Arnold谈到了数学教育中的一部分,喜欢下面他讲到, 让数学尽可能更直觉直观,摘取一段.
直觉的思维越来越困难,我们要依靠越来越多的数学工具帮助理解越来越抽象的数学概念.或许Arnold的想法也越来越不现实.

一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边就对
应矩阵的列。如果学生们得知了这个秘密（在纯粹的代数式的教育中，这个秘密被仔细地
隐藏了起来），那么行列式的整个理论都将成为多线性形式理论的一部分。如果用别的方
式来定义行列式，则任何敏感的人都将会永远恨死了诸如行列式，Jacobi式，以及隐函数
定理这些鬼东西。

一个群又是什么东东呢？代数学家们会这样来教学：这是一个假设的集合，具有两种
运算，它们满足一组容易让人忘记的公理。这个定义很容易激起一个自然的抗议：任何一
个敏感的人为何会需要这一对运算？“哦，这种数学去死吧”－－这就是学生的反应（他
很可能将来就成为了科学强人）。

如果我们的出发点不是群而是变换的概念（一个集合到自身的1－1映射），则我们绝
对将得到不同的局面，这也才更像历史的发展。所有变换的集合被称为一个群，其中任何
两个变换的复合仍在此集合内并且每个变换的逆变换也如此。

这就是定义的关键所在。那所谓的“公理”事实上不过是变换群所具有的显然的性质
。公理化的倡导者所称的“抽象群”不过是在允许相差同构（保持运算的1－1映射）意义
下的不同集合的变换群。正如 Cayley证明的，在这个世界上根本就没有“更抽象的”群。
那么为什么那些代数学家仍要用抽象的定义来折磨这些饱受痛苦的学生们呢？

顺便提一句，在上世纪60年代我曾给莫斯科的中小学生们讲授群论。我回避了任何的
公理，尽可能的让内容贴近物理，在半年内我就教给了他们关于一般的五次方程不可解性
的Abel 定理（以同样的方式，我还教给了小学生们复数，黎曼曲面，基本群以及代数函数
的monodromy 群）。这门课程的内容后来由我的一个听众 V. Alekseev 组织出版了，名为
The Abel theorem in problems.

一个光滑流形又是什么东东呢？最近我从一本美国人的书中得知庞加莱对此概念并
不精通（尽管是由他引入的），而所谓“现代的”定义直到上世纪20年代才由Veblen给
出：一个流形是一个拓扑空间满足一长串的公理。

学生们到底犯了什么罪过必须经受这些扭曲和变形的公理的折磨来理解这个概念？
事实上，在庞加莱的原著《位置分析》（Analysis Situs）中，有一个光滑流形的绝对
清晰的定义，它要比这种抽象的玩意儿有用的多。

一个欧式空间R^N 中的k-维光滑子流形是一个这样的子集，其每一点的一个邻域是
一个从R^k到R^(N-k)的光滑映射的图象（其中R^k 和 R^(N - k) 是坐标子空间 ）。这
样的定义是对平面上大多数通常的光滑曲线（如 圆环 x^2 + y^2 = 1）或三维空间中
曲线和曲面的直接的推广。

光滑流形之间的光滑映射则是自然定义的。所谓微分同胚则是光滑的映射且其逆也
光滑。

而所谓“抽象的”光滑流形就是欧式空间的允许相差一个微分同胚意义下的光滑子
流形。世界上根本不存在所谓“更抽象的”有限维的光滑流形（Whitney 定理）。为什
么我们总是要用抽象的定义来折磨学生们呢？把闭二维流形（曲面）的分类定理证给学
生们看不是更好吗？恰恰是这样的精彩定理（即任何紧的连通的可定向的曲面都是一个
球面外加若干个环柄似的把手）使我们对现代数学是什么有了一个正确的印象，相反的
是，那些对欧式空间的简单的子流形所做的超级抽象的推广，事实上压根没有给出任何
新的东东，不过是用来展示一下那些公理化学者们成就的蹩脚货。

