Hamilton系统、辛几何与KAM定理（连载）
Hamilton系统、辛几何与KAM定理（1）
作者：萍踪浪迹（Shanqin Wang）
经典力学从Newton手中的形式经过Euler形式化与和Lagrange的提升，成为分析力学，再经过Hamilton和Jacobi的发展，产生著名的Hamilton系统理论。
我们考虑n维位形空间R^n，粒子在其中自由运动时，自由度为n，如果加以约束，则可以减少自由度，如数学双摆，一个摆的运动轨迹为S^1，另一个的运动轨迹为以第一个质点为圆心的S^1，因次就是2维环面T^2，此时它的速度则为T^2上的切向量。
更一般的，我们考虑广义坐标q（q_1，q_2，……，q_n），广义速度dq/dt（dq_1/dt，dq_2/dt，……dq_n/dt），两者的直积空间（q，dq/dt）称为状态空间。
如果我们考虑广义动量p（p_1，p_2，……，p_n），则直积空间（q，p）称为相空间。
动量和速度只差个质量，但是在数学上，由于矢量变化的不同，必须区分。
简单的计算可知：
广义速度dq/dt是逆变矢量，所以状态空间（q，dq/dt）是以位形空间为底空间的切丛TM；
广义动量p是协变矢量，所以相空间（q，p）是以位形空间为底空间的余切丛T*M。
我们主要分析相空间。在相空间中一个重要的不变量是Poincaré积分不变量：ω=Σdp_i∧dq_i，i=1，……，n。
Poincaré积分不变量在局部微分同胚下保持不变。这个性质在经典力学中对应正则变换，可以将一个hamilton系统变换为另一个hamilton系统，从而大大简化计算，在理论物理和天体力学中有重要应用。
由Darboux的一个著名定理可以知道，任何一个偶数维的向量空间都可以赋予一个反对称双线性形式，即辛形式（symplectic form），从而这个向量空间成为辛空间，这使得相空间（必定是偶数维）的研究可以应用辛空间理论。和其他向量空间一样，辛空间也有子空间以及直和分解以及正交补等重要概念，辛空间的最大迷向子空间就是Lagrange子空间。
如所周知，Poincaré是动力系统的奠基者，辛空间中的动力系统成为辛动力系统，但是并非所有辛动力系统都是Hamilton系统，除非Calabi不变量为零。
Hamilton系统的重要研究对象是关于动力学流（flow）的研究，相空间中的流的定义是相空间中的单参数变换群，相流保持相空间体积（测度，measure）不变（Liouville定理），且经过足够多次变换，总可使相空间中任意点x回到该点的任意小领域u（x，ε）内（Poincaré回归定理），而Hamilton流可以保持辛结构不变，且Hamilton流的Poincaré映射为辛映射。
Poincaré积分不变量出现的重要作用在于使得我们可以将研究从R^2n推广到一般微分流形M^2n上，用M^2n上的辛形式（非退化的闭的2次微分形式）代替R^2n上的辛形式。在推广后，就可以抽离动力系统，直接研究与速度无关的线汇，得出更重要得多的Poincaré-Cartan积分不变量：ω=Σp_i∧dq_i-Hdt，i=1，……，n。
其中H为H（p，q，t），如果H不显含t，则为保守系统，若不显含q_i，则p_i=constant为首次积分（著名的Noether定理可以用来计算Hamilton方程组的首次积分），q_i则为循环坐标。若所有坐标都为循环坐标都为循环坐标，则Hamilton系统完全可积系统。
由于现实中可积系统的“个数”相对于所有Hamilton系统的“个数”而言甚至连稠密集都不是，因此人们只能对可积系统进行微扰后进行研究，因此稳定性问题等课题就显得非常重要。
（未完，待续）
| 论坛嘉宾: 萍踪浪迹 gauge 季候风 |
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kanex  发表文章数: 447
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俺一看"symplectic"就晕
Récoltes et semailles
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zdy011235  发表文章数: 21
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感觉SHAN QING 学长好就没有出手了,很期待你的文章呀.
