我们知道，假设(M^3_1(3是上标，1是下标）,g_1) and (M^3_2,g_2)是具有非正截面曲率的紧无边的3维图流形，且具有共轭的测地流，则它们等距同构。那么，在高维的情况会怎样呢？即假设(M^n_1,g_1)和(M^n_2,g_2)为两个具有非正截面曲率的紧无边的流形，且具有相同的基本群和相同的长度流（有共轭的测地流也可以），那么这样的两个流形是否等距呢？亦即是否保持刚性呢？如果不考虑刚性，那么，Farrel-Jones有一个结果：假设(M^n_1,g_1)和(M^n_2,g_2)为两个具有非正截面曲率的紧无边的流形，M^n_1和M^n_2具有相同的基本群，且n 〉=6，则M^n_1与M^n_2一定同胚，但可能不微分同胚。Farrel-Jones的两篇论文:A topological and analogue of Mostow's rigidity theorem 以及 Negatively curved manifolds with exotic smooth structures里有证明，但我现在还没有看懂。
另外，附带一问，Thurston几何化猜想到底证明了没有？

Mostow 刚性定理只说了有限体积的3维流形只有唯一的双曲度量
高维情形的工作，我没有见过肯定的结果（呵呵，孤陋寡闻，汗一个）
几何化定理基本上已经尘埃落定了。

纠正一下：几何化定理是否证明，国际上似乎还没有形成共识，而且持肯定态度的不多