三言两语话测度
(为了防止未来网友有同样问题,我把一个回帖稍微扩充一下).
通常的函数是以某个变量为自变量的函数。
而测度可以看作是一种以集合为自变量的“函数”（映射，映射是比函数更一般的概念）。即给定一个集合，就让某个量与之对应，这个量就是集合的测度。当然测度的定义域——由集合构成的集合，必须满足某种代数性质(σ代数),这种代数常常作为测度的一种定义方法.
例如,由所有事件集合构成一个集合(因而是集合的集合),它可以作为概率事件的样本空间.此时定义在事件集合上的测度,可以是这个集合中所有事件发生的概率.因此概率就是一种测度.此时概率论要求σ代数自然满足.
再如,由一些平面空间区域(相当于点的集合)构成一个集合(要求满足σ代数哈),对于任一个区域上所有点构成的集合,可以定义该点集合的测度为该平面空间区域的面积. 物理学中,有时把一些积分的微分元直接称做积分测度.
一个点,一根线的面积为零,所以在二维面积测度的意义上,点和线的测度都是零.定义一维区间长度为该区间上点集合的测度.不难看出,此时可数无穷多个点的集合测度为零.那么,不可数无穷多个点的集合测度是不是一定大于零呢?不一定!例如康托分形集合就是测度为零的、包含不可数无穷多个点的集合。
测度理论,是现代公理化概率理论的基础.研究某些比较深入的量子力学问题,还非得用基于测度理论的概率理论才行.测度理论可以使得黎曼积分被推广。可以看到，上面的测度例子都是正定的，这也是概率可以作为测度来描述的一个重要原因。但是有时候，例如我们需要考虑负的积分结果，此时可以引入广义测度的定义。相对论量子力学产生负概率问题，人们选择的办法是避免它。由于负概率来源于正反粒子同时存在，也许可以直接引入负概率概念来描述。例如正电子出现的概率为正，同一情况下让负电子出现的概率为负。问题是，此时概率的归一性不好办（即总概率如何定义？通常为1）。也许还是有办法，但是也许不必了，因为量子场论很成功地替代了相对论量子力学。
| 论坛嘉宾: 萍踪浪迹 gauge 季候风 |
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星空浩淼  发表文章数: 799
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 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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星空浩淼 发表文章数: 799
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此时定义在事件集合上的测度,可以是这个集合中所有事件发生的概率.
———————————————————— 纠正一下：可以是这个集合中所有互斥的基本事件发生的概率之和 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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星空浩淼 发表文章数: 799
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修改：
1）而测度可以看作是一种以集合为自变量的“函数”（映射，映射是比函数更一般的概念）。即给定一个集合，就让某个量与之对应，这个量就是集合的测度。当然测度的定义域——由集合构成的集合，必须满足某种代数性质(σ代数),这种代数常常作为测度的一种定义方法. -------------------------------- 完善为： 而测度可以看作是一种以集合为自变量的函数。即给定一个集合，就让某个量与之对应，这个量就是集合的测度，它表示对集合的某种度量，这种度量满足三个公理：非负性，空集的度量为零，以及可列可加性，这三条公理常常作为定义测度的条件。当然测度的定义域——由集合构成的集合（集簇），必须满足某种代数性质(σ代数，又称为σ域)。 2）例如,由所有事件集合构成一个集合(因而是集合的集合),它可以作为概率事件的样本空间.此时定义在事件集合上的测度,可以是这个集合中所有事件发生的概率.因此概率就是一种测度.此时概率论要求σ代数自然满足. ————————————————- 完善为： 例如,由所有互斥基本事件集合构成概率事件的样本空间，由样本空间中的一些子集构成的一个集簇(这个集簇中的集合满足σ代数)，它可以作为测度函数的定义域。而对于每个事件集合，它的测度是这个集合中所有胡斥基本事件发生的概率之和.因此概率就是一种测度。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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ni_o  发表文章数: 33
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函数是函数,映射是映射,两者既有联系又有区别.