http://www.math.rug.nl/~broer/pdf/kolmo100.pdf 还是你对
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星空浩淼 发表文章数: 799
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这篇文章应该放在物理论坛，已经是物理而不是数学了。这篇文章也不是科普，而是高级科普了。话说回来，这里的原创学术文章，绝大多数属于高级科普。
这可能是萍踪兄到目前为止写的所有文章中，我唯一能全部看懂的文章（虽然有些细节忘了，但是一翻书就明白）。但是该系列后面的文章能否继续看懂，就不知道了。 现在非线性科学很热门，而本文内容也是进入非线性科学的理论基础。如果可能，可以在后面的系列中加进非线性科学的内容，你已经有了这个基础，顺便进去溜达一圈，不难。另一方面，如果再考虑量子系统，内容就更丰富了，但这些就更花精力了。不过为了进入物理行业，这些努力或许是值得的，将来会有回报的。 就我个人看来，写得比较完美。如果在介绍“广义速度是逆变的，广义动量是协变的”时，顺便向读者提一下理由，就更好了。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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为了表示支持一下，凑一点人气，进来胡侃几句。
这篇文章是萍踪兄所写的文章中，我难得的一次能够全部看懂的文章，不过觉得它也许应该放在物理论坛而不是数学论坛。 对量子化理论的系统性研究中，分析力学必不可少，它让我们知道量子理论背后的某些来龙去脉。另一方面，辛流形和切触流形（在广义动量和广义坐标之外再添加时间参数就得到切触流形）这些东东，在非线性科学、量子力学，量子统计力学和凝聚态物理中也有不少应用。 萍踪兄原文中有一句：“经过简单计算可知，广义速度是逆变的...广义动量是协变的...”。我的个人理解是（也可能记错了，不确定）：这里不是计算给出的，而是一个人为的约定。即在体系相空间的局部坐标表达上，其中广义速度的各个分量选用逆变分量，而广义动量的各个分量选用协变分量；逆变分量除以时间参数即广义速度仍然是逆变分量。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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有一个笔误纠正：（广义坐标）逆变分量对时间的偏导即广义速度仍然是逆变分量。
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回星空兄，是经过计算得出的。
我们可以在切空间上定义能量泛函予以计算 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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：：现在非线性科学很热门，而本文内容也是进入非线性科学的理论基础。
============================================================== 大学毕业论文就是写非线性的，所以这次当然会延伸到这里 不过是以数学理论为基础的非线性，而不是臆测类的非线性 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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我们可以在切空间上定义能量泛函予以计算
--------------------------- 可能有更基本更简单的判断方法，即根据基本定义来。而“在切空间上定义能量泛函予以计算”可能反而把因果关系弄倒了。 在坐标变换下，跟坐标基变换方式相同的矢量定义为协变矢量，跟坐标基变换方式相逆的矢量定义为逆变矢量。 在坐标变换下，一个矢量的坐标总是跟坐标基的变换方式相逆，所以广义坐标（因而广义速度）直接取为逆变的。广义动量则是跟坐标基的变换方式相同，所以是协变的。这一点不妨借助于动量算符来理解，它相关于坐标的偏导，此时坐标在分母上出现（为了好理解姑且这么说吧），跟坐标的变换方式相逆。 矢量转动可以理解为坐标系不动矢量转动（主动观点），也可以等效地理解为矢量不动坐标系转动（被动观点），两种转动方向相反（如同车相对于你往前开，那么你相对于车朝后运动），所以矢量的坐标总是跟坐标基的变换方式相逆。 当然为了引入度量，定义对偶张量，从而引入协变和逆变坐标架，相应地矢量坐标是逆变和邪变的。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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当然为了引入度量结构，需要定义对偶张量，从而引入协变和逆变两种坐标架，即存在协变和逆变两种坐标基，相应地矢量坐标分别是逆变和协变的。所以我前面说存在人为约定的一面。
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张量的逆变与协变只与其线性变换的性质有关，与度量无关。
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张量的逆变与协变只与其线性变换的性质有关，与度量无关。
-------------- 我没有说它们有关，只是说引入两种张量的目的是为了度量 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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两种张量指标的缩并就是内积
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当时空中的时间分量带有虚数单位时，无须分逆变协变，也可以定义内积，所以此时不分逆变协变
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只有在同时满足基矢量正交的情况下才可以不区分协变逆变，一般的仿射坐标系内即使让时间虚化，也无法让两者混同
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一般的仿射坐标系内即使让时间虚化，也无法让两者混同
－－－－－－－－－－－－ 呵呵！对对，以前你们已经跟我纠正过，我又忘了:-) One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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Re: Hamilton系统、辛几何与KAM定理（连载）