。

两组基矢量的直积给出一组张量基。例如{i,j,k}与自身的直积，给出九个基矢：{ii,ij,ik,ji,jj,jk,ki,kj,kk}.

我上面的例子可能没有举好，重新举一个：

矢量Ai+Bj+Ck与自身的直积为：AAii+ABij+ACik+BAji+BBjj+BCjk+CAki+CBkj+CCkk

另一方面，我不记得矢量Ai+Bj+Ck与自身的直和是不是没有定义，或者只是变成原来的二倍而已。

数学家常说的直积一般是把多个群简单合成一个群，
不是物理学家说的直积（张量积），张量积是把两个线性空间合成一个线性空间，
是“双线性” 的对象化，但显然不是群运算的简单合成（导致所谓量子纠缠）。

数学家常说的直积一般是把多个群简单合成一个群，
不是物理学家说的直积（张量积），张量积是把两个线性空间合成一个线性空间，
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本来在物理方面我都是半罐子，在数学方面更没有资格跟这里的数学高手争论。但大家在一起神侃就是缘。本着学习的态度，我再谈一下自己的看法，希望从大家的纠正中获得提高:-)

对于物理学子而言，群的直积概念也是必须的。在我的印象中，所有这些“直积”的概念，本质含义都是一脉相承的。例如，一个群在两个线性空间的直积空间上的表示，就对应群在各个线性空间上的表示的直积（群表示的直积可以直接说成群的直积）。给定一个表示空间，群元常常有矩阵表示，此时群的直积可以由矩阵的直积来定义，它们与表示空间的直积概念是直接相关的。

另外，“把多个群简单合成一个群”，以及“张量积是把两个线性空间合成一个线性空间”中的“合成”这个动词用的似乎不妥。如果用来描述“直和”，那还差不多:-)

此时群的直积可以由矩阵的直积来定义，它们与表示空间的直积概念是直接相关的
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两个群 G, H 的直积是一个群 G x H。

一个群 G 的两个表示 V, W 的张量积还是 G 的一个表示，叫做这两个表示的张量积。

如果 V 是 G 的一个表示，W 是 H 的一个表示，那么 V 和 W 的张量积是 G x H 的一个表示。每个 G x H 里的元素 （g,h）的表示矩阵是 g 的表示矩阵和 h 的表示矩阵的张量积。这个数学上叫做表示的 “外张量积”。比较好的性质是，如果 V 和 W 都是忠实表示，那么外张量积也是忠实表示。这就是为什么矩阵群的直积也可以写成张量积。但是对一般的抽象群，直积的概念就不一定能用张量积来实现了。

向量空间也是交换群，所以也可以有直积（数学意义）概念，不过向量空间不只是有交换群结构，还有数乘。在这个范畴，“直和” 才是更准确的操作，这个操作同时保持了加法和数乘。

关于相空间，由于描述位置的参数实际上构成一个仿射空间，并没有一个特别的点作为原点，换句话说，没有一个自然的线性结构，所以把相空间看做位置空间和速度空间的直和也并不恰当 －－－ 要在一个固定的位置，速度或动量的相加才有意义。所以严格来说相空间还是应该被定义为位置空间的 “切丛” 或 “余切丛”，线性结构只存在于每一个位置上的纤维空间。

季候风兄说得很全面，跟我原来理解的不矛盾，只是有些地方你一说才让我想起来。

“所以严格来说相空间还是应该被定义为位置空间的 “切丛” 或 “余切丛”。”

说得好！

呵呵，不好意思。我又有点胡说八道了。忠实表示的外张量积不一定是忠实表示。所以我还是不理解为什么可以写成
SU(2) tensor U(1)

前面的回答都是在讲相空间，还没有人提到相空间的距离。实际上，相空间的距离是一个错误的说法，没有一种自然的方式赋予相空间一个距离结构。对于相空间或者说所谓的切空间，不可能有一种自然的方式来比较两个不同的点处的向量的大小。相空间上自然的几何结构不是距离，而是辛结构。你可以赋予一个与辛结构相容的距离结构，但是这样的距离结构非常之多（比如全体这样的距离结构形成一个无限维空间），而且所有这些距离结构中，没有一个比其他的任何一个更加优越。

李群的忠实表示的定义是：表示+ 单射。所以两个忠实表示的张量积仍然是忠实的。可能把忠实和不可约混了。
忠实，faithful
不可约，irreducible

张量积和直积，光看维数就不一样，设dim V=m,dim W=n，则张量积的维数是mn, 而直积的维数是m+n.

