我是學代數幾何的..我認為代數幾何比微分幾何有趣多了. 雖然為分幾何的重要性是無庸置疑,但是代數幾何有更多巧妙得構思,也有更有趣的問題..
讓我來說幾本代數幾何的好書: ( 在書號後的兩個星號數.第一個是困難度.第二個是重要(趣味)性, 從 1 到 5 從 易到難(無聊到有趣) .. 第三個是讀了投資報酬率 也就市讀了的話將來的有用程度 第四個是金庸小說密籍的類比)
1 武當長拳( 基本功夫)
Atiyah&McDonald 的 Introduction to Commutative Algebra 和 Matsumura 的 Commutative Algebra 是代數幾何中代數部份的背景知識. 兩本書只重視代數而不提及幾何,但第一本書的習題有很多引出幾何背後意義的好問題. 事實上任何一個交換代數的定理 都有幾何意義.

-----------------------------困難度 易 趣味性 ** 投資報酬率 **
2 梯雲縱 (練了想進哪個分支都可以 ...)
Robin Hartshorne 的 Algebraic Geometry 是代數幾何的經典教科書.任何一個年紀不到五十的代數幾何學家都是學這本書長大的. 這本書是 Grothendick 的 EGA 和 SGA 一部分的一個非常有系統的總結. Grothendick 的書包含的內容很齊全但是失於不實際: 也就是討論的對象過於一般友時沒有幾何意義, 這一點十分不好. 但是 Hartshorne 的書把整個 Grothendick 的 Scheme 綱領 作了一個最恰當的詮釋.這本書的習題也非常重要 不管將來對 算數幾何 或複幾何 或 更深入的代數幾何 這本書的習題都是永遠有用的.

-----------------------------困難度 中等 趣味性 * 投資報酬率 ***
(PS: Hartshorne 的書的精華在 123 章, 其45章 對於如果不是做算數幾何的人是沒有用處的,有更好的替代用書)
3 一套武術服飾(行走江湖 要穿衣服)
Gunning 的 Lectures on Riemann surface 或 Forster 或 Farkas 或 Jost 的 Riemann Surface: 黎曼曲面是真正的數學. 跟一切的數學分之都有重大關係. 上述四個作者的書都有相當深度. 我只唸過 Gunning 的, 是一本比較重視"上同調群" 的好書. 其他幾本又或重視黎曼面的 hyperbolic geometry 或 automorphism 或 special linear series. 都非常有意思. 很多人 ,尤其是中國人 還喜歡 伍鴻禧 寫的黎曼曲面引論. 但我並不是非常喜歡.

-------------------------------困難度 易 趣味性 *** 投資報酬率 0
4 全真派基本內功(一定要練)
Griffith& Haris 的 Principles in Algebraic Geometry. 這本書是經典中的經典.是複幾何的基本教材. 這本書的每一章都很棒. 第一章是Hodge 理論..是幾何中最深奧的理論. 第二章是Kodaira 嵌入定理 複流行的嵌入比實流形的嵌入有趣多了. 第三章是 current 和 spectral sequence, 是很重要的工具. 第四章 是曲面論 . 寫的很詳盡 但是有更好的書(見6). 第五張是特殊專題 對袋鼠幾何中不同方向的人有不同功用.

-------------------------------困難度 中等 趣味性 **** 投資報酬率 ****


转载自＂www.math.org.cn 作者Quillen　题目讓我來發代數幾何參考書＂

5 九陽神功
Barth & Hulek & Peters 的 Compact complex surfaces. 這本書是經典中的經典中的經典. 講的是代數曲面的各種專題. 每個章節都寫的無限完美. 可以說如果學代數幾何沒唸過這本書. 甚至是學幾盒沒唸過這本書..可以考慮換行.是百年難得一見的好書. 我個人以為此書新版的最後兩張寫的尤其好. 一是 K3 曲面 另一個是 Doanaldson 和 Seiber Witten 理論. 現在都是無限熱門的專題.

-------------------------------困難度 中等 趣味性 ***** 投資報酬率 *****
6 少林派羅漢拳(可以練練,如果沒事)
Robert Friedman 的 Algebraic Surfaces and Holomorphic Vector Bundles 這本書是 講曲面和上面的向量叢. 曲面得部分講得有點亂,事實上沒有人把曲面講的比 Barth 還好的. 向量叢得部分值得一看.

--------------------------------困難度 易 趣味性 * 投資報酬率 ***
7 吸星大法 (練完就可以吸取微分拓墣學家的內功以為己用)
Donaldson & Kroheimer 的 The Geometry of Four manifold. 這是微分拓墣中的聖經.兩人都是大家. 此書引出了四維流形的 Gauge Invariant (規範不變量), 而複曲面是四維流形中的一大類 ..因此也是代數幾何的好書.

--------------------------------困難度 難 趣味性 ***** 投資報酬率 0 (本書效益在五十年後)
8 乾坤大挪移 (練到一半就夠強了 全部練完你也吐血而亡)
John Morgan 和 Robert Friedman 的 Smooth four manifold and Complex surfaces.
這本書講得是橢圓曲面和其上面Donaldson 規範不變量理論.作者利用此理論得到了曲面 的一個大定理, 證明了最多只能有有限個複變形類共用一個微分結構. 是一本很專門的書 我還在努力學習.