设A,B为集.A到B之间的映射φ指对于A任一元a总存在B中唯一元b使φ(a)=b. 设A为集,B为数集.A到B之间的函数f指对于A任一元a总存在B中元b(未必唯一,函数论中随处可见)使f(a)=b. 另外,测度有很广义的定义方式. 吾爱吾师,吾更爱真理.
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星空浩淼 发表文章数: 799
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“函数是函数,映射是映射,两者既有联系又有区别.
设A,B为集.A到B之间的映射φ指对于A任一元a总存在B中唯一元b使φ(a)=b. 设A为集,B为数集.A到B之间的函数f指对于A任一元a总存在B中元b(未必唯一,函数论中随处可见)使f(a)=b.” ———————————————————————— 我的印象中，函数是一种特殊的映射，所以我楼顶上的帖子中才有那样的说法（后来发觉测度直接就可以看作集合的函数，所以后面又纠正完善了一下）。如果按照你上面的定义，映射反而是一种特殊的函数。我好像还从来没有见过取一个自变量、同时有多个函数值与之对应的“函数”。这是高中生就已经熟悉的定义，难道是我记错了？ “另外,测度有很广义的定义方式”. —————————————————————— 这里作为科普，不宜追求广义化一般化。例如对于广义测度（又称符号测度、抽象测度），我只是提到一下，说明引入动机即可。测度的一个比较常用的定义并且又好理解的定义就是：1）空集的测度为零；2)测度非负性；3）可列可加性，即可数无穷多个彼此互不相交的集合的并的测度，等于各个集合测度之和。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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星空浩淼 发表文章数: 799
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作为科普，应该顺便交代一下其中的“σ代数”（又称为σ域）这个名词，我在楼上已经解释了“可列可加性”（尽管一翻书就会记起来，但真正的科普应该不翻书也能完全看明白），这里补充一下：
假定有一个由集合构成的集合（称作集合簇），如果一个集合属于它，那么这个集合的补也属于它；如果可数个集合属于这个集合簇，那么它们的并也属于它。一句话，假定有一个集合的集合，它对集合的补和并都封闭，那么这个集合簇就称作σ域或σ代数，它是测度函数的定义域。我们不难看出，概率函数的定义域就是一个σ代数。 其中我在数学论坛发这种帖子，实在有点班门弄斧了。只是看到大家面对人家的疑问，都不愿意出来稍微详细一点地科普一下，才忍不住献丑了。下不为例。其实测度理论是应用很广泛，有时工科学生可能比非数学专业的理科学生还熟悉。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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追忆  发表文章数: 195
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如果按照你上面的定义，映射反而是一种特殊的函数。我好像还从来没有见过取一个自变量、同时有多个函数值与之对应的“函数”。这是高中生就已经熟悉的定义，难道是我记错了？
------------------------------------------------- 没错,函数与映射的区别中学时代就讲明了,这是中学时代的内容. 非关癖爱轻模样，冷处偏佳，别有根芽，不是人间富贵花；
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ni_o 发表文章数: 33
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中学的数学没有也不可能讲清楚二者之区别。毋庸置疑，映射为集A到集B的一对一或多对一的对应。但函数是集A到数集B（注意是数集）的对应，可以一对一（如Y=X，X为实数），多对一（设A为平面上的三角形组成的集，a属于A，用f(a)表示a的面积，设B为正实数集。则f()为A到B的多对一映射），一对多（如函数论中的U=f(Z)=Z^(1/3),当Z取1时，U为1，w，w^2即三次单位根）。由于中学生没有机会接触函数论，自然不会讲多值函数。
命运取决于选择。
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ni_o 发表文章数: 33
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其中我在数学论坛发这种帖子，实在有点班门弄斧了。只是看到大家面对人家的疑问，都不愿意出来稍微详细一点地科普一下，才忍不住献丑了。下不为例。其实测度理论是应用很广泛，有时工科学生可能比非数学专业的理科学生还熟悉。
------------------------------------------------ 其实不必要这样啊...大家都是学习的来着.记得哪位讲过:弄斧要到班门才能学真功夫.当然我想我绝对是菜鸟级的. 命运取决于选择。
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Re: 三言两语话测度