张量积的例子，比如m维空间和另一个n维空间的张量积可以看作是由全体 m*n 的矩阵构成的。而直积则是m+n维的线性空间。

全部的n阶偏导数算子，可以看作 n 阶对称张量；
n次齐次多项式，也可以看作 n 阶对称张量。

关于术语直积和直和。一般来说，两个代数对象的乘积称为直和(direct sum)，而两个拓扑或者几何空间的乘积称为直积(direct product)或者乘积空间。无限多个的乘积总是叫做直积。但是两个李群的乘积一般还是叫做乘积。习惯用法而已，当然是一些不错的习惯用法。

李群的忠实表示的定义是：表示+ 单射。所以两个忠实表示的张量积仍然是忠实的。可能把忠实和不可约混了。
忠实，faithful
不可约，irreducible
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我说的是两个群的两个表示的 “外张量积”，如果两个表示都不可约，那么外张量积也不可约。两个忠实表示的外张量积不忠实的例子很容易看到，比如 U(1) 有一维忠实表示，就是直接数乘，那么 U(1) x U(1) 有一个二维表示，但是 (-1,-1) 这个群元素被表示为恒等。同样的理由，一个群的两个忠实表示的张量积也不一定是忠实的。



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一般来说，两个代数对象的乘积称为直和(direct sum)，而两个拓扑或者几何空间的乘积称为直积(direct product)或者乘积空间。
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不好意思，之前有点信口开河。重新查了一下书。确切的理解应该是这样。最基础的直积应该是集合范畴的笛卡儿积，如果集合上有附加的结构使得我们可以定义一个子范畴（拓扑范畴，群范畴，等等），那么可以自然地把笛卡儿积加强为相应范畴的直积。用范畴论的语言，这叫做范畴里的 “乘积”。它附带从这个 “乘积” 到各个 “因子” 的投影。

还有所谓范畴里的 “上乘积”，它附带从各个因子到这个 “上乘积” 的嵌入。在很多范畴里这个 “上乘积” 被叫做 “弱直积”。

有限个对象的 “乘积” 和 “上乘积” 没有区别。

在交换群范畴，由于 “乘积” 和 “上乘积” 里的运算可以同因子里的运算随意交换次序，因而可以被视为 “加法”，所以这个范畴里的 “乘积” 被叫做 “直和”， 而 “上乘积” 被叫做 “弱直和”。所以 “直和” 无非是 “直积” 在交换群范畴里的另一个名称。

总结：在交换群范畴，“直积” ＝ “直和”。对有限个交换群 A1, A2,..., An, 直和 ＝ 弱直和。环，域，模，代数这些都是交换群范畴的子范畴，所以相应的乘积都可以叫直和。但是群范畴并不是交换群范畴的子范畴，所以 非 abel 群 之间的乘积最好不要叫 “直和”。

回到原问题，对两个向量空间 V 和 W, 所有以上这些概念都是一个意思。

呵呵，又犯一个错误，U(1) 的一维表示跟自身的张量积还是一个一维表示，不是二维表示.....

这里的许多讨论不收录真有点可惜。季兄等若有时间欢迎整理一下发一个完整的帖子。

看来我把直积等同于张量积了。

前面最能胡说八道的果真是我:-)

站长: 有空一定整理一下

星空浩淼: 矩阵的张量积有时候的确被叫做直积, 或者 Kronecker 积.

谢谢季候风兄提醒。我在论文中就是常常这样使用直积概念的:-).记得量子信息理论中，对于不同量子态的“直积”定义，也是指的二者之间的张量积。

::“所以严格来说相空间还是应该被定义为位置空间的 “切丛” 或 “余切丛”。”
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是的.说出我当时想说却没有时间说的话.谢谢季兄:)
所以经典的场论其实就是简单的纤维丛理论.
回星空兄:譬如R^3与R^3的直积空间就是6维,不是9维，和高等量子力学中的类似概念不一样．

相空间的理论是在Ｐoincare大力发展出来的
矢量分析中关于电磁场分布的理论，实际上就是一个纤维丛截面的问题
我以前是理解了这一重以后，才对抽象的纤维丛理论有了直观的认识
记得高等量子力学中一开始就是张量积的概念和相关分析

也许是我笨，看了半天还是没看到关于线性空间（向量空间）的直积和直和的概念。线性空间总存在这两种操作吧？而且是有区别的吧？那它们是怎样的？
依我看，至少对线性空间而言，直积＝张量积＝kronecker积，其维数等于两空间维数之积；而两空间的直和的维数等于此两空间的维数之和。

"也许是我笨，看了半天还是没看到关于线性空间（向量空间）的直积和直和的概念。线性空间总存在这两种操作吧？而且是有区别的吧？那它们是怎样的？
依我看，至少对线性空间而言，直积＝张量积＝kronecker积，其维数等于两空间维数之积；而两空间的直和的维数等于此两空间的维数之和。"

呵呵，这个理解是正确的。前面的大家误解和争执的其实是因为不同的人使用术语不同。

关于直和概念，没有争议，其实它就是两个空间的并，直和空间的维数等于两个子空间维数的和。力学和统计力学中相空间就是动量空间和坐标空间的直和，又因为一般情况下动量空间和坐标空间是维数相同的，所以相空间的维数=坐标空间维数的 X 2 .

而“直积”这个术语，有人认为它是等同于直和的，而另一些人认为它是等同于张量积的：即张量积空间（直积空间）维数等于两个子空间维数的乘积，典型的粒子就是量子多粒子系统的状态空间维数就是单个粒子状态空间维数的乘积。
其实双方都没有错误，而是“直积”这个术语的两个定义源自不同的数学家的著作，这是一个没有严格澄清，获得一致公认的概念。这两种理解方式自然是矛盾的，但是并没有实质的区别，只是习惯如何使用一个名词而已。

直和与直积的定义很接近，只考虑有限维空间时两者概念无本质区别。
张量积是完全不同的概念，严格地讲，它是一种纯粹的不可交换形式积。