对曲面的分类定理是顶级的数学成就，堪与美洲大陆或X 射线的发现媲美。这是数
学科学里一个真正的发现，我们甚至难以说清到底所发现的这个事实本身对物理学和数
学哪一个的贡献更大。它对应用以及对发展正确的世界观的非凡意义目前已超越了数学
中的其他的“成就”，诸如对费马大定理的证明，以及对任何充分大的整数都能表示成
三个素数和这类事实的证明。为了出风头，当代的数学家有时候总要展示一些“运动会
式的”成就，并声称那就是他们的学科里最后的难题。可想而知，这样的做法不仅无助
于社会对数学的欣赏，而且恰恰相反，会使人们产生怀疑：对于这样的毫无用处的跳脱
衣舞般的问题，有必要耗费能量来做这些（彷佛攀岩似的）练习吗？

曲面的分类定理应该被包含在高中数学的课程里（可以不用证明），但不知为什么
就连大学数学的课程里也找不到（顺便一下，在法国近几十年来说有的几何课程都被禁
止）。

在各个层次上，数学教育由学院的特征转回到表述自然科学的重要性的特征，对法国
而言是一个及其热点的问题。使我感到很震惊的是那些最好的也是最重要的条理清晰的
数学书，在这儿几乎都不为学生们所知（而依我看它们还没有被译成法语）。这些书中
有Rademacher 和 Tö写的 《Numbers and figures》；Hilbert 和 Cohn-Vossen
写的《plitz, Geometry and the imagination》；Courant 和Robbins 写的《What is
mathematics?》；Polya 写的《How to solve it》 和 《Mathematics and plausible
reasoning 》； F. Klein 写的《Development of mathematics in the 19th century
》。

我清晰地记得在学校时，Hermite 写的微积分教程（有俄语译本）给我留下了多么
强烈的印象。我记得在其最开始的一篇讲义中就出现了黎曼曲面（当然所有分析的内容
都是针对复变量的，也本该如此）。而积分渐进的内容是通过黎曼曲面上道路形变的方
法来研究（如今，我们称此方法为Picard-Lefschetz 理论;顺便提一下，Picard是Herm
ite的女婿－－数学能力往往是由女婿来传承：Hadamard - P. Levy - L. Schwarz - U
. Frisch 这个王朝就是巴黎科学院中另一个这样的范例）。

由Hermite 一百多年前所写的所谓的“过时的”教程（也许早就被法国大学的学生
图书馆当垃圾扔掉了）实际上要比那些如今折磨学生们的最令人厌烦的微积分课本现代
化的多。

如果数学家们再不睡醒，那么那些对现代的（最正面意义上的）数学理论仍有需要
，同时又对那些毫无用处的公理化特征具有免疫力（这是任何敏锐的人所具有的特征）
的消费者们会毫不犹豫的将这些学校里的受教育不足的学究们扫地出门。

一个数学教师，如果至今还没有掌握至少几卷Landau 和 Lifshitz 著的物理学教
程，他（她）必将成为一个数学界的希罕的残存者，就好似如今一个仍不知道开集与闭
集差别的人。

>为什么我们总是要用抽象的定义来折磨学生们呢？
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I absolutely agree!

好帖子。

也许，教学的目的与科研的目的需要分开。抽象的目的有利于研究，但不利于教学。通过抽象化和形式化来提炼共性，达到一般化的目的，这是数学逻辑学家们倍感快感的事情。

Arnold 太偏激了。比如关于微积分，我就认为现有的数学分析教材很好，既授业又解惑，学完了以后要算能算，要想能想。不过也许时代不同了，几十年过去，数学分析已经不能拿来争论抽象与否。实际上为 Arnold 所不齿的 Bourbaki 也曾写过非常古典的分析教材，比如 Dieudonné 写的 《无穷小分析》。Bourbaki 的主要著作把数学写得那么抽象是因为只有这样的教材才能经得起 Bourbaki 所有成员的刨根问底。

再说群这个概念。也许当年大家读不懂 Galois 的论文就是因为他没有把群的概念按现在这种说法写出来。现在一个大学一年级的学生就能理解当年 Fourier, Cauchy, Poisson 这些大数学家都难以理解的理论，这就是抽象的威力。