---------------------------------困難度 極難 趣味性 **** 投資報酬率 **
9 筋肉人和加菲貓的無敵風火輪 (練前請三思)
Haris 的 The Geometry of Algebraic Crves. 是非常非常狹宰的領域. 研究的是代數曲線上的特殊線性系統. 非常難唸的一本書.唸完後的用處也不多..但是可以成為一個代數曲線的專家.
-------------------------------困難度 極難 趣味性 * 投資報酬率 ***
10 五獄派劍法 (有用處但是相當雜亂.拼拼湊湊)
Joe Harris & David Morrison 的 Moduli of Curves 這是講曲線的模空間的經典.但我並不那麼喜歡. 裡面有 Enumerative Geometry (記數幾何) 的一個引論. 有曲線模空間上的相交數和各種性質.-
--------------------------------困難度 中等 趣味性 ** 投資報酬率 *****
11 九陰真經 (練完後可以開始真正研究問題)
John Morgan 和 Robert Friedman 的 Gauge Theory and the Topology of Four-Manifolds. 裡面有Gieseker 寫幾何不變量理論. 李駿的 Uhlenbeck 緊化 和 Gesieker緊化的比較定理. Morgan 討論 Donaldson 規範不變量 和更多人對此量.

-----------------------------------困難度 中等 趣味性 ***** 投資報酬率 ***** 的計算結果.
12 太極拳 (發展無限)
Daniel Huybrecht 的 The Geoemtry of Moduli Space of Sheaves.
是向量叢 模空間的經典用書. 第二部分有此學科最先進的結果. 各章的附錄都有很重要又有趣的結果.

-----------------------------------困難度 難 趣味性 *** 投資報酬率 *****
13 MK47 步槍
Joyce, Gross & Huybrecht 的 Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries. 是最新的 Mirror symmetry 的專題書. 講Calabi Yau 流形的各種相關問題. 有Yau 解決 Calabi 猜想的概述. 有 Mirror 猜想 和 SYZ (Strominger& Yau& Zaslow) 猜想. 還有 HyperKaeler 流形性質的討論.這是二十世紀的數學.

------------------------------------困難度 中等 趣味性 ***** 投資報酬率 *****
14 機關槍 (可以搶銀行)
Pandharipande, Sheldon Katz, Hori... 一群人合寫的 Mirror Symmetry . 除了 Mirror conjecture 在五次三微流形(quintic three fold )的證明外, 還包括了 Gopakuma Vafa 猜想, Homological Mirror Symmetry 猜想, 甚至Mirror Symmetry 的源頭: 高能物理中的弦論和 保角場論, 全都由專家執筆.. 從難到易..我現在也在閉關修練中.
-------------------------------------困難度 極難(物理部分) 趣味性 ***** 投資報酬率 *****
15 原子彈( ...................)
Griffith 的 Topics in Trascendental Geometry 是霍奇結構(Hodge structure) 的一本經典書. 在1985年左右有一大票數學家想解決霍奇 猜想 (沒錯 就是那個一百萬問題).她們雖然沒有解出來 但對猜想有很深入的了解 . 本書是她們工作的簡述. 是一本難讀卻很值得讀的書.
-------------------------------------- 困難度 極難 趣味性 ********************** 投資報酬率 *************************
另外還有幾本書沒有介紹..比如說Mori 的三為複流形的 Minimal Model Programm 有很多專書..但是因為這個問題已經被 蕭蔭堂 以及 其他四個外國人 解決 (所有維度) 其投資報酬率已經是負的了. 又或是 ．．．

＂转自：www.math.org.cn　作者：Quillen　题目：讓我來發代數幾何參考書＂内容太长，没办法分两个贴．

我在博士家园上看过完全相同的帖子,难道那也是你?

纯粹是一家之言。最重要的是要适合自己的情况。

2 梯雲縱 (練了想進哪個分支都可以 ...)
Robin Hartshorne 的 Algebraic Geometry 是代數幾何的經典教科書.任何一個年紀不到五十的代數幾何學家都是學這本書長大的.
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这恐怕是在误导年轻的学生。这决不能算是一本好书，说它很有用是没错的，但也仅限于初阶或作为参考，并不能算作很深入的读物。

个人感觉Hart做教材还不错，米国不也都用吗？

也不是所有人都用这个教材，许多人用它的一个主要原因是没有别的类似教材，这并不等于说他一定就很好。相对学几何的而言，学算术的人可能更喜欢它。我还是觉得从这本书更多的学到的是代数，而不是几何。因为EGA本身就是将Zariski学派的几何严格化，而Grothendieck本人显然已经精通这些几何与拓扑。他的EGA不是作为教材写的，读者也不应是初学者。类似的，Hartshorne的第一章才是给初学者的，但是有不够详细。

看得出道德在袋鼠几何上已经达到了一个比较高的境界，特别是偏重于几何的方面。我还不知道道德的主要学术兴趣在哪方面，貌似是专门作袋鼠几何的，而且好像还与复几何有一些关系，但没有看出与多复变有多大的关系。特别是道德的那片“读Chern有感”，是我07年看到的最有价值的一片帖子。
祝道德在新的一年里学术达到一个更高的境界，也祝我自己在新的一年里能够念完一半的SGA。

我做的是Mirror symmetry, 用的工具主要有代数几何和拓扑不变量。我现在水平还是比较烂的哪一种，眼高手低，没有什么成果。
祝那一剑兄新的一年有新的成就。