Euclid's proof of infinitely many primes
Euclid's proof of infinitely many primes
欧几里德对素数的无穷性的证明
How many primes are there? A lot.In fact,infintely many.Euclid proved this
long ago in his Theorem 9:20,as follows.Suppose there were only finitely
many primes,say k of them - 2,3,5,...,Pk.Then,we should consider the number
M = 2*3*5*...*Pk + 1.
None of the k primes can divide M,because each divides M-1.Thus there must be
some other prime that divides M(because any positive integer n can be written
as a product of primes);perhaps M itself is prime.This contradicts out
assumption that 2,3,...,Pk are the only primes,so there must indeed be infinitely
many primes.
-摘自<<Concrete mathematics>>p107-108
素数是无穷多的，这个论断，现在所已知的最古老的检验方法是Euclid在他的几何原本中提出来的。
他的证明方法可以简单的总结如下：
假设素数是有限多的，依次为2,3,5,...Pk,找一个数M，令M = 2*3*5*...*Pk + 1;
因为M不可能被所有已存在的素数整除，无论除哪个素数都将余1。由于对所有正整
数来说，都可以写成一系列素数的乘积，所以必然存在某个不是已知的素数可以整
除M。要么就是这个数本身，也就是M，M也为素数，要么存在不在这个有限集合内
的素数。因此我们开始用的集合不包含所有的素数。论题得证。
| 论坛嘉宾: 萍踪浪迹 gauge 季候风 |
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Tim  发表文章数: 6
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 I miss you like crazy even more then words can say.
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silent  发表文章数: 62
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素数的无穷性证明除了欧几里德的这个还有数不清的方法，光是初等数论书上面文章、习题中介绍过的就有十几种。
但都是用反证法推出矛盾，貌似没有直接证明的。 世界就是这样结束的，不是伴着一声巨响，而是伴着一声呜咽。
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Tim 发表文章数: 6
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直接证明应该不能应用于素数的无穷性的．
Like perpedicular lines don't have a common direction,perpendicular numbers don't have common factors.
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那一剑的寂寞 发表文章数: 193
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“直接证明应该不能应用于素数的无穷性的．
” +++++++++++++++++++++++++++ 有直接证明吧，只要用一下数论中的Euler公式不就行了吗？ 天下风云出我辈，一入江湖岁月催；
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Tim 发表文章数: 6
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请那一剑的寂寞兄用Euler公式证明一下，恕在下无知，还从没见过这样的证明呢！
Like perpedicular lines don't have a common direction,perpendicular numbers don't have common factors.
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kanex  发表文章数: 447
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用zeta function配合harmonic analysis来证比较好，可以有更强的结论
Récoltes et semailles
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Tim 发表文章数: 6
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各位，别光说不练啊，最好能证明一下嘛！
Like perpedicular lines don't have a common direction,perpendicular numbers don't have common factors.
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卢昌海  发表文章数: 768
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:: 直接证明应该不能应用于素数的无穷性的．
:: 恕在下无知，还从没见过这样的证明呢！ 可以参看我的“Riemann 猜想漫谈 (二)”。另外，用Bertrand 假设（其实是定理，参阅我的短文）也是一种直接证明。类似的证明多得很。 宠辱不惊，看庭前花开花落
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Tim 发表文章数: 6
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谢谢站长提示
正在看您的＂黎曼猜想二＂... Like perpedicular lines don't have a common direction,perpendicular numbers don't have common factors.
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Re: Euclid's proof of infinitely many primes 
Re: Euclid's proof of infinitely many primes 