流形。我不明白 Arnold 好歹也号称是 Riemann 的传人，却悍然否定 Riemann 的巨大贡献。正是 Riemann 将 Gauss 的内蕴几何概念从欧氏空间这个桎梏里解放出来。现在 Arnold 却要用 Whitney 的定理把 Riemann 的创见埋葬。好多物理爱好者就是因为坚持从外部理解弯曲空间，才止步于广义相对论。Arnold 还提到曲面分类，试问如果没有商拓扑这种抽象概念，学生怎么能接受 Klein 瓶是一个光滑的东西？

还是让事实说话。现在全世界著名大学都充斥着张口概形拓扑斯，闭口非交换无穷维的按 Arnold 的说法应该被扫地出门的人。Arnold 自己提出的猜想，最后还是要靠 Banach manifold, Fredholm linearization, pseudo-holomorphic curve 这些建立在无数抽象概念基础上的工具来解决。

其实抽象与具体都是相对的。Arnold虽然在本文中反对某些抽象的数学方法，但他本人所写的某些力学著作如果给学物理的学生来读，人家或许会用同样的话来回敬他：“为什么总是要用抽象的定义来折磨学生们呢？”。比如他的《Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics》里常常有下列类型的定义：

Definition: The smooth path x:Δ→M is called a motion of the Hamiltonian system (M, Ω^2, H, N) if ω^2(.,v(t))=dF(x(t)) for all t∈Δ

用这样一种方式定义“运动”，对物理学家来说往往就像那些被他批评的抽象数学定义一样是不必要的。但同时这类定义及叙述方法对于某些类型的研究又可能是有用的。这其中实在很难找到绝对的标准。

现在一个大学一年级的学生就能理解当年 Fourier, Cauchy, Poisson 这些大数学家都难以理解的理论，这就是抽象的威力。
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At least I could not. Maybe that's because I am not a math student.

I did not understand what group theory is at all until I saw it in working, ``tansforming'' and ``mapping'' things.

抽象的目的有利于研究，但不利于教学。
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It depends on what research you are talking about.

总结一下前面各位的发言，我觉得大家说得都有道理，只不过可能侧重点不同罢了。算是和稀泥。总体上来说，我赞同Arnold的观点，有少数几个例外。

Arnold主要反对的就是法国人那一套：为抽象而抽象。一般来说，一个数学对象被抽象出来，其本质并没有多大的变化。所以通常的情况是，光是搞一套抽象理论不算好的研究工作。而这一点在法国人那里做得似乎不太好。也许是因为Grothendieck的巨大成就和由此产生的影响所致。而且，Arnold说的那些现象似乎并不是针对苏俄，而是法国，因为Arnold在法国兼职，对法国的教育体系也很熟悉，而且也经常发表意见。他通常的做法都是用法国和俄罗斯的情况进行类比，然后断言法国的数学教育以及法国人的数学观是错误的。

Arnold否定抽象微分流形的说法肯定是错误的，陈省身最著名的工作就是因为要对于Gauss-Bonnet定理给出一个内在的证明所引导出来的。另外，研究微分方程，必定要引入无限维函数空间，进而需要研究抽象的泛函分析。

另外，Arnold认为，应该在高中阶段讲解曲面分类定理，可能他认为人人都是象他那样的天才了。Arnold当年研究拓扑的时候是从百科全书开始的，那个时候苏修还没有人懂代数拓扑，而1年后Arnold就很牛了。当然曲面的分类的确很漂亮，这是数学中为数不多的几个这种定理之一。但是我还是不理解Arnold为何如此拔高这个定理。

我们可以对比另一大数学家Smale,据说当年在Berkley数学系的学生，如果对数学感到困难、沮丧，那么这个人就会跑去听Smale的课，并由此找回自信。据说，其实Smale这人看起来有点笨，上课的时候，经常有一些简单的东西证不出来挂黑板。Arnold也有笨的时候。

在代数学课本中，一般都是以抽象的方式来讲解群环域这些概念的，变换群只是被提及，远远谈不上重视。我觉得这很不好。变换群是一个直观上看得见的东西，而一般的群似乎就是一个乘法表。

