关于morse theory 的一个问题
morse theory 里面的morse 不等式，是一个同调群秩的不等式。我们知道，当同调群的系数群是
整数时，同调群的秩是他自由部分的个数，当系数是域时，此时同调群是一个线性空间，自然可以定义他的秩，当同调群的系数是一般的ABEL群是，他的秩是怎么定义的？morse 不等式对于系数是一般的ABEL群成立吗？希望得到高人 的指点。谢谢！
| 论坛嘉宾: 萍踪浪迹 gauge 季候风 |
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zdy011235  发表文章数: 21
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 还是你对
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gauge  发表文章数: 596
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成立。把原证明简单的抄一遍即可，只需记住抄的时候注明所有的同调群都以某个域为系数。
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kanex  发表文章数: 447
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just tensor with Q and get the rank.
for more on other coefficients, check "universal coefficient theorem" Récoltes et semailles
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zdy011235 发表文章数: 21
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本质上这个问题是：R－MODULE 的 RANK 是怎么定义的。
还是你对
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kanex 发表文章数: 447
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free module的rank就是basis的数目嘛。
Récoltes et semailles
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Zhangshizhuo 发表文章数: 71
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R-module 的rank 定义是有条件的,因为在某些情况下 R-module的basis中的元素个数不唯一.一个好的情形是当R 是Commutative ring的时候,可以定义rank.当然这不是一般的情形,关于R-module的rank可以参考Rotman Introduction to Homological algebra.
Ringel Happel Reiten Auslander Lusztig Gabriel Bongartz Thanks for bringing quiver
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Zhangshizhuo 发表文章数: 71
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说个证明的思路 关于交换环R的, 设N是一个R-模, m是R的极大理想,则N自然成为一个R/m-模 (这个定义下 (r+m)a=ra,check下模的Axiom),所以N是一个线性空间了,然后取一组基S,可以得到N作为R-模的一组基,然后再取一组基,又可以得到N作为R-模的一组基,最后由线性空间的rank可以得到R作为交换环时的R-模的rank定义了.
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