我的一个目标，是为数学中的很多结果给出让小学生也能明白的解释。很多时候心里蛮气愤，因为一方面心里明白数学中绝大多数定理的本质极端简单，一方面却又还没有抓住这个本质。绝大多数书本与资料都是语焉不详，得付出很大的努力才能找到被层层覆盖层层隐藏的东西，所以我有点怀疑是不是每个人都真的知道自己在干什么。本文部分原创，部分是从无数资料抽出来的。

对于vector bundle的问题，非常重要的是thom isomorphism。约定R^n -> E -> B。B = compact smooth m-d manifold。这里很重要的map是B -> E 的 zero section。

很显然，H^*(E) =H^*(B)，缩到zero section上就行了。但是，H^*(E, E-0) = H^*(D(E), S(E)) = H^~*(T(E))就有趣些了。譬如我举个例子，取E为一个点，那么Thom space T(E)就是S^n，我们知道S^n的reduced cohomology是非常简单的，就是把{pt}的cohomology超升上去，+n，也就是cup product with an element in H^~n(T(E))，这个就是thom class。那么thom class到底是什么呢？ thom class就是orientation class。怎么给bundle定向？就是pick a generator for H^n(E, E-0)，in fancy language，global section of orientation sheaf。再讲白一些，thom class就是dirac function〔这里有个傅立叶变换，恩，"尖"就是one-point compactification那个点，而其它部分就是zero section〕，可以把H^*(B)里面的class "挑"上去，挑进H^n+*(E, E-0)里面去。那么为什么这个是isomorphism呢？证明和poincare duality的证明非常像，fancy一点用serre spectral sequence最快，本质是R^n和S^n的拓扑太简单。

但我们又知道有zero section map，那么induced一个map on cohomology，那么thom class反方向跑到H^n(B)里面的什么地方去了呢？就是变成euler class。我以前一直不知道euler class"到底"是什么样子的，后来才知道原来就是generic section的zero set的poincare dual，于是很感叹为什么这么简单的事情没见人说明。非常直观，不是吗？譬如S^2为什么chi=2，不就是因为generic section of tangent bundle有两个零点，太显然了。不显然的是如何找到一个local的表达式，用curvature之类表达，找到了就是chern-gauss-bonnet，这个是本文part ii，待续。

你的目标是小学生也能明白，可是你发的这类帖子恐怕这里没有几个人能看明白啊!大家跟帖的前提是多少有些明白并且有兴趣。

不知道Kanex有没有看过Bott&Tu的经典著作"Differential Forms in Algebraic Topology".其中讨论了Poincare dual 以及 Thome class之间的关系等等。另外，我想你应该说的是Hopf index theorem 而不是AS index theorem, 如果在题目中说出来可能更好一些。

等下传一个图，彻底说明thom class, euler class, fundamental class, orientation class, poincare duality的本质。本质是strong duality。

感觉是，thom space是一个Top -> Top.的functor，也就是twisted suspension，所以可以shift the spectrum of (co)-homology theories。因为它send [M] -> [E, E-0]，所以又可以从PD & PD-1来induce。

其实wrong-way map in generalized (co)-homology theories是已经系统研究过了，都是由一个cup/cap product with某个class来induce的。譬如K-theory里面就是靠td。

感觉atiyah-singer或许可以从poincare-hopf精化而来，因为td(E) = c_n(E)/ch(^ev E - ^oddE)。现在在看具体怎样说比较好。you know，highest chern = euler if it's complex bundle, and = e^e if it's complexification of a real bundle.

但是poincare-hopf倒是还没有看到特别好的解释，可以从fixed point theorem来【self-intersection of diagonal map】，可以构造类似heat kernel的东西一步解决，但是还是感觉不够好。

这个还不够本质，下面会有更本质的版本

上面的图有点小错误，~标错了位置，不过没关系。

“譬如K-theory里面就是靠td。” I mean, chern character of thom class in k-theory is related with td.

最基本的还是strong duality：h^*[X] = h_(n-*)[X*] if we have: X ^ X* = S^n

上图还有点小错误，把h^和h_的class分开列会更清楚点。thom class有一个特别重要的性质：fiberwise integration = 1，这个在上面也没写清楚。

事实上如果explicily把thom/euler的local expression搞出来就可以把chern-gauss-bonnet那个Pf做出来，一页纸就够了，因为splitting principle保证了事情很简单。但是我看了一下还是有点乱，等整理出geometric的直观景象再发上来。偷懒的话就转成chern class然后用chern-weil。不过我希望对每一项都有解释，例如为什么td是x/(1-e^-x)而不是x/(1+e^x)？有没有不用任何计算就可以看出来td中每一项的意义的方法？-x是在干什么，e^-x是在干什么，1-e^-x是在干什么，1/(1-e^-x)是在干什么，x/(1-e^-x)是在干什么？相信是有的，虽然还没见过，但是应该可以做出来。

为了得到最简单的证明，需要最本质的理解，很重要的是euler characteristic的本质理解，要做categorification才能明白。

譬如这里给出三个见过的比较有趣的解释：
1) 0-measure
2) class in the grothendiect group of an abelian category
3) a cool generalization to other categories: http://arxiv.org/abs/math.CT/0610260

其实还可以试试全部转到morse-smale complex【事实上我觉得这个基本上就是传说中的underlying groupoid了，can recover the original X up to homeomorphism, by cohen and some other guy @ 1991】上，看看会不会好说话些，(3)里有一个图就用了这个，但是他们没说明这点。

补个图