在微积分的教材中以及教学中用抽象的方式来进行，对于教师更加容易。因为这符合这些教师的特点，他们或多或少都算数学专业人士。但不一定适合学生的理解。

我们现在能够轻而易举的理解当年那些伟大的数学家都头疼的问题，这反映了很多方面的事情。比如这体现了科学、数学这些学科与人文学科的巨大的差异。一个数学理论出来后总是被不断的简化，以致于最后的形式极其简单。比如Bieberbach定理的复杂证明，一开始有100页以上，后来被简化为2-3页而已。又比如Gauss对于代数基本定理的证明，同样得到了极大的简化。我认为我们现在能够很容易的理解那些过去很令人头疼的问题是因为后来的数学家不断的简化以及澄清事实所致，与抽象无关。Galois的理论不为众人理解，原因不在于他的理论不够抽象，而是他的叙述不完整以致于不够清晰所致。用邱成桐的话说，就是还需要一个人来对之封顶。

临睡前提供一个链接。萍踪兄、道德兄（当时的笔名是星空与道德）等曾在旧客栈进行过一场有关数学中的形式化的长篇讨论。那场讨论是客栈史上的盛举，直接导致了数学论坛的设立。大家可以回过头去看看当年的那场讨论：

最初是这个贴子：

星空与道德： 数学的形式化

然后是这个（这是主战场）：

萍踪浪迹： 和星空与道德谈数学的形式化

抽象很好，只是一定要抽象成diagram的形式，否则莫名其妙。

我举两个很简单的例子说明什么是好的定义：
(1) 譬如ideal，直接定义是一句话可以说清楚的事情，但是会令人似懂非懂。而如果说是ring homomorphism的kernel的话，就可以非常明确地了解其本质。
(2) 又譬如matrix，如果不知道它与vector space的linear map有关，只知道是几个数排成的奇怪的方阵，那么也是完全只见树木不见森林的。

临睡前提供一个链接。萍踪兄、道德兄（当时的笔名是星空与道德）等曾在旧客栈进行过一场有关数学中的形式化的长篇讨论。那场讨论是客栈史上的盛举，直接导致了数学论坛的设立。大家可以回过头去看看当年的那场讨论：

最初是这个贴子：

星空与道德： 数学的形式化

然后是这个（这是主战场）：

萍踪浪迹： 和星空与道德谈数学的形式化
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Interesting. I think I am with 星空与道德. Everybody with some training knows formalism. The key is good intuition. Without good intuition, formalism leads no where.


by the way, I also have an article, a long time ago about my experience with mathematics. This could be treated as a practical physicist's point of view.


A while ago, I started writing something about history of ideas in physics, but never really get very far...

:: I also have an article, a long time ago about my experience
:: with mathematics. This could be treated as a practical physicist's
:: point of view.

sage 兄的这篇文章在旧客栈的 sage 文集中。

:: A while ago, I started writing something about history of ideas in
:: physics, but never really get very far...

Those were not collected yet (due to the lack of time to do manual work needed to collect article in old forum), you can probably re-post it here, and continue as time permits.

我个人认为数学的形式化目标是绝对的,即我们不能用所谓"我们不能理解"来认为某一个理论是不完善的的(众所周知,非欧几何就是一个先例).诚然,更容易让人理解的东西必然更能让人接受,但真正的数学,它仅仅也必然是所谓"先定的和谐"所公允的,而与我们人类本身无关.而在我看来,这种和谐实际上就体现在统一化的思想中,而统一化就必须借助抽象,即不直观,或如大家所说的那些"无法理解"的东西.
正如上面也谈到的矩阵,它虽然有如此多的应用,但这只是应用,其本质就是广义的数(一般的数就是1*1的矩阵)而在数存在之前,线性概念是没有的,从而,我认为,用线性的概念来解释矩阵是不可取的.其它同理.而矩阵的真实含义在我看来仅有一种,即通过它,我们将千百年前的单纯数的理论同近代数学,联系了起来.

：：Arnold 自己提出的猜想，最后还是要靠 Banach manifold, Fredholm linearization, pseudo-holomorphic curve 这些建立在无数抽象概念基础上的工具来解决。
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我觉得Arnold要么不需要那些证明，要么打心眼里希望有人给出符合直觉的新证明．
他本人在大学二年级就因为涉足Ｈilbert问题之一而少年得志，但是不是所有人都能够他那样
sage兄是从研究物理的角度来看待问题，这是因为职业方向而产生的与数学人不一样的观点
我本人也反对抽象而抽象，但是Ｂourbaki的工作尽管有这个动机，却因为其巨大的数学才能而产生了其他积极得多的影响．现在我们可以说Ｂourbaki老爷死在＂南加哥大学＂（呵呵，南加州大学可是这里某人的老窝呐，西西，芝加哥大学似乎也是当年Ｗeil工作过的地方，如果我没有记错的话．）但是我们不能否认Ｂourbaki的数学模式已经在几乎所有纯数学的分支中产生影响．
即使如此，也不意味着形式化就是一切．这完全取决于才能．没有才能的人掌握再多概念也只能是堆砌，反过来，即使是严格出名的Ｇauss，其学生Ｒiemann却可以因为才华横溢而用很粗糙的方式做出那么巨大的成果．
我个人认为，Ｐerelman的出现似乎是对Ｂourbaki的一种拨乱反正，因为他的工作中分析，而少抽象，这里我们似乎可以看到Ｃauchy的传统．

按照布尔巴基的说法
形式化不是为了发展数学，而是为了给不严格的数学建立牢固的根基
他们写数学原理的动机就是为了写出数学的原理
也就是说，任何人想要查什么理论就可以到里面去查
而且查到的东西可以确保没有逻辑上的问题
这就可以避免很多诸如罗素悖论之类之前让人们惶恐不安的东西
他们并没有说是要把数学都写成那种形式的东西
数学原理不是给人当教材用的

我觉得数学要有大的突破直观是必不可少的
直观的东西是最具有生命力的东西，可以产生最多的想法
但是到了一定的阶段一定要上升到形式上面这样才能让这个想法有牢固的根基
这两个阶段缺一不可
没有形式就没有数学
没有直观，至少用zfc公理体系来说，数学不是单纯的逻辑

但是，另一方面
我们都知道什么是形式
但是什么是直观呢？
如果只是说一个人好想像的话
那就会出现一个问题
那就是直观和人们的熟悉程度挂钩...
对一个东西我越熟悉我就越容易形成"直观"
比如我以前只知道欧式几何
觉得非欧几何抽象
但是现在天天看这些东西
riemann流形那些东西天天出现在脑中
自然也觉得形象了
再比如我以前遇到一个人，他说线形空间是很抽象的东西
完全无法理解

所以现在我觉得说"直观"不一定准确
我们一般说的"直观"如果说成是“物理”可能更好一些
就是说可以找到物理模型
这样可以避免上面说到的由熟悉造成的对直观的理解不一

不恰当的比方
直观——〉进攻
抽象——〉防守
要有突破必须进攻
但要禁得起推敲必须防守好

我的目标就是做那攻守兼备的人

AndrewAA 说得不错，对每个人而言，“直观” 都有不同的含义。比如很多物理学家觉得规范场无非是个矩阵，在求导的时候添上这一项就规范不变了，这多直观；但是好多数学家却觉得把联络理解成纤维丛全空间上满足一定条件的切子空间分布更直观。我自己就觉得后一种观点更容易让我理解曲率啊协变导数啊平行移动啊规范不变啊这些概念－－－画一个示意图就行了。

sage 说，形式化的抽象化的思维可以训练。但是直觉同样是可以训练的。还记得上次在某个书店我找出来那本图文并茂的 “扭结与链结”，那就是用来训练几何直观的。

现代数学不是自然科学，所以很多时候人们做研究纯粹是为了满足自己的奇特的好奇心。sage 经常抱怨数学家不知道在搞些啥，其实我也经常觉得20世纪后半叶开始的数学家们相对于这个社会来说是自私的，拿了经费无非是要满足私欲（虽然是求知欲）。好在数学家必须履行一个义务，就是上公共数学课，这个义务把数学家从社会的寄生虫这个角色里挽救出来 －－－ 虽然大多数数学家最为痛恨这个